2019年秋北师大版九年级下册数学第三章 翻折圆小专题试卷（含答案）

2019年秋北师大版九年级数学翻折圆小专题
1．如图，将沿弦AB翻折过圆心O点，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，则AB长为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB翻折得到，如图所示，则点O到所在圆的切线长OC为（　　）
A．
B．
C．5
D．3
3．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（　　）
A．
B．
C．2+
D．1+
4．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（　　）
A．
B．
C．
D．4
5．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，以AB为直径在△ABC另一侧作半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为　
　．
7．如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是　
　．
8．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为　
　．
9．如图，将⊙O的劣弧沿AB翻折，D为优弧上一点，连接AD，交于点C，连接BC、BD；若BC＝5，则BD＝　
　．
10．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝8，则BC的长是　
　．
11．已知：如图，在半径为8的⊙O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将折叠后与AB相交于点D，如果AD＝3DB，那么AC的长为　
　．
12．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝　
　．
13．如图，已知⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，若BC＝，AB＝4，则⊙O的半径为　
　．
14．以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若tanB＝，且AD＝4，则AB＝　
　．
15．如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，则折痕EF的长　
　．
16．如图，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．
（1）当P是OB中点，且PQ∥OA时（如图1），弧AQ的长为　
　；
（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP＝3，则O到折痕PQ的距离为　
　．
17．如图，将弧沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若AC＝1，CD＝4，弧＝120°，求弦AB的长和圆的半径．
18．如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将沿弦BC翻折，交AB于点D．
（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数；
（2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB，
①求证：△BDE是等腰三角形；
②求△BDE的面积；
（3）将图1中的沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的的中点，直接写出∠B的度数．
19．如图1，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB于点D，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．
（1）当AD＝2时，BE的长是　
　．
（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设∠ABC＝a，则a的取值范围是　
　．
（3）当∠ABC＝15°时，点D和点O的距离是　
　．
（4）如图2，设所在圆的圆心是O′，当BE与⊙O相切时，求BE的长．
20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ．
（1）当∠POQ＝　
　度时，PQ有最大值，最大值为　
　．
（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；
（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．
（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
21．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝，求四边形OCDB的面积．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．
（1）求证：＝．
（2）若AE＝12，BC＝10．
①求AB的长；
②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为　
　
23．已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．
（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，求折痕EF的长；
（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．
24．如图，⊙O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．
（1）如图①，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；
（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图②）⊙O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，求CD的长度的变化范围．
25．如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y，
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝2时，
