2020年北师大版七年级上册数学《第5章 一元一次方程》单元测试卷（解析版）

2020年北师大版七年级上册数学《第5章 一元一次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，变形正确的是（　　）
A．若6a＝2b，则a＝3b B．若2x＝a，则x＝a﹣2
C．若a＝b，则a+c＝b+c D．若a＝b+2，则3a＝3b+2
2．已知a＝b，下列变形不正确的是（　　）
A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．5a＝5b D．
3．若x＝1是方程（1）2﹣的解，则关于y的方程（2）m（y﹣3）﹣2＝m（2y﹣5）的解是（　　）
A．﹣10 B．0 C． D．4
4．已知a是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（　　）
①方程ax＝0的解是x＝1；②方程ax＝a的解是x＝1；③方程ax＝1的解是x＝；④方程|a|x＝a的解是x＝±1．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若某件商品的原价为a元，提价10%后，欲恢复原价，应降价（　　）
A． B． C． D．
6．方程2（1﹣x）＝x的解是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
7．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母．依题意列方程应为（　　）
A．12x＝18（28﹣x） B．2×12x＝18（28﹣x）
C．12×18x＝18（28﹣x） D．12x＝2×18（28﹣x）
9．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（　　）
A．60元 B．66元 C．75元 D．78元
10．某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次生意中商品经营（　　）
A．不赚不赔 B．赚90元 C．赚100元 D．赔90元
二．填空题（共8小题）
11．比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为　 　．
12．若2x3﹣2k+2k＝41是关于x的一元一次方程，则x＝　 　．
13．若x＝﹣1是关于x的方程﹣3a3x+a+2x＝0的根，则﹣6a3+5﹣2a＝　 　．
14．已知（a﹣3）2+|b+6|＝0，则方程ax＝b的解为x＝　 　．
15．若x＝﹣2是方程mx﹣6＝15+m的解，则m＝　 　．
16．方程ax+b＝0的解是正数，那么a，b应具备的条件是　 　．
17．已知关于x的方程2mx﹣6＝（m+2）x有正整数解，则整数m的值是　 　．
18．方程x+…+＝2009的解是x＝　 　．
三．解答题（共8小题）
19．下列方程的变形是否正确？为什么？
（1）由3+x＝5，得x＝5+3．
（2）由7x＝﹣4，得x＝．
（3）由，得y＝2．
（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3．
20．已知x＝3是方程的解，n满足关系式|2n+m|＝1，求m+n的值．
21．（1）已知x＝﹣3是关于x的方程2k﹣x﹣k（x+4）＝5的解，求k的值．
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝12cm，点C是直线AB上一点，且AC：BC＝1：k，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
22．关于x的方程ax﹣6＝2x，通过代值检验发现当a＝0时，方程的解为x＝﹣3；当a＝1时，方程的解为x＝﹣6；当a＝2时，方程无解．试讨论a与方程的解有什么关系？
23．解方程：﹣＝1．
24．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：＝ad﹣bc，当＝10时，求代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值．
25．已知关于x的方程2x＝8与x+2＝﹣k的解相同，求代数式的值．
26．已知方程5m﹣9＝4m的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣n＝10的解．
（1）求m、n的解；
（2）已知线段AB＝m，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝n?PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．



2020年北师大版七年级上册数学《第5章 一元一次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，变形正确的是（　　）
A．若6a＝2b，则a＝3b B．若2x＝a，则x＝a﹣2
C．若a＝b，则a+c＝b+c D．若a＝b+2，则3a＝3b+2
【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立．
【解答】解：由a＝b及等式的性质1
得 a+c＝b+c
故选：C．
【点评】本题主要考查等式的基本性质．
2．已知a＝b，下列变形不正确的是（　　）
A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．5a＝5b D．
【分析】等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
【解答】解：由a＝b
得：（c≠0）
故选：D．
【点评】本题主要考察等式的基本性质．
3．若x＝1是方程（1）2﹣的解，则关于y的方程（2）m（y﹣3）﹣2＝m（2y﹣5）的解是（　　）
