2020年北师大版九年级上册数学第2章 一元二次方程单元测试卷（解析版）

2020年北师大版九年级上册数学《第2章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x
2．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔?花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔?花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（　　）

A． S＝21+4＝25 B． S＝21﹣4＝17
C． S＝21+4＝25 D． S＝21﹣4＝17
3．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　）
A．k≠1 B．k＜0 C．k＜﹣1 D．k＞0
4．已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11＝0，a2﹣5b﹣5＝0，则b的值是（　　）
A．1 B．1，﹣6 C．﹣1 D．﹣6
5．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
6．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）
A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8
8．关于x的方程|x2﹣x|﹣a＝0，给出下列四个结论：
①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；
其中正确的结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．关于未知数x的方程ax2+4x﹣1＝0只有正实数根，则a的取值范围为（　　）
A．﹣4≤a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣4＜a≤0 D．﹣4＜a＜0
10．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（　　）cm．
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二．填空题（共8小题）
11．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　 　．
12．将方程（2﹣x）（x+1）＝8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是　 　，它的一次项系数是　 　，常数项是　 　．
13．已知x满足方程x2﹣3x+1＝0，则x2+的值为　 　．
14．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　 　．
15．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝　 　，x1＝　 　，x2＝　 　．
16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　 　．
17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，则这个直角三角形的斜边长为　 　．
18．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是　 　．
三．解答题（共8小题）
19．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
20．已知关于x的方程5x2﹣kx﹣10＝0的一个根为﹣5，求它的另一个根及k的值．
21．（1）（y﹣1）2﹣4＝0
（2）（配方法）2x2﹣5x+2＝0．
22．已知x2﹣x﹣1＝0，求：（1）求x的值． （2）求的值．
23．解方程：
（1）x2+4x＝﹣3
（2）a2+3a+1＝0（用公式法）
24．选用适当的方法解下列方程：
（1）（3﹣x）2+x2＝9；
（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0；
（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；
（4）（x﹣1）2＝（1﹣x）
25．当a是什么整数时，关于x的一元二次方程x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5＝0与ax2﹣4x+4＝0的根都是整数．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，CB长为半径画弧交线段AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧交线段AB于点E，连结BD．
（1）若∠A＝∠ABD，求∠C的度数．
（2）设BC＝a，AB＝b．
①请用含a，b的代数式表示AD与BE的长．
②AD与BE的长能同时是方程x2+2ax﹣b2＝0的根吗？说明理由．




2020年北师大版九年级上册数学《第2章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4，
去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4，
移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0，
其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．
故选：C．
【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．
2．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔?花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔?花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（　　）