①求BF的长；
②如图2，若将弧AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．
翻折圆小专题
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，将沿弦AB翻折过圆心O点，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，则AB长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出△CDB为等边三角形，求出BE和DE的长，求出AE，再根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：
过点O作OF⊥AB于F，过点B作BE⊥AC于E，连接OA、OB、BD、BC，
∵OF＝OA，
∴∠AOF＝∠BOF＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠CDB＝∠ACB＝60°，
∴△CDB为等边三角形，
∵CD＝2，
∴DE＝1，BE＝，
∴AB＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
2．已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB翻折得到，如图所示，则点O到所在圆的切线长OC为（　　）
A．
B．
C．5
D．3
【分析】首先作出所在圆，圆心为O′，连接OO′交AB于点E，连接，O′C，OB，由垂径定理，可求得OE的长，即可求得OO′的长，由切线的性质，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：作出所在圆，圆心为O′，连接OO′交AB于点E，连接O′C，OB，
∵OC是⊙O′的切线，
∴O′C⊥OC，
∴BE＝AB＝×8＝4，
∴OE＝＝3，
∴OO′＝2OE＝6，
∴OC＝＝＝．
故选：A．
【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（　　）
A．
B．
C．2+
D．1+
【分析】作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．首先证明CH是⊙O的直径，△ACH，△BDH都是等腰直角三角形，再证明∠ACD＝∠CHB＝67.5即可解决问题；
【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．
根据对称性可知，所在圆的圆心在直线AH上，
∵AC切所在的圆于点A，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
∴CH是⊙O的直径，
∴∠CBH＝90°，
∴∠ABD＝∠ABH＝45°，
∴∠AHC＝∠ABC＝45°，
∴∠ACH＝∠AHC＝45°，
∴AC＝AH，
∵OC＝OH，
∴AD垂直平分线段CH，
∴DC＝DH，
∴∠DCH＝∠DHC，
∵BD＝BH，
∴∠BDH＝∠BHD＝45°，
∵∠BDH＝∠DCH+∠DHC，
∴∠DCH＝22.5°，
∴∠ACD＝∠CHB＝67.5°，
设BD＝BH＝a，则CD＝DH＝a，
∴tan∠ACB＝tan∠CHB＝＝＝1+，
故选：D．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CH是直径，△ACH，△BDH都是等腰直角三角形．
4．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（　　）
A．
B．
C．
D．4
【分析】作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．
【解答】解：如图，若，且AB＝10，
∴AD＝4，BD＝6，
作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，
可得A、C、A′三点共线，
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，
∴AB＝A′B，
∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．
而A′C A′A＝A′D′ A′B，即A′C 2A′C＝4×10＝40．
则A′C2＝20，
又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，
∴20＝100﹣CB2，
∴CB＝4．
故选：A．
【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．
5．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BD＝AB＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到＝，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是得到BC＝3．
【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△OBD中，OD＝＝1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴＝，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OCF中，CF＝＝2，
∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，
而BE＝BD+DE＝2+1＝3，
∴BC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
二．填空题（共11小题）
6．如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，以AB为直径在△ABC另一侧作半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为　3　．
【分析】作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，延长BC交⊙O于点E，设⊙O′与BC相切于点G，证明四边形O′AEG为平行四边形，得AO′∥BE，即∠O′AB＝∠ABC＝30°，作O′M⊥AF于M，在Rt△O′AM中，O′A＝3，∠O′AB＝30°，可求得AM的长，进而得出AF的长．
【解答】解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，
∵AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，
∴AB＝6，
