2019-2020学年高一数学人教A版必修1学案：1.3.1.2单调性与最大（小）值Word版含答案

第一章　集合与函数概念
1.3　函数的基本性质
1.3.1　单调性与最大(小)值(第二课时)
学习目标
①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;
②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.
合作学习
　　一、设计问题,创设情境
某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?
二、自主探索,尝试解决
问题1:如图所示是函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.
问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?
问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?
问题4:问题1中,在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y),如图所示,设点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象有最高点C?
三、信息交流,揭示规律
问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?
1.函数最大值的定义
问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?
问题7:函数最大值的几何意义是什么?
问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?
问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?
问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?
问题11:类比函数的最大值,请你给出函数最小值的定义及其几何意义.
2.函数最小值的定义
问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?
四、运用规律,解决问题
【例1】求函数y=在区间[2,6]上的最大值和最小值.
【例2】画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.
【例3】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?
五、变式演练,深化提高
1.已知函数f(x)=x+(x>0).
(1)证明当0(2)求函数f(x)的最小值.
2.求函数y=(x≥0)的最大值.
3.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.
4.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.
六、反思小结,观点提炼
请同学们从下列几方面分组讨论:
1.函数的最值及几何意义如何?
2.你学了哪几种求函数最值的方法?
3.求函数最值时,要注意什么原则?
七、作业精选,巩固提高
课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.
参考答案
　　问题1:函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
问题2:函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.
问题3:图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
问题4:由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.
三、信息交流,揭示规律
问题5:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
问题6:f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.
问题7:函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.
问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
问题9:不是,因为该函数的定义域中没有-1.
问题10:讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.
问题11:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.
问题12:讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:设2≤x1f(x1)-f(x2)=-=
=,
∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0.
∴f(x1)>f(x2),即函数y=在区间[2,6]上是减函数.
所以,当x=2时,函数y=在区间[2,6]上取得最大值f(2)=2;
当x=6时,函数y=在区间[2,6]上取得最小值 f(6)=.
【例2】解:函数图象如图所示.
由图象得,函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1]上是上升的,在[-1,0)和(1,+∞)上是下降的,最高点是(-1,4)和(1,4),
故函数在(-∞,-1),[0,1]上是增函数;函数在[-1,0),(1,+∞)上是减函数,最大值是4.
点评:本题主要考查函数的单调性和最值,以及最值的求法.求函数的最值时,先画函数的图象,确定函数的单调区间,再用定义法证明,最后借助单调性写出最值,这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值:先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论:
①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在[a,c]上,当x=b时取最大值f(b);
②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在[a,c]上,当x=b时取最小值f(b).
【例3】
解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象,如图所示,
显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
当t=-=1.5时,函数有最大值
h=≈29.
即烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是29 m.
点评:本题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是:①审清题意读懂题;②将实际问题转化为数学问题来解决;③归纳结论.
注意:要坚持定义域优先的原则;求二次函数的最值要借助图象,即数形结合.
五、变式演练,深化提高
1.解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+=,
∵x10.
当0∴f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x1)>f(x2),即当0当1≤x10,
∴f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x1)(2)方法一:由(1)得当x=1时,函数f(x)=x+,x>0取最小值.
又f(1)=2,则函数f(x)=x+,x>0取最小值2.
方法二:借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象,如图所示,
由图象知,当x=1时,函数f(x)=x+,x>0取最小值f(1)=2.
2.解:可证明函数y=(x≥0)是减函数,
∴函数y=(x≥0)的最大值是f(0)=3.
3.解:方法一:(图象法)y=|x+1|+|x-1|=其图象如图所示.
由图象得,函数的最小值是2,无最大值.
方法二:(数形结合)函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是:y是数轴上任意一点P到±1的对应点A,B的距离的和,即y=|PA|+|PB|,如图所示,
观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2,即函数有最小值2,无最大值.
4.解:设商品售价定为x元时,利润为y元,则
y=(x-8)[60-(x-10)·10]
=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10当且仅当x=12时,y有最大值160元,
即售价定为12元时可获最大利润160元.