A． S＝21+4＝25 B． S＝21﹣4＝17
C． S＝21+4＝25 D． S＝21﹣4＝17
【分析】利用配方法把方程变形，结合图形解答．
【解答】解：x2﹣4x﹣21＝0
x2﹣4x+4＝21+4
（x﹣2）2＝25
正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程的一般步骤是解题的关键．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　）
A．k≠1 B．k＜0 C．k＜﹣1 D．k＞0
【分析】利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，一根大于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．
4．已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11＝0，a2﹣5b﹣5＝0，则b的值是（　　）
A．1 B．1，﹣6 C．﹣1 D．﹣6
【分析】两式相减先消去a，得到关于b的方程，再解方程，最后检验解．
【解答】解：∵a2+b2﹣11＝0，①
a2﹣5b﹣5＝0，②
∴①﹣②得 b2+5b﹣6＝0，
（b+6）（b﹣1）＝0，
∴b1＝﹣6，b2＝1．
当b＝﹣6时，
a2＝﹣25，方程无实数根，不合题意，舍去．
∴b＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了运用消元法解方程组和运用因式分解法解一元二次方程的思路，注意根据题意取舍字母的取值．
5．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，求出y，即可得出选项．
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
6．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据公式法或因式分解法解方程，根据方程的解为正整数及m为整数，即可确定出m的值．
【解答】解：m2x2﹣8mx+12＝0，
解法一：△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，
∴x1＝，x2＝，
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，
∴＞0，＞0，
∴m＝1或2或3或6，
则满足条件的m的值的个数是4个，
故选：B．
【点评】此题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
7．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）
A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8
【分析】先根据两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，求得k＝3，进而得到一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，进而得到两腰之和为＝4，进而得出△ABC的周长为4+3＝7．
【解答】解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，
解得k＝3，
∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，
∴两腰之和为＝4，
∴△ABC的周长为4+3＝7，
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及三角形三边关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
8．关于x的方程|x2﹣x|﹣a＝0，给出下列四个结论：
①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；
其中正确的结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先由：|x2﹣x|﹣a＝0，可得a≥0，然后分析若x2﹣x＞0时，由判别式可知此时方程有两个不相等的实数根，又由x2﹣x＜0时，分析当△＝﹣4a+1＞0时，有两个不相等的实数根，当△＝﹣4a+1＝0时，有两个相等的实数根，当△＝﹣4a+1＜0时，没有的实数根，即可求得答案．
【解答】解：∵|x2﹣x|﹣a＝0，
∴|x2﹣x|＝a，
∴a≥0，
当a＝0时，x2﹣x＝0，方程有两个实数根，
若x2﹣x＞0，
则x2﹣x﹣a＝0，
∴△＝（﹣1）2+4a＝4a+1＞0，
此时方程有两个不相等的实数根．
若x2﹣x＜0，
则﹣x2+x﹣a＝0，即则x2﹣x+a＝0，
∴△＝（﹣1）2﹣4a＝﹣4a+1，
当﹣4a+1＞0时，0≤a＜，
此时方程有两个不相等的实数根，
当﹣4a+1＝0时，a＝，
此时方程有两个相等的实数根，
当﹣4a+1＜0时，a＞，
此时方程没有的实数根；
∴当0＜a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，故③正确；
当a＝时，使得方程恰有3个不同的实根，故②正确；
当a＝0或a＞时，使得方程恰有2个不同的实根，故①正确．
∴正确的结论是①②③．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．解题的关键是分类讨论思想的应用，小心别漏解．
9．关于未知数x的方程ax2+4x﹣1＝0只有正实数根，则a的取值范围为（　　）
A．﹣4≤a≤0 B．﹣4≤a＜0 C．﹣4＜a≤0 D．﹣4＜a＜0
【分析】当a＝0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；
当a≠0时，方程是一元二次方程，只有正实数根，则应满足：△≥0，x1+x2＞0，x1?x2＞0，建立关于a的不等式，求得a的取值范围即可．
【解答】解：当a＝0时，方程是一元一次方程，方程是4x﹣1＝0，解得x＝，是正根；
当a≠0时，方程是一元二次方程．
∵a＝a，b＝4，c＝﹣1，
∴△＝16+4a≥0，
x1+x2＝﹣＞0，
x1?x2＝﹣＞0
解得：﹣4≤a＜0．
总之：﹣4≤a≤0．
故选：A．
【点评】注意本题分a＝0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．并且利用了一元二次方程若只有正实数根的条件，则应有△≥0，两根之积大于0，两根之和大于0求解．
10．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（　　）cm．
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】截去的小正方形的边长是xcm，根据题目条件列出一元二次方程，求出这个方程的解就求得了答案．
【解答】解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得
（28﹣2x）（20﹣2x）＝180，
解得：x1＝5，x2＝19，
∵20﹣2x＞0，
∴x＜10．
∴x2＝19，不符合题意，应舍去．
∴x＝5．
∴截去的小正方形的边长是5cm．
故选：C．