∴O′A＝OA＝3，
延长BC交⊙O于点E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠E＝90°，
设⊙O′与BC相切于点G，则∠O′GB＝90°，
∴∠E＝∠O′GB，
∴AE∥O′G，
∵∠ABC＝30°，AB＝6，
∴AE＝O′G＝3，
∴四边形O′AEG为平行四边形，
∴AO′∥BE，
∴∠O′AB＝∠ABC＝30°，
作O′M⊥AF于M
∵O′A＝3，∠O′AB＝30°，
∴AM＝MF＝，
∴AF＝2AM＝．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．
7．如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是　6　．
【分析】如图，延长BO交⊙O
于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．首先证明∠CAE＝∠CAH＝45°，推出∠BOC＝90°，推出BC＝2，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，根据CH2+BH2＝BC2，构建方程求出x即可解决问题；
【解答】解：如图，延长BO交⊙O
于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．
∵AD＝DB，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∵OA＝2，AD＝DB＝4，
∴OD＝＝2，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∵AD＝DB，EO＝OB，
∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，
∴AE＝AD，
∴＝，
∴＝，
∴∠CAE＝∠CAH＝45°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，
∴BC＝OC＝2，
∵CH⊥AB，
∴∠CAH＝∠ACH＝45°，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，
在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，
∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，
∴x＝6或2（舍弃），
在Rt△ACH中，∵AC＝，
∴AC＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．属于中考填空题中的压轴题．
8．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为　R　．
【分析】如图，作O点关于AB的对称点O′，则点O′为弧ADB所在圆的圆心，连结O′D，则O′D⊥EF，O′D＝R，先利用ED：DF＝3：2计算出DF＝ 2R＝R，则OD＝R，再在Rt△O′OD中利用勾股定理计算出O′＝R，则OC＝O′O＝R，然后在Rt△AOC中根据勾股定理可计算出AC＝R，再利用垂径定理可得AB＝2AC＝R．
【解答】解：如图，作O点关于AB的对称点O′，则点O′为弧ADB所在圆的圆心，
连结O′D，则O′D⊥EF，O′D＝R，
∵ED：DF＝3：2，
∴DF＝ 2R＝R，
∴OD＝R，
在Rt△O′OD中，OO′＝＝R，
∴OC＝O′O＝R，
在Rt△AOC，AC＝＝R，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∴AB＝2AC＝R．
即折痕长为R．
故答案为R．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．
9．如图，将⊙O的劣弧沿AB翻折，D为优弧上一点，连接AD，交于点C，连接BC、BD；若BC＝5，则BD＝　5　．
【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到∠ADB＝∠BCD，根据等腰三角形的判定定理解答．
【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠ADB所对的弧是劣弧，
∠CAB所对的弧是劣弧，∠CBA所对的弧是劣弧，
∴∠ADB＝∠CAB+∠CBA，
由三角形的外角的性质可知，∠BCD＝∠CAB+∠CBA，
∴∠ADB＝∠BCD，
∴BD＝BC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
10．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝8，则BC的长是　2　．
【分析】根据折叠的性质可得＝，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠BAC＝∠BCD+∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC＝∠BCD+∠CBD，从而得到∠BAC＝∠ADC，根据等角对等边可得AC＝CD，过点C作CE⊥AD于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝DE＝AD，然后利用△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，
∴＝，
∴∠BAC＝∠BCD+∠CBD，
在△BCD中，∠ADC＝∠BCD+∠CBD，
∴∠BAC＝∠ADC，
∴AC＝CD，
过点C作CE⊥AD于E，
则AE＝DE＝AD＝×4＝2，
∴BE＝BD+DE＝8+2＝10，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，
∵∠ACE+∠CAE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝，
∴CE＝＝＝2，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于求出AC＝CD．
11．已知：如图，在半径为8的⊙O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将折叠后与AB相交于点D，如果AD＝3DB，那么AC的长为　4　．
【分析】根据翻折变换的性质和圆周角定理可得∠ABC＝∠ACD+∠CAD，根据三角形的外角的性质可得∠BDC＝∠ACD+∠CAD，从而得到∠ABC＝∠BDC，根据等角对等边可得BC＝CD，过点C作CE⊥BD于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE＝DE＝BD，然后利用△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式计算即可．