A．﹣10 B．0 C． D．4
【分析】先把x＝1代入方程（1），求出m的值，再把m的值代入方程（2）求解．
【解答】解：先把x＝1代入方程（1）得：
2﹣（m﹣1）＝2×1，
解得：m＝1，
把m＝1代入方程（2）得：1×（y﹣3）﹣2＝1×（2y﹣5），
解得：y＝0．
故选：B．
【点评】此题需要解两个方程，需要格外细心，但难度不大．
4．已知a是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（　　）
①方程ax＝0的解是x＝1；②方程ax＝a的解是x＝1；③方程ax＝1的解是x＝；④方程|a|x＝a的解是x＝±1．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】解一元一次方程的步骤有5步：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1，系数化为1时的系数一定不能为0，①②④都忽略了系数为0的情况．
【解答】解：①当a≠0时，x＝0，错误；
②当a≠0时，两边同时除以a，得：x＝1，错误；
③ax＝1，则a≠0，两边同时除以a，得：x＝，若a＝0，无解，错误；
④当a＝0时，x取全体实数，当a＞0时，x＝1，当a＜0时，x＝﹣1，错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法，注意：当是含字母的系数时，一定要保证系数不为0，才能同时除以这个系数．
5．若某件商品的原价为a元，提价10%后，欲恢复原价，应降价（　　）
A． B． C． D．
【分析】提价10%后价格为1.1a，设应降价为x，则根据x＝，即可解题．
【解答】解：提价10%后价格为1.1a，设应降价为x，
则恢复原价，降价为1.1a﹣a，
降价为x＝，
化简得：x＝，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，本题中注意提价的底价为a，降价的底价为1.1a，即可正确解题．
6．方程2（1﹣x）＝x的解是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：4（1﹣x）＝x，
去括号得：4﹣4x＝x，
移项合并得：5x＝4，
解得：x＝．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数﹣（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数＝3，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，
所以根据时间列的方程为：＝3，
故选：C．
【点评】根据时间得到相应的等量关系是解决本题的关键，注意应先得到实际的工作总量和工作效率．
8．某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母．依题意列方程应为（　　）
A．12x＝18（28﹣x） B．2×12x＝18（28﹣x）
C．12×18x＝18（28﹣x） D．12x＝2×18（28﹣x）
【分析】螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，那么螺母的个数较多，要想让螺栓的个数和螺母的个数相等，等量关系为：2×生产的螺栓的个数＝螺母的个数，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵有x名工人生产螺栓，
∴有（28﹣x）名工人生产螺母，
∵每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，
∴螺栓有12x，螺母有18×（28﹣x）个，
故方程为2×12x＝18（28﹣x），
故选：B．
【点评】考查用一元一次方程解决工程问题，得到螺栓和螺母数量的等量关系是解决本题的关键．
9．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（　　）
A．60元 B．66元 C．75元 D．78元
【分析】4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么煤气一定超过60立方米，等量关系为：60×0.8+超过60米的立方数×1.2＝0.88×所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以0.88即为煤气费．
【解答】解：设4月份用了煤气x立方，
则60×0.8+（x﹣60）×1.2＝0.88×x，
解得：x＝75，
75×0.88＝66元，
故选：B．
【点评】考查用一元一次方程解决实际问题，判断出煤气量在60立方米以上是解决本题的突破点；得到煤气费的等量关系是解决本题的关键．
10．某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次生意中商品经营（　　）
A．不赚不赔 B．赚90元 C．赚100元 D．赔90元
【分析】此类题应算出实际赔了多少和赚了多少，然后再比较是赔是赚，赔多少，赚多少．还应注意赔赚都是在原价的基础上．
【解答】解：（1）设赚了15%的衣服是x元，
则：（1+15%）x＝1955
解得：x＝1700
则实际赚了255元．
（2）设赔了15%的衣服是y元，
则（1﹣15%）y＝1955，
解得：y＝2300
则：实际赔了345元，
又255＜345，所以赔了90元．
故选：D．
【点评】注意赔赚都是在原价的基础上，故需分别求出两件衣服的原价，再比较．
二．填空题（共8小题）
11．比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为　3a+5＝4a　．
【分析】根据题意a的3倍表示为3a，即得出3a+5，同理a的4倍表示为4a，再用等号连接即可．