【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答时要检验其根是不是符合题意是关键，也是容易出错的地方．
二．填空题（共8小题）
11．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　2　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到，解得m＝2．
【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+2≠0这一条件．
12．将方程（2﹣x）（x+1）＝8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是　x2﹣x+6＝0　，它的一次项系数是　﹣1　，常数项是　6　．
【分析】去括号、移项、合并同类项，最后方程两边都除以﹣1，即可得出答案．
【解答】解：（2﹣x）（x+1）＝8，
2x+2﹣x2﹣x﹣8＝0，
﹣x2+x﹣6＝0，
两边都除以﹣1得：x2﹣x+6＝0，
即一元二次方程的一般形式是x2﹣x+6＝0，它的一次项系数是﹣1，常数项是6，
故答案为：x2﹣x+6＝0，﹣1，6．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），说项时，要带着前面的符号．
13．已知x满足方程x2﹣3x+1＝0，则x2+的值为　7　．
【分析】在已知方程的两边同时除以x，通过移项来求x+的值，进而得到x2+的值．
【解答】解：∵x满足方程x2﹣3x+1＝0，
∴x≠0，
∴两边同时除以x，可得x﹣3+＝0，
解得x+＝3，
两边平方，可得x2+2+＝9，
∴x2+＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题时注意：在等式的两边同时除以x时，x必须不为零．
14．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　x1＝﹣1，x2＝3　．
【分析】把后面一个方程m（x+a﹣2）2+n＝0中的x﹣2看作整体，相当于前面一个方程中的x，据此求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，
∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程以及方程的解的定义．解决问题的关键是由两个方程的结构特点进行简便计算．
15．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝　41　，x1＝　　，x2＝　　．
【分析】根据已知得出a＝2，b＝﹣7，c＝1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式x＝求出即可．
【解答】解：2x2﹣7x+1＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
故答案为：41，，．
【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．
16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　13　．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x＝2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x＝4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，则这个直角三角形的斜边长为　　．
【分析】利用换元法解方程（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，即可得到x2+y2＝5，进而得出这个直角三角形的斜边长为．
【解答】解：设x2+y2＝t，则原方程可化为：
t（t﹣1）＝20，
∴t2﹣t﹣20＝0，
即（t+4）（t﹣5）＝0，
∴t1＝5，t2＝﹣4（舍去），
∴x2+y2＝5，
∴这个直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．
18．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是　k＞4　．
【分析】因为关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，所以△＝b2﹣4ac＞0，即k2＞16，解得k＜﹣4或k＞4；又因为方程中一次项中未知数带着绝对值符号，一次项的系数不能为正数，否则等式不成立．所以当k＜﹣4时，不符合题意，故取k＞4．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，
∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣16＞0，
即k2＞16，
解得k＜﹣4或k＞4，
而k＜﹣4时，x2﹣k|x|+4的值不可能等于0，
所以k＞4．
故填空答案：k＞4．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，也涉及了绝对值方程的应用，同时注意通过根与系数的关系求出的k值一定要代入到原方程检验，把不符合题意的值舍去．本题最后舍去k＜﹣4是最容易出错的地方，要求具有严谨的数学思维．
三．解答题（共8小题）
19．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
【分析】常数项为0，即m2﹣3m+2＝0，再根据方程是一元二次方程，须满足m﹣1≠0，问题可求．
【解答】解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0①，m﹣1≠0②，
解①得：m＝2或1；解②得：m≠1，∴m＝2．
【点评】本题考查对一元二次方程的掌握情况，要特别注意二次项的系数不为0这个隐含条件．
20．已知关于x的方程5x2﹣kx﹣10＝0的一个根为﹣5，求它的另一个根及k的值．
【分析】设方程的另一个根是a，由根与系数的关系得出a+（﹣5）＝，﹣5a＝﹣2，求出即可．
【解答】解：设方程的另一个根是a，
则由根与系数的关系得：a+（﹣5）＝，﹣5a＝﹣2，
解得：k＝﹣23，a＝，
答：它的另一个根是，k的值是﹣23．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系得应用，若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
21．（1）（y﹣1）2﹣4＝0
（2）（配方法）2x2﹣5x+2＝0．
【分析】（1）移项后开方得出y﹣1＝±2，求出方程的解即可；
（2）方程的两边都除以2得出解：，配方得到，开方得出，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）移项得：（y﹣1）2＝4，
开方得：y﹣1＝±2，
解得：y1＝3，y2＝﹣1．

（2），
，
，
，
∴，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的应用，解（1）的关键是得出一元一次方程，解（2）的关键是正确配方，题目都较好，主要培养学生能选择适当的方法解一元二次方程．
22．已知x2﹣x﹣1＝0，求：（1）求x的值． （2）求的值．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式 x＝求出即可；
（2）求出x2＝x+1，求出x4＝3x+2，x5＝5x+3，2x2＝2x+2，分别代入即可．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．

