2019-2020学年高一数学人教A版必修1学案：1.2.1.1函数的概念Word版含答案

第一章　集合与函数概念
1.2　函数及其表示
1.2.1　函数的概念(第一课时)
学习目标
①会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号“y=f(x)”的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学生学习数学的兴趣及抽象概括的能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识;
②掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:给出下列三种对应:(幻灯片)
①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.
这里,炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应:f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.
②近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106km2)随时间t(单位:年)从1979~2001年的变化情况.
南极臭氧层空洞的面积
根据图中的曲线可知,时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B.
③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间
(年)
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
城镇居民
家庭恩格
尔系数(%)
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
　　请仿照①②描述此表中恩格尔系数与时间(年)的关系.
请同学们思考以上三个对应有什么共同特点?
二、自主探索,尝试解决
以上三个对应的共同特点:?
?
三、信息交流,揭示规律
问题2:函数的定义域是自变量的取值范围,那么如何理解这个“取值范围”呢?
问题3:函数有意义又指什么?
在研究函数时,除了用集合表示数的范围外,常会用到区间的概念.设a,b是两个实数,且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a,b]
{x|a开区间
(a,b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a,b)
{x|a半开半闭区间
(a,b]
{x|x≥a}
[a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
{x|x≤a}
(-∞,a]
{x|x(-∞,a)
R
(-∞,+∞)
　　四、运用规律,解决问题
【例1】已知函数f(x)=+.
(1)求函数的定义域;
(2)求f(-3),f()的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
【例2】求函数y=-的定义域.
【例3】已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=.
五、变式演练,深化提高
1.设函数f(n)=k(k∈N*),k是π的小数点后的第n位数字,π=3.141 592 653 5…,则=　　　　.?
2.已知A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.4个 B.6个
C.7个 D.8个
3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是{1,4}的“同族函数”共有(　　)
A.9个 B.8个
C.5个 D.4个
4.若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则M∩N等于(　　)
A.M B.N
C.?UM D.?UN
六、反思小结,观点提炼
请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?
七、作业精选,巩固提高
课本P24习题1.2 A组第1,5题.
参考答案]
　　二、自主探索,尝试解决
集合A,B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.
三、信息交流,揭示规律
问题2:自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.
问题3:函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2,
即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)=+=-1;
f()=+=+.
(3)∵a>0,∴a∈[-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意义.
则f(a)=+;
f(a-1)=+=+.
【例2】答案:{x|x≤1,且x≠-1}.
点评:本题容易错解:化简函数的解析式为y=x+1-,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前,不要化简解析式.
【例3】解析:法一:原式=++++++=++++++=.
法二:由题意得f(x)+f()=+=+=1.则原式=+1+1+1=.
答案:
点评:本题主要考查对函数符号f(x)的理解.对于符号f(x),当x是一个具体的数值时,相应地f(x)也是一个具体的函数值.解法二没有分别求代数式中的每个函数值,而是看到代数式中含有f(x)+f(),故先探讨f(x)+f()的值,从而使问题得以简单化.求含有多个函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特点,找到规律再求解.
受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累.
五、变式演练,深化提高
1.分析:由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,则有=1.
答案:1
2.解析:当f(a)=-1时,则f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个;
当f(a)=0时,则f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0,
即此时满足条件的函数有3个;
当f(a)=1时,则f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,
即此时满足条件的函数有2个.
综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个).
故选C项.
答案:C
点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数.
3.分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.
令x2=1,得x=±1;令x2=4,得x=±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个.
答案:A
4.分析:由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.
答案:A