【解答】解：根据题意得：3a+5＝4a．
故答案为：3a+5＝4．
【点评】本题考查了代数式和等式的性质等知识点，关键是能列代数式表示题意所反映的数量关系．
12．若2x3﹣2k+2k＝41是关于x的一元一次方程，则x＝　　．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．根据未知数的指数为1可得出k的值．
【解答】解：由一元一次方程的特点得3﹣2k＝1，
解得：k＝1，
故原方程可化为：2x+2＝41，
解得：x＝．
故填：．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0．
13．若x＝﹣1是关于x的方程﹣3a3x+a+2x＝0的根，则﹣6a3+5﹣2a＝　1　．
【分析】依据x＝﹣1是关于x的方程﹣3a3x+a+2x＝0的根，即可得到3a3+a﹣2＝0，进而得出﹣6a3﹣2a＝﹣4，再运用整体代入法即可得到﹣6a3+5﹣2a的值．
【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的方程﹣3a3x+a+2x＝0的根，
∴3a3+a﹣2＝0，
∴3a3+a＝2，
∴﹣6a3﹣2a＝﹣4，
∴﹣6a3+5﹣2a＝5﹣4＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，利用整体代入法进行计算是解决问题的关键．
14．已知（a﹣3）2+|b+6|＝0，则方程ax＝b的解为x＝　﹣2　．
【分析】此题可先根据非负数的性质得出两个方程，分别求出a、b的值，代到方程ax＝b中求出x的值．
【解答】解：由题意得：，
解得a＝3，b＝﹣6，
把a＝3，b＝﹣6代入ax＝b得：3x＝﹣6，
解得：x＝﹣2．
故填：﹣2．
【点评】本题考查非负数的性质和解方程的综合运用，根据非负数的性质求出a、b的值，然后解出方程的解．
15．若x＝﹣2是方程mx﹣6＝15+m的解，则m＝　﹣7　．
【分析】根据一元一次方程的解的定义，把方程的解代入方程，就得到一个关于m的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵x＝﹣2是方程mx﹣6＝15+m的解，
把x＝﹣2代入方程得：﹣2m﹣6＝15+m，
解方程得：m＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】vebt考查了对解一元一次方程，一元一次方程的解的理解和掌握，关键是检查学生①理解一元一次方程的解的定义，②根据定义得出一个关于m的方程．题目比较典型，培养了学生分析问题和解决问题的能力．
16．方程ax+b＝0的解是正数，那么a，b应具备的条件是　a，b异号　．
【分析】求出方程的解x＝﹣，得出﹣＞0，根据有理数的除法法则即可求出答案．
【解答】解：ax+b＝0，
∴ax＝﹣b，
∵方程的解是正数，
∴x＝﹣＞0，
＜0，
∴a、b异号，
故答案为：a、b异号．
【点评】本题考查了有理数的除法法则，一元一次方程的解，解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出﹣＞0，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
17．已知关于x的方程2mx﹣6＝（m+2）x有正整数解，则整数m的值是　3，4，5，8　．
【分析】首先求出方程2mx﹣6＝（m+2）x的解，得出用含m的代数式表示x的式子，然后根据x是正整数，m是整数，即可得出结果．
【解答】解：解关于x的方程2mx﹣6＝（m+2）x，
得：x＝．
∵x为正整数，
∴为正整数，
又∵m是整数，
∴m﹣2是6的正约数，
∴m﹣2＝1，2，3，6，
∴m＝3，4，5，8．
【点评】本题主要考查了字母系数的一元一次方程的解法，有一定难度，要注意不要漏解．
18．方程x+…+＝2009的解是x＝　1005　．
【分析】本题将原方程变形，将大部分系数消掉，便可解答．
【解答】解：原方程可化为：＝2009；
即；
提取公因式，得；
化简得：2x（1﹣）＝2009；
解得：x＝1005．
【点评】本题难度极大，需要很强的计算能力和创造性思维能力．要注意寻找规律（＝，＝﹣）．
三．解答题（共8小题）
19．下列方程的变形是否正确？为什么？
（1）由3+x＝5，得x＝5+3．
（2）由7x＝﹣4，得x＝．
（3）由，得y＝2．
（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3．
【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确；
（2）根据左边除以7，右边乘，可得变形不正确；
（3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确；
（4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确．
【解答】解：（1）由3+x＝5，得x＝5+3，变形不正确，
∵方程左边减3，方程的右边加3，
∴变形不正确；
（2）由7x＝﹣4，得x＝，变形不正确，
∵左边除以7，右边乘，
∴变形不正确；
（3）由，得y＝2，变形不正确，
∵左边乘2，右边加2，
∴变形不正确；
（4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3，变形不正确，
∵左边加x减3，右边减x减3，
∴变形不正确．
【点评】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化．
20．已知x＝3是方程的解，n满足关系式|2n+m|＝1，求m+n的值．
【分析】把x＝3代入方程，求出m的值，把m的值代入关系式|2n+m|＝1，求出n的值，进而求出m+n的值．
【解答】解：把x＝3代入方程，
得：3（2+）＝2，
解得：m＝﹣．
