2019-2020学年高一数学人教A版必修1学案：1.1.1集合的含义与表示Word版含答案

第一章　集合与函数概念
1.1　集合
1.1.1　集合的含义与表示
学习目标
①通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;
②知道常用数集及其记法;
③了解集合中元素的确定性、互异性、无序性;
④会用集合语言表示有关数学对象;
⑤培养学生抽象概括的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及了“集合”,那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
问题1:下面这5个实例的共同特征是什么?
(1)1~20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)北京大学2014年9月入学的全体学生.
二、自主探索,尝试解决
分小组讨论,讨论后每个小组选出一位同学代表本组宣布讨论结果,在此基础上,共同概括出5个实例的特征:?
　.?
三、信息交流,揭示规律
根据讨论的结果得出集合的含义:
1.集合的含义
问题2:集合应当如何表示呢?元素与集合是什么样的关系?
2.集合的表示
方法一:
方法二:
3.元素与集合的关系:
问题3:一组对象满足什么条件才能组成集合?
4.集合元素的性质
(1)确定性:
(2)互异性:
(3)无序性:
(4)集合相等:
问题4:
(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.
(2)你能写出不等式2-x>3的所有解吗?怎样表示这个不等式的解集?
5.集合的表示:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.
列举法:
描述法:
四、运用规律,解决问题
【例1】下列各组对象不能组成集合的是(　　)
A.大于6的所有整数
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
D.函数y=图象上所有的点
【例2】用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.
【例3】试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
五、变式演练,深化提高
1.下列所给对象不能构成集合的是(　　)
A.一个平面内的所有点
B.所有大于零的正数
C.某校高一(4)班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
2.用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数};
(2){所有被3整除的数};
(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z};
(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
4.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组的解集;
(2)1 000以内被3除余2的正整数所组成的集合;
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;
(4)所有正方形;
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.
六、反思小结,观点提炼
请同学们想一想
(1)本节课我们学习过哪些知识内容?
(2)你认为学习集合有什么意义?
(3)选择集合的表示法时应注意些什么?
七、作业精选,巩固提高
1.课本P12习题1.1 A组第4题.
2.元素、集合间有何种关系?如何用符号表示?类似地集合与集合间的关系又如何呢?如何表示?通过预习课本来解答.
参考答案
　　二、学生探索,尝试解决
都是有某些对象组成的全体
三、信息交流,揭示规律
1.集合的含义
一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
2.集合的表示:方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示.国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法:
自然数集(包含零):N,正整数集:N*(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.
方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等.
3.元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“∈”和“?”表示.
4.集合元素的性质
(1)确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A,要么a∈A,要么a?A.
(2)互异性:一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;
(3)无序性:集合中的元素是没有顺序的.
(4)集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
5.列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{　}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;
描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
四、运用规律,解决问题
【例1】B
【例2】解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.
(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
【例3】解:(1)设所要表示的集合为A,方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.
方程x2-2=0的两个实数根为,-,,因此,用列举法表示为A={,-}.
(2)设所要表示的集合为B,大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
点评:描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素;(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.
注意:当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.
五、变式演练,深化提高
1.思路分析:本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A项中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在B项中由于大于零的正数很明确,因此所给对象能组成一个集合;C项中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而D项中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它能组成一个集合.
答案:C
2.思路分析:用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
答案:(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(2){x|x=3n,n∈Z}.
(3)∵x=|x|,∴x≥0.∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.
(4){-2}.
(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
3.思路分析:对于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.
解:当a=0时,原方程为-3x+2=0?x=,符合题意;
当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则解得a≠0且a≤.
综上所得a的取值范围是{a|a≤}.
4.思路分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x=4,y=-2,故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个数较多,所以用列举法表示是不妥当的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法.
解:(1){(4,-2)};(2){x|x=3k+2,k∈N且x<1000};(3){(x,y)|x<0,且y>0};(4){正方形};(5){(x,y)|x<-1或x>1,y∈R}.