【解答】解：连接CD、CB，作CE⊥AB于E，
∵弧AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，
∴∠ABC＝∠ACD+∠CAD，
在△BCD中，∠BDC＝∠ACD+∠CAD，
∴∠ABC＝∠BDC，
∴BC＝CD，又CE⊥AB，
∴BE＝DE＝BD，
∵AD＝3DB，AD+BD＝16，
∴BD＝4，AD＝12，
∴AE＝AD+DE＝12+2＝14，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝，
∴CE＝2，
∴AC＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
12．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝　　．
【分析】过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，由圆周角定理得出，得出AC＝CD＝DE，证出CM＝EM，延长CM＝BC，证出DM∥AC，∴AD＝AB，设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，得出AD＝2AF，由三角函数得出AD＝2AB sin2α，因此AB＝2AB sin2α，求出sinα＝，由勾股定理和三角函数得出cosα＝＝，即可得出结果．
【解答】解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：，
∴AC＝CD＝DE，
∴CM＝EM，
∵E是BC的中点，
∴CM＝BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴AC⊥BC，
∵DM⊥BC，
∴DM∥AC，
∴AD＝AB，
设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，
∵AC＝CD，
∴AD＝2AF，
∵AF＝AC sinα，AC＝AB sinα，
∴AD＝2AB sin2α，
∴AB＝2AB sin2α，
∴sinα＝，即＝，
∴AB＝2AC，BC＝＝AC，
∴cosα＝＝＝，
∴BC：AB＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理，求出cosα是解决问题的关键．
13．如图，已知⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，若BC＝，AB＝4，则⊙O的半径为　　．
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，首先证明AC＝CD，推出AE＝DE＝1，再证明四边形OFED是正方形即可解决问题．
【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴＝，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
∴BE＝3，EC＝＝3，
∴EC＝EB，
∴∠ECB＝∠EBC＝45°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCE＝∠OBD，
∵∠OFC＝∠ODB＝90°，OC＝OB，
∴△OCF≌△OBD（AAS），
∴OF＝OD，可得四边形ODEF为正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OBD中，OB＝＝．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
14．以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若tanB＝，且AD＝4，则AB＝　10　．
【分析】作线段AB关于直线BC的对称线段BA′，交⊙O于D′，连接AC、CA′，设AC＝a，BC＝2a，则AB＝a，由A′C A′A＝A′D′ A′B，列出方程解决．
【解答】解：作线段AB关于直线BC的对称线段BA′，交⊙O于D′，连接AC、CA′．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCA′＝90°，
∴A、C、A′共线，
根据对称性可知：AD＝A′D＝4，
∵tan∠ABC＝＝，设AC＝a，BC＝2a，则AB＝a，
由A′C A′A＝A′D′ A′B，
∴a 2a＝4a，
∴a＝2．
AB＝＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查翻折变换、相交弦定理，解题的关键是作线段AB关于直线BC的对称线段BA′，转化为相交弦定理解决问题．
15．如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，则折痕EF的长　　．
【分析】设折叠后的圆弧所对圆心为O′，连接O′O、O′D、OE，O′O与EF交于点M，根据相交圆的性质就可以得出O′O与EF互相垂直平分，由勾股定理就可以求出OO′和EM的值，从而得出结论．
【解答】解：设折叠后的圆弧所对圆心为O′，连接O′O、O′D、OE，O′O与EF交于点M，
∴O′O与EF互相垂直平分．
∴OM＝OO′，EF＝2EM．
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝OE＝2．
∵AD：DB＝3：1，
∴DB＝AB＝1，
∴OD＝1
∴O′O＝＝＝，
∴OM＝
∴EM＝＝＝
∴EF＝2EM＝，即折痕EF的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的运用，勾股定理的运用，垂直平分线的性质的运用，解答时求出根据相交圆的性质求解是关键．
16．如图，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．
（1）当P是OB中点，且PQ∥OA时（如图1），弧AQ的长为　π　；
（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP＝3，则O到折痕PQ的距离为　　．
【分析】（1）要想求弧长，就得求所对的圆心角的度数，所以要连接OQ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出∠1＝30°，再利用平行线截得内错角相等得出∠2的度数，代入弧长公式计算即可．
（2）先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM＝OO′＝．
【解答】解：（1）如图1，连接OQ，
∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点，
