2019-2020学年高一数学人教A版必修1学案：1.3.1.1单调性与最大（小）值Word版含答案

第一章　集合与函数概念
1.3　函数的基本性质
1.3.1　单调性与最大(小)值(第一课时)
学习目标
①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;
②通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;
③通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.
合作学习
一、设计问题,创设情境
德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8~
9小时
1天
2天
6天
一个月
记忆量y
(百分比)
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
　　观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
二、自主探索,尝试解决
记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.
问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?
问题3:如何理解图象是上升的?
问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?
三、信息交流,揭示规律
1.增函数的定义
问题5:增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?
问题6:增函数的定义中,“当x1问题7:类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?
2.减函数的定义
减函数的几何意义:
问题8:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?
四、运用规律,解决问题
【例1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
【例2】物理学中的玻意耳定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.
【例3】(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;
(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;
(3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.
五、变式演练,深化提高
1,已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;
(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
2.(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.
3.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)六、反思小结,观点提炼
1.本节课你有哪些收获?函数的单调性概念明白了吗?常用的判断、证明方法有哪些?
2.你对自己本节课的表现有何评价?
3.你在与同学的交流中有何感受?
4.你对本节课还有哪些困惑和建议?
七、作业精选,巩固提高
课本P39习题1.3 A组第2,3,4题.
参考答案
　　问题1:函数y=x的图象从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.
问题2:函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
问题3:按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.
问题4:增函数定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1问题5:可以.增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”,也就是说前面是“>”,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.
问题6:函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.
2.减函数定义(板书)
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.
减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.
问题8:函数y=f(x)在区间D上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
【例2】证明:设V1,V2∈(0,+∞)且V1则p1=,p2=.
p1-p2=-=.
∵k>0,V10,V2>0.
∴>0,∴p1>p2.
根据减函数的定义知p=在(0,+∞)上是减函数.
点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1【例3】解:(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示.
(2)设x1,x2∈(-∞,1],且x1f(x1)-f(x2)=(-+2x1+3)-(-+2x2+3)
=(-)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1,x2∈(-∞,1],且x1∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数.
(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].
五、变式演练,深化提高
1.解:(1)设x1,x2∈R,且x1F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]
=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].
又∵函数f(x)是R上的增函数,x1∴f(x1)∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.
∴F(x1)(2)设点M(x0,F(x0))是函数F(x)的图象上任意一点,则点M(x0,F(x0))关于点(,0)的对称点为M'(a-x0,-F(x0)).
又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))
=f(a-x0)-f(x0)=-[f(x0)-f(a-x0)]
=-F(x0),
∴点M'(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)的图象上,
又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)的图象上任意一点,
∴函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
2.解:(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而函数在此两区间上的单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而函数在此两区间上的单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图所示:
函数y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:
不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直线x=m的对称区间是[2m-b,2m-a].
由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).
设2m-b≤x12m-x2≥a,
f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).
又∵函数y=f(x)在[a,b]上是增函数,
∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.
∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).
∴函数y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数.
∴当函数y=f(x)在对称轴x=m的一侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直线x=m的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反.
因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.
3.解析:∵f(x)的定义域是(0,+∞),
∴解得a<或a>1.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.
∴0答案:(0,)∪(1,5)