2019-2020学年高一数学人教A版必修1学案：1.2.2.1函数的表示法Word版含答案

第一章　集合与函数概念
1.2　函数及其表示
1.2.2　函数的表示法(第一课时)
学习目标
①了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法);
②会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.
合作学习
　　一、设计问题,创设情境
语言是沟通人与人之间联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为生日快樂!英文为Happy Birthday!法文是Bon Anniversaire!德文是Alles Gute zum Geburtstag!西班牙文为Feliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun!荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd metjeverj aardag!在俄语中则是С днемрождения!……
问题1:对于函数,又有什么不同的表示方法呢?
二、自主探索,尝试解决
结合研究函数概念时生活中的三个例子,以及初中学过的函数的表示方法,同学们分组讨论,总结出函数的三种不同表示方法.
三、信息交流,揭示规律　
函数的三种表示方法:
解析法:
图象法:
列表法:
问题2:分析对比三种不同表示方法的优缺点.
四、运用规律,解决问题
【例1】某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).
【例2】下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表:
测试序号成绩姓名
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
　　请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
【例3】将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.
【例4】向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是(　　)
五、变式演练,深化提高
1.已知f()=,则f(x)=　　　　.?
2.已知函数f(x)=.
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)观察图象写出函数的定义域和值域.
3.求下列函数的值域:
(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);
(2)y=x4+1.
六、反思小结,观点提炼
请同学们回想一下,本节课我们学了哪些函数的表示方法?在具体的实际问题中如何恰当地选择?
七、作业精选,巩固提高
课本P24习题1.2 A组第7,8,9题.
参考答案
　　三、信息交流,揭示规律
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.
图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.
列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.
问题2:
解析法能够准确表达出两个变量之间的关系,简明扼要,给自变量求函数值;不足之处,比较抽象.图象法形象直观表示两个变量之间的关系,较好地反映了两个变量的变化趋势;不足之处,变量关系不够精确.列表法通过表格直接得出函数值,没有计算过程;不足之处,不能列出定义域为区间范围的所有函数值,仅能表示有限个.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},
用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
　　用图象法可将函数y=f(x)表示为
注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等;
②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;
③图象法:根据实际情境来决定是否连线;
④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
【例2】解:把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图所示.
由图可看到,王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.
点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.
注意:本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.
【例3】分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y表示为x的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.
解:设矩形一边长为x,则另一边长为(a-2x),则面积y=(a-2x)x=-x2+ax.
又得0由于y=-(x-)2+a2≤a2,
如图所示,结合函数的图象得值域为(0,a2].
【例4】分析:要求由水瓶的形状识别容积V和高度h的函数关系,突出了对思维能力的考查.
观察图象,根据图象的特点发现:取水深h=,注水量V'>,
即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.
A图中V'<,C,D两图中V'=,故选B图.
答案:B
五、变式演练,深化提高
1.解析:可设=t,则有x=,所以f(t)==,所以f(x)=(x≠-1).
答案:(x≠-1)
2.解:(1)y===+3.将y=的图象向左平移两个单位得y=的图象,再向上平移三个单位得y=+3的图象.
图象如图所示.
(2)观察函数的图象可知,图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞),
图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞).
则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).
注意:讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,要遵守定义域优先的原则.
3.解:(1)(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图所示:
函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是[-1,3].
(2)方法一:(观察法)函数的定义域是R,由x4≥0,有x4+1≥1,即函数y=x4+1的值域是[1,+∞).
方法二:(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t≥0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t≥0时,二次函数y=t2+1的值域是[1,+∞),即函数y=x4+1的值域是[1,+∞).