∴OP＝2，OQ＝4，
∵PQ∥OA，
∴∠BPQ＝∠AOB＝90°，
∴∠1＝30°，
∴∠2＝∠1＝30°，
由弧AQ的长＝＝π，
故答案为：π；
（2）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，
则OM＝O′M，OO′⊥PQ，O′P＝OP＝3，点O′是所在圆的圆心，
∴O′C＝OB＝4，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，
∴O′C⊥AO，
∴O′C∥OB，
∴四边形OCO′B是矩形，
在Rt△O′BP中，O′B＝＝2，
在Rt△OBO′中，OO′＝＝2，
∴OM＝OO′＝×2＝，
即O到折痕PQ的距离为，
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l＝（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．
三．解答题（共9小题）
17．如图，将弧沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若AC＝1，CD＝4，弧＝120°，求弦AB的长和圆的半径．
【分析】（1）作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；
（2）连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．解直角三角形求出AB，OA即可；
【解答】（1）证明：作点C关于AB的对称点C′，连接AC′，BC′．
由翻折不变性可知：BC＝BC′，∠CAB＝∠BAC′，
∴＝，
∴BD＝BC′，
∴BC＝BD．
（2）解：连接OA，OB，作OM⊥AB于M，AH⊥BC交BC的延长线于H．
∵弧＝120°，
∴∠D＝×120°＝60°，
∴∠AOB＝∠ACB＝2∠D＝120°，
∵BC＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝DC＝4，
在Rt△ACH中，∵∠H＝90°，∠ACH＝60°，AC＝1，
∴CH＝，AH＝，
∴AB＝＝＝，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝，
在Rt△AOM中，∵∠OAM＝30°，∠AMO＝90°，
∴OA＝＝
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将沿弦BC翻折，交AB于点D．
（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数；
（2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB，
①求证：△BDE是等腰三角形；
②求△BDE的面积；
（3）将图1中的沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的的中点，直接写出∠B的度数．
【分析】（1）如图所示：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，然后证明＝＝，则可得到的弧度，从而可求得∠B的度数；
（2）①将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．由等弧所对的圆周角相等可得到∠CEB＝∠E′，依据圆内接四边形的性质可得到E′＝∠BDE，故此可证明∠CEB＝∠BDE；②连接OE．先证明∠BOE为直角，依据勾股定理可求得BE的长，从而得到BD的长，最后依据△DBE的面积＝BD OE求解即可；
（3）将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明＝＝＝，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
【解答】解：（1）如图所示：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆．
∵与所对的角均为∠CBA，⊙O与⊙O′为等圆，
∴＝．
又∵CD＝BC，
∴＝．
又∵＝，
∴＝，
∴∠ADC＝×180°＝60°．
∴∠B＝30°．
（2）①将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，则⊙O与⊙O′为等圆，在⊙O′上取点E′，连接CE′，BE′．
由翻折的性质可知：＝，
∴∠CEB＝∠E′．
∵四边形CDBE′是圆内接四边形，
∴∠E′＝∠BDE．
∴∠CEB＝∠BDE．
∴BE＝BD．
∴△BDE为等腰三角形．
②如图2所示：连接OE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BCE＝45°．
∴∠BOE＝90°．
在Rt△OBE中，BE＝＝5．
∴BD＝5．
∴△DBE的面积＝BD OE＝×5×5＝．
（3）将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴＝．
同理：＝．
又∵F是劣弧BD的中点，
∴＝．
∴＝＝＝．
∴弧AC的度数＝180°÷4＝45°．
∴∠B＝×45°＝22.5°．
【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
19．如图1，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB于点D，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．
（1）当AD＝2时，BE的长是　8　．
（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设∠ABC＝a，则a的取值范围是　0＜a≤30°　．
（3）当∠ABC＝15°时，点D和点O的距离是　5﹣5　．
（4）如图2，设所在圆的圆心是O′，当BE与⊙O相切时，求BE的长．
【分析】（1）由折叠的性质以及圆周角定理的推理可知，从而可知AC＝DC，根据等腰三角形的性质可知：∠CAD＝∠CDA，然后再证明∠BDE＝∠BED，可推出BE＝BD，最后根据BE＝AB﹣AD求解即可；
（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，∠ABC＝a＝0°；当点D与点O重合时，可证得△AOC为等边三角形，从而可知∠ABC＝30°，进而可确定出a的取值范围；
（3）如图2所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC，先征得∠COF＝30°，在Rt△CFO中，根据特殊锐角三角函数值，可求得OF＝，然后根据等腰三角形三线合一可知AF＝DF，从而可求得AD的长，最后根据DO＝OA﹣AD求解即可．