把m＝﹣代入|2n+m|＝1，
得：|2n﹣|＝1
得：①2n﹣＝1，②2n﹣＝﹣1．
解①得，n＝，
解②得，n＝．
∴（1）当m＝﹣，n＝时，
m+n＝﹣；
（2）当m＝﹣，n＝时，m+n＝﹣．
【点评】本题求m、n的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
21．（1）已知x＝﹣3是关于x的方程2k﹣x﹣k（x+4）＝5的解，求k的值．
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝12cm，点C是直线AB上一点，且AC：BC＝1：k，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
【分析】（1）将x＝﹣3代入原方程2k﹣x﹣k（x+4）＝5整理即可求得k的值；
（2）先将k＝2代入AC：BC＝1：k，得AC：BC＝1：2，然后分两种情况：①当点C在线段AB求得CD，②当点C在线段BA延长线上求得CD．
【解答】解：（1）将x＝﹣3代入原方程2k﹣x﹣k（x+4）＝5整理得
2k+3﹣k＝5，
移项，合并同类项，得
k＝2；

（2）将k＝2代入AC：BC＝1：k，得
AC：BC＝1：2，
有两种情况，①当点C在线段AB上，3AC＝AB，
∵AB＝12cm，
∴AC＝4，
又∵点D是AC的中点，
CD＝2cm．
②当点C在线段BA延长线上，
则由AC：BC＝1：2，
得＝，
∵AB＝12cm，
∴AC＝12cm，
又∵点D是AC的中点，
∴CD＝6cm．
答：CD为2cm或6cm．
【点评】此题主要涉及一元一次方程的解和两点间的距离这两个知识点，解答（2）时注意要有两种情况，特别是当点C在线段BA延长线上，这一点学生容易忽视，因此要向学生特别强调．
22．关于x的方程ax﹣6＝2x，通过代值检验发现当a＝0时，方程的解为x＝﹣3；当a＝1时，方程的解为x＝﹣6；当a＝2时，方程无解．试讨论a与方程的解有什么关系？
【分析】我们知道方程ax＝b的解有三种情况：1、当a≠0时，有唯一解；2、当a＝0，且b≠0时，无解；3、当a＝0且b＝0时，有无数个解；然后化简方程得到ax＝b形式即可分析．
【解答】解：化简方程ax﹣6＝2x，得（a﹣2）x＝6，
当a≠2时，有唯一解x＝，
当a＝2时，方程无解．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是明确ax＝b有解，无解及有无数个解的条件．
23．解方程：﹣＝1．
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：去分母，得2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6
去括号，得4x﹣2﹣3x﹣3＝6
移项，得4x﹣3x＝6+2+3
合并同类项，得x＝11．
【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
24．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：＝ad﹣bc，当＝10时，求代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值．
【分析】利用题中的新定义运算方法求出x的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义运算方法得：6x﹣4（3x﹣2）＝10，
去括号得：6x﹣12x+8＝10，
解得：x＝，
∴2（x﹣2）﹣3（x+1）
＝2x﹣4﹣3x﹣3
＝﹣x﹣7
＝﹣（）﹣7
＝．
∴代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值是．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及代数式求值，解一元一次方程的步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．
25．已知关于x的方程2x＝8与x+2＝﹣k的解相同，求代数式的值．
【分析】根据同解方程的解相同，第一个方程的解，可得第二个方程的解，根据第二个方程的解，可得k的值，根据k值，可得代数式的值．
【解答】解：2x＝8，
x＝4，关于x的方程2x＝8与x+2＝﹣k的解相同，
把x＝4代入x+2＝﹣k，
k＝﹣6，
＝＝﹣．
【点评】本题考查了同解方程，先解出第一个方程的解，把第一个方程的解代入第二个方程，得出k的值，再求出代数式的值．
26．已知方程5m﹣9＝4m的解也是关于x的方程2（x﹣3）﹣n＝10的解．
（1）求m、n的解；
（2）已知线段AB＝m，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝n?PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．
【分析】（1）由条件可先解出m＝9，则第二个方程的解也是9，代入可求得n的值；
（2）分P在线段AB上和在线段AB的延长线上两种情况来求即可．
【解答】解：
（1）解方程5m﹣9＝4m可得m＝9，
则方程2（x﹣3）﹣n＝10的解为x＝9，代入可得：12﹣n＝10，解得n＝2；
（2）当P在线段AB上时，如图（1）所示，

AB＝9，AP＝2PB＝6，
∵Q是PB的中点，
∴PQ＝PB＝1.5，
∴AQ＝AP+PQ＝6+1.5＝7.5；
当P在线段AB的延长线上时，如图（2）所示，

AB＝9，AP＝2PB＝18，
∵Q是PB的中点，
∴BQ＝BP＝4.5，
∴AQ＝AB+BQ＝9+4.5＝13.5，
综上可知AQ＝7.5或13.5．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解及线段的和差，第（2）问中画出正确的图形是解题的关键．