北师大版高中数学必修4教案：1.3弧度制

§3 弧度制
教学目标
知识与技能
（1）了解弧度制的概念，体会弧度是一种度量角的单位；
（2）能进行弧度与角度的互化；
（3）体会弧度制定义的合理性，并能初步运用弧度制表示的弧长公式，解决相关问题；
（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。
过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念，在学习过程中探究角度制与弧度制的互化，理解弧度的作用和适应性。
情感态度与价值观
通过弧度制的学习，使学生体会不同表象下相同事物的本质。
教材分析
1.弧度制是学生高中学习的一个难点，威力突破这个难点，本节在弧度制的引入上作了较多的铺垫，这是教材的亮点；
2.“弧度制”是用弧的长度来度量角的大小，既然是用弧的长度来度量的大小，那么1弧度有如何定义呢？这就是阐明弧度制的关键。
3.教材在本节内容的最后提出“请问在你学过的量中，还有哪些量可以有不同的度量方法？”，这是教给学生认识问题、理解问题、描述问题的常用思维方式和方法。
4.教材中图1-13，是解释弧度和实数一一对应的模型，可以帮助学生理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间的一一对应关系。
教学重点
弧度制概念的理解，弧度与角度的互化。
教学难点
弧度制的建立与应用。
教学方法与手段
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教学过程
一、创设情境，揭示课题
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度．
二、探究新知
1．1弧度的角的定义．
(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB的长等于半径r，则弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad。
在图1（课件）中，圆心角∠AOC所对的弧长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是2rad；圆心角∠AOD所对的弧长l＝r，那么∠AOC的弧度数就是rad；圆心角∠AOE所对的弧长为l，那么∠AOE的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．
2．弧度制的定义：
一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是o；角α的弧度数的绝对值|α|＝，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：
(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r＞0)和rl(rl＞0)，由初中所学的弧长公式有l＝r，l1＝r1，所以＝＝，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道：1个周角＝360°＝r，所以，(板书)360°＝2πrad，由此可以得到180°＝πrad，1°＝≈0．01745rad，1rad＝（）°≈57.30°＝57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝rad ，不必写成45°＝0．785弧度．
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。
例1．把45°化成弧度。
解：45°＝×45rad＝rad.
例2．把rad化成度。
解：rad＝×180°＝108°.
例3．利用弧度制证明扇形面积公式S＝lr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。
证：∵圆心角为1的扇形的面积为·πr2，又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为，∴扇形的面积S＝··πr2＝lr.
2．学生课堂练习
（1）填表
度
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
弧度
0
2
说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算．
（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
三、归纳整理，整体认识
1、主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。
2、在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
3、你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
四、布置作业：课本P12习题1—3第1、2、5、6、7题.
五、教学反思
弧度制的引入对于有关角的问题的研究至关重要，弧度制以及1弧度的定义，是把角度和长度对应起来了，也就把角度与实数对应起来了，尤其是给三角函数概念的给出奠定了基础。因此本节教学很重要的一个目标就是要让学生明白这一点。
角有了两种度量，角度制与弧度制的互化必须清楚，尤其是有了弧度制后，扇形面积公式和弧长公式都得到了简化，这一点，在课堂上，通过反复练习，学生掌握的还可以，尤其是要让学生快速适应特殊角的弧度数。
课堂上，学生对弧度制的引入，以及两种制度的互化掌握的较快，效果很好
（设计者：西安市第一中学 ）