人教新课标A版必修4 第一章 三角函数 章末检测卷（含答案解析）

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第一章 三角函数 章末检测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．计算cos(－780°)的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sin α的值是(　　)
A. B．－ C．1 D.或－
3．sin 600°＋tan 240°的值是(　　)
A．－ B.
C．－＋ D.＋
4．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为(　　)
A．1 B．－ C．－1 D．－4
6．下列函数中是奇函数的是(　　)
A．y＝x＋sin x B．f(x)＝|x|－cos x
C．f(x)＝xsin x D．f(x)＝|x|cos x
7．已知函数f(x)＝asin x－btan x＋4cos ，且f(－1)＝1，则f(1)等于(　　)
A．3 B．－3 C．0 D．4－1
8．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
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A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
9．同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是(　　)
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
10．下列函数中，在区间上为减函数的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝tan x D．y＝sin
11．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
12．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知014.设计一段宽30 m的公路弯道(如图)，其中心线到圆心的距离为45 m，且公路外沿弧长为40π m，则这段公路的占地面积为________ m2.
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15．将函数y＝2sin的图象变换得到函数y＝2sin 2x的图象，需要向________平移________个单位长度．
16．在△ABC中，C>，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f(cos A)>f(cos B)；
②f(sin A)>f(sin B)；
③f(sin A)>f(cos B)；
④f(sin A)三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知α是第三象限角，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1 920°，求f(α)的值．











18．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，且f(0)＝f .

(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式，并写出它的单调递增区间．







19．(12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a<0时，函数f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．







20．(12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的部分图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．








21．(12分)已知f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．











22．(12分)已知函数f(x)＝2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．






















参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．计算cos(－780°)的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　cos(－780°)＝cos 780°
＝cos(360°×2＋60°)＝cos 60°＝，故选C.
2．角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sin α的值是(　　)
A. B．－ C．1 D.或－
答案　D
解析　r＝＝|a|，
所以sin α＝＝
所以sin α的值是或－.
3．sin 600°＋tan 240°的值是(　　)
A．－ B.
C．－＋ D.＋
答案　B
解析　由诱导公式得sin 600°＋tan 240°＝－＋＝.故选B.
4．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
答案　B
解析　由函数解析式知A＝，T＝＝6π，φ＝.
5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为(　　)
A．1 B．－ C．－1 D．－4
答案　A
解析　根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3，
所以＝
＝tan α－＝－＝1.故选A.
6．下列函数中是奇函数的是(　　)
A．y＝x＋sin x B．f(x)＝|x|－cos x
C．f(x)＝xsin x D．f(x)＝|x|cos x
答案　A
解析　对于选项A，因为f(－x)＝－x－sin x，所以函数y＝x＋sin x为奇函数；
对于选项B，因为f(－x)＝|－x|－cos(－x)＝f(x)，所以函数f(x)＝|x|－cos x为偶函数；
对于选项C，因为f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)＝xsin x为偶函数；
对于选项D，因为f(－x)＝|－x|cos(－x)＝xcos x＝f(x)，所以函数f(x)＝|x|cos x为偶函数．
故选A.
7．已知函数f(x)＝asin x－btan x＋4cos ，且f(－1)＝1，则f(1)等于(　　)
A．3 B．－3 C．0 D．4－1
答案　A
解析　设F(x)＝f(x)－2＝asin x－btan x，则函数F(x)为奇函数，F(－1)＝f(－1)－2＝－1，那么F(1)＝f(1)－2＝1，所以f(1)＝3，故选A.
8．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
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INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R147.TIF" \* MERGEFORMAT
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
答案　D
解析　y＝tan(－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③.
故选D.
9．同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是(　　)
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案　B
解析　由T＝＝π知，ω＝2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x＝时，函数值为最值，A错；由B的单调递增区间，可得－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，即为(k∈Z)，当k＝1时，?，故选B.
10．下列函数中，在区间上为减函数的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝tan x D．y＝sin
答案　A
解析　对于A，函数y＝cos x在区间上是减函数，满足题意；对于B，函数y＝sin x在区间上是增函数，不满足题意；对于C，函数y＝tan x在区间上是增函数，且在x＝时无意义，不满足题意；对于D，函数y＝sin在区间上是增函数，不满足题意．故选A.
11．(2018·天津)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
答案　A
解析　函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为.由此可判断选项A正确．
故选A.
12．(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
答案　D
解析　A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)，所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．
故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知0答案　
解析　∵0∴sin x＝，∴tan x＝.
14.设计一段宽30 m的公路弯道(如图)，其中心线到圆心的距离为45 m，且公路外沿弧长为40π m，则这段公路的占地面积为________ m2.
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答案　900π
解析　∵公路外沿半径R1＝60 m，公路内沿半径R2＝30 m，圆心角α＝＝，
∴S大扇形－S小扇形＝×602×－×302×＝1 200π－300π＝900π(m2)．
15．将函数y＝2sin的图象变换得到函数y＝2sin 2x的图象，需要向________平移________个单位长度．
答案　右　
解析　因为y＝2sin＝2sin 2，
所以需要向右平移个单位长度．
16．在△ABC中，C>，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f(cos A)>f(cos B)；
②f(sin A)>f(sin B)；
③f(sin A)>f(cos B)；
④f(sin A)答案　③
解析　根据0所以sin A又y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，
所以f(sin A)>f(cos B)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知α是第三象限角，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1 920°，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝
＝＝cos α.
(2)∵cos＝cos＝－sin α，
且cos＝，∴sin α＝－.
又∵α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝cos α＝－.
(3)f(α)＝f(－1 920°)＝cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝－.
18．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，且f(0)＝f .
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\莫成程\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修4(老课标)\\WORD\\R149.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式，并写出它的单调递增区间．
解　(1)由题意知，函数图象的一条对称轴为直线x＝＝，则＝－＝，所以T＝π.
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)由图可知，A＝2.
因为T＝π，所以ω＝＝2.
又因为f ＝－2，
所以2sin＝－2，即sin＝－1.
所以＋φ＝2kπ－，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z.
因为0<φ<2π，所以φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
19．(12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a<0时，函数f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
解　(1)当a＝1时，函数f(x)＝sin＋1＋b.
因为函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)，
所以当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数．
所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)f(x)＝asin＋a＋b，
因为x∈[0，π]，所以－≤x－≤，
所以－≤sin≤1.
又因为a<0，所以a≤asin≤－a，
所以a＋a＋b≤f(x)≤b.
因为函数f(x)的值域是[2,3]，
所以a＋a＋b＝2且b＝3，解得a＝1－，b＝3.
20．(12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的部分图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
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(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解　(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝.
因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.
(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
所以点P的坐标为.
又因为点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π，
所以cos＝，且≤4x0－≤，
从而4x0－＝，或4x0－＝，
即x0＝，或x0＝.
21．(12分)已知f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解　(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1
＝2－，x∈[－1，]．
∴当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－(1＋tan2θ)图象的对称轴为x＝－tan θ，
∵y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
因此，θ角的取值范围是∪.
22．(12分)已知函数f(x)＝2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．
解　(1)f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，
即此时自变量x的集合是.
(2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图象，最后再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥.
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又函数y＝f(x)在上是减函数，f(0)＝－，
故m的最大值为内使函数值为－的值，
令2sin＝－，得x＝，
所以m的取值范围是.




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