（2）x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
x4＝（x2）2＝（x+1）2＝x2+2x+1＝x+1+2x+1＝3x+2，
x5＝x（3x+2）＝3x2+2x＝3（x+1）+2x＝5x+3，
2x2＝2（x+1）＝2x+2，
∴＝＝＝1．
【点评】本题主要考查对解一元二次方程，分式的化简求值等知识点的理解和掌握，能求出x4＝3x+2，x5＝5x+3，2x2＝2x+2是解此题的关键．
23．解方程：
（1）x2+4x＝﹣3
（2）a2+3a+1＝0（用公式法）
【分析】（1）用配方法或者移项后用因式分解法都比较简便；
（2）先确定二次项系数、一次项系数及常数项，再计算△，代入求根公式即可．
【解答】解：（1）x2+4x+3＝0，
（x+1）（x+3）＝0，
（x+1）＝0，（x+3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
（2）a2+3a+1＝0，
△＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法及公式法．可根据题目特点灵活选择（1）的解法．
24．选用适当的方法解下列方程：
（1）（3﹣x）2+x2＝9；
（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0；
（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；
（4）（x﹣1）2＝（1﹣x）
【分析】（1）先化为一般式后，分解因式，然后解一元一次方程即可；
（2）把2x﹣1看作整体，利用十字相乘法分解得到（2x﹣1﹣3）（2x﹣1+2）＝0，则一元二次方程转化为两个一元一次方程2x﹣4＝0或2x+1＝0，然后解一元一次方程即可；
（3）利用直接开平方解方程即可；
（4）移项后提公因式x﹣1，可解答．
【解答】解：（1）（3﹣x）2+x2＝9，
2x2﹣6x＝0，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3；
（2）（2x﹣1）2+（1﹣2x）﹣6＝0，
（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）﹣6＝0，
（2x﹣1﹣3）（2x﹣1+2）＝0，
x1＝2，x2＝﹣；
（3）（3x﹣1）2＝4（1﹣x）2；
3x﹣1＝±2（x﹣1），
3x﹣1＝2x﹣2，3x﹣1＝﹣2x+2，
x1＝﹣1，x2＝；
（4）（x﹣1）2＝（1﹣x），
（x﹣1）2+（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣+1）＝0，
x1＝1，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程化为一般式ax2+bx+c＝0（a≠0），再把方程左边因式分解，然后把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程得到一元二次方程的解．
25．当a是什么整数时，关于x的一元二次方程x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5＝0与ax2﹣4x+4＝0的根都是整数．
【分析】这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于a不等式，从而求得a的范围，再根据a是整数，即可得到a的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5＝0与ax2﹣4x+4＝0有解，
则a≠0，
∴△≥0，
x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5＝0，
∴△＝（﹣4a）2﹣4×1×（4a2﹣4a﹣5）≥0，即a≥﹣；
ax2﹣4x+4＝0，
△＝16﹣4×a×4＝16﹣16a≥0，
∴a≤1；
∴﹣≤a≤1，且a≠0，而a是整数，
∴a＝﹣1，a＝1，
①当a＝﹣1时，方程x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5＝0为x2+4x+3＝0，方程的解是x1＝﹣1，x2＝﹣3；
ax2﹣4x+4＝0即﹣x2﹣4x+4＝0，x2+4x﹣4＝0，此时方程的解不是整数；
②当a＝1时，方程x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5＝0为x2﹣4x﹣5＝0，方程的解是x1＝5，x2＝﹣1；
ax2﹣4x+4＝0即x2﹣4x+4＝0，方程的解是x1＝x2＝2；
综合上述：当a是1时，ax2﹣8x+7＝0与x2﹣4ax+4a2﹣4a﹣5＝0的根都是整数．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，CB长为半径画弧交线段AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧交线段AB于点E，连结BD．
（1）若∠A＝∠ABD，求∠C的度数．
（2）设BC＝a，AB＝b．
①请用含a，b的代数式表示AD与BE的长．
②AD与BE的长能同时是方程x2+2ax﹣b2＝0的根吗？说明理由．

【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据根与系数的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠ABD，∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠C＝∠CBD，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠C，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠C＝60°；
（2）①∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝a，AB＝b，
∴AC＝，
∵CD＝BC＝a，
∴AD＝AE＝AC﹣CD＝﹣a，
∴BE＝AB﹣AE＝b﹣+a；
②AD与BE的长不能同时是方程x2+2ax﹣b2＝0的根；
理由：∵AD+BE＝﹣a+b﹣+a＝b≠﹣2a，
∴AD与BE的长不能同时是方程x2+2ax﹣b2＝0的根．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．