（4）如图3，作⊙O'的直径BF，连接FD、OE．由切线的性质可知∠FBD+∠DBE＝90°，根据直径所对的圆周角等于90度可知：∠FDB＝90°，从而可证得∠DBE＝∠DFB，根据同弧所对的圆周角相等可知：∠DFB＝∠DCB，∠DBE＝∠ACE，从而可得到∠DBE＝∠DFB＝∠DCB＝∠ACE＝45°，进而可证明△OBE为等腰直角三角形，然后可求得BE的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠DBC，
∴．
∴AC＝DC．
∴∠CAD＝∠CDA
∵∠CAD＝∠DEB，∠CDA＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠BED．
∴BE＝BD．
∴BE＝AB﹣AD＝10﹣2＝8；
（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，∠ABC＝a＝0°，
如图1，当点D与点O重合时．则DC＝DA．
由（1）可知：AC＝DC，
又∵DC＝AD，
∴AC＝DC＝AD．
∴∠ADC＝60°．
∴∠ABC＝30°．
∴0°＜α≤30°
（3）如图2所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC．
∵∠ABC＝15°，
∴∠COF＝30°．
在Rt△CFO中，cos∠COF＝，
∴OF＝．
∵AC＝DC，CF⊥AD，
∴AF＝DF．
∴AD＝2AF＝2（OA﹣OF）＝2（5﹣）＝10﹣5．
∴OD＝OA﹣AD＝5﹣（10﹣5）＝5﹣5；
（4）如图3，作⊙O'的直径BF，连接FD、OE．
∵BE与⊙O'相切，
∴BE⊥BF．
∴∠FBD+DBE＝90°．
∵BF是⊙O'的直径，
∴∠FDB＝90°．
∴∠FBD+∠DFB＝90°．
∴∠DBE＝∠DFB．
∵∠DFB＝∠DCB，∠DBE＝∠ACE，
∴∠DBE＝∠DFB＝∠DCB＝∠ACE．
∵∠ACB＝90°，
∴∠DBE＝∠DFB＝∠DCB＝∠ACE＝45°．
∵OB＝OE，∠ABE＝45°，
∴∠OEB＝45°．
∴∠BOE＝90°．
在Rt△OBE中，BE＝＝5．
【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理以及圆周角定理的推理、等腰三角形的性质和判断、特殊锐角三角函数，以及等边三角形的性质和判定，证得△ACD为等腰三角形和△OBE为等腰直角三角形是解答本题的关键．
20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ．
（1）当∠POQ＝　90　度时，PQ有最大值，最大值为　10　．
（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；
（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．
（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
【分析】（1）先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
（2）先判断出∠POQ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（3）先在Rt△B'OP中，OP2+＝（10﹣OP）2，解得OP＝10﹣10，最后用面积的和差即可得出结论．
（4）先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，进而得出OM．
【解答】解：（1）∵P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，
∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，
此时，∠POQ＝90°，PQ＝，
故答案为：90，10；
（2）如图2，连接OQ，
∵点P是OB的中点，
∴OP＝OB＝OQ．
∵QP⊥OB，
∴∠OPQ＝90°
在Rt△OPQ中，cos∠QOP＝，
∴∠QOP＝60°，
∴＝；
（3）由折叠的性质可得，BP＝B'P，AB'＝AB＝10，
在Rt△B'OP中，OP2+＝（10﹣OP）2
解得OP＝10，
S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOP＝．
（4）找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，如图4，
则OM＝O′M，OO′⊥PQ，O′P＝OP＝6，点O′是所在圆的圆心，
∴O′C＝OB＝10，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，
∴O′C⊥AO，
∴O′C∥OB，
∴四边形OCO′B是矩形，
在Rt△O′BP中，O′B＝，
在Rt△OBO′，OO′＝，
∴OM＝OO′＝×2＝，
即O到折痕PQ的距离为，
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．
21．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝，求四边形OCDB的面积．
【分析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC＝DC，BO＝BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP＝∠EOP＝60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE＝OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC＝OP，从而可判定PM是⊙O的切线；
（2）先在Rt△OPC中计算出OC＝1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）PM与⊙O相切．
理由如下：
连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC＝DC，BO＝BD，
∴OC＝DC＝BO＝BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠COP＝∠EOP＝60°，
∵∠MPB＝∠ADC，
而∠ADC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE＝OP，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC＝OP，
∴OE＝OC，
而OE⊥PM，
∴PM是⊙O的切线；
（2）在Rt△OPC中，OC＝PC＝×＝1，
∴四边形OCDB的面积＝2S△OCD＝2××12＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．
（1）求证：＝．
（2）若AE＝12，BC＝10．
①求AB的长；
②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为　9　
【分析】（1）由切线的性质得出∠OCD＝90°，进而判断出CD∥AE，即可得出结论；
（2）①先判断出四边形CMED是矩形，进而求出CD＝6，再根据勾股定理求出BD＝8，最用三角函数即可得出结论；
②先判断出BE＝BF，再利用勾股定理求出BE，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OC交AE于M，
∵DC与⊙C相切于点C，
∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠CDB＝90°，
∴CD∥AE，
∴OC⊥AE，
∴；
（2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°，
∴四边形CMED是矩形，
∴CD＝ME＝AM＝AE＝6，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝8，
∴cos∠DBC＝，
∵∠CAM＝∠DBC，
∴cos∠CAM＝＝，
∴AC＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝；
②如图2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝
连接EF，
∵，
∴∠ABC＝∠DBC，
由折叠知，BF＝BE，
∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝9，
故答案为：9．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，求出AC是解本题的关键．
23．已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．
（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，求折痕EF的长；
（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．
【分析】（1）设折叠后的圆弧所在的圆心为O1，连接O1O，O1D，OE，设O1O交EF于点H，由折叠的轴对称性可知：EF垂直平分O1O，再证明OA＝OB＝OE＝2，根据AD：DB＝3：1，可知BD＝1，OD＝1，由勾股定理可知：O1O＝，从而可知OH＝，EH＝，根据EF＝2EH即可求得问题的答案；
（2）先根据题意画出图形，再求得最大值和最小值即可．
【解答】解：（1）如图1﹣1，设折叠后的圆弧所在的圆心为O1，连接O1O，O1D，OE，设O1O交EF于点H．
由折叠的轴对称性可知：EF是对称轴，
∴EF垂直平分O1O．
又∵EF是⊙O的弦，
∴010与EF相互垂直平分．
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝OE＝2．
∵AD：DB＝3：1，
∴BD＝1，OD＝1．
∴O1O═＝．
∴OH＝．
∴EH＝＝．
∴EF＝2EH＝．
（2）如图1﹣2，折痕EF的有最小值，最小值＝＝2．
如图1﹣3，折痕EF的有最大值，最大值为2．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、折叠的性质、勾股定理的应用，利用切线的性质画出EF存在最大值和最小值时的图形时解题的关键．
24．如图，⊙O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．
（1）如图①，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；
（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图②）⊙O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，求CD的长度的变化范围．
【分析】（1）利用垂径定理得出OE⊥AB，且AC＝BC，∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，进而得出△AOE是等边三角形，再利用三线合一求出即可；
（2）利用当弦CD过圆心O时最长，即是直径，CD＝4，再利用当弦CD过A或B与折叠后的弧相切时最短分别求出即可．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，AE，BE，OE，且AB与OE交于点C．
∵E是劣弧AB的中点，∴OE⊥AB，且AC＝BC（垂径定理），
∠AOE＝∠BOE＝∠AOB．
∵＝120°，∴∠AOB＝120，∠AOE＝∠BOE＝60°．
∵AO＝OE，∴△AOE是等边三角形．
∴OC＝EC（等腰三角形“三线合一”）
∴AB垂直平分OE．
因此，点O，E关于AB对称．
（2）解：当弦CD过圆心O时最长，即是直径，CD＝4；
当弦CD过A或B与折叠后的弧相切时最短．这时CD与AE垂直（假设C与点A重合）．
连接DE，则DE过圆心O（直角所对的弦是直径），
∵∠AED＝60度（在证对称时已证），
AE＝AO＝2，ED＝4，所以，AD＝＝2．
CD的长度变化范围是：．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理的推论和勾股定理，利用分类讨论思想得出CD最大和最小是解题关键．
25．如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y，
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝2时，
①求BF的长；
②如图2，若将弧AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．
【分析】（1）求y与x的函数关系式，可以通过证明△AFB∽△ACD，由相似比得出；
（2）①代入法求BF的长；
②求AG的长，将直径AB沿直线AF翻折过去，用面积法求得高B′H，再证明△AOI∽△AB′H得出．
【解答】解：（1）∵AB长为6，BC的长为x
∴AC＝6﹣x
∵∠A＝∠A，∠AFB＝∠ACD
∴△AFB∽△ACD
∴AF：AB＝AC：AD
∴
（2）①将x＝2代入（1）得y＝，所以BF＝＝
②△ABF的面积＝×÷2＝7.2
设AG＝x，AG＝AG′，BF＝B′F，AB′ B′G′＝B′F BB′，AG＝．
【点评】本题将函数与图形有机结合，考查了相似三角形的性质，圆的有关知识，翻折变换（折叠问题）的综合运用．