2.3.1双曲线及其标准方程(共45张PPT)
文档属性
| 名称 | 2.3.1双曲线及其标准方程(共45张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 876.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-02 21:58:02 | ||
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文档简介
(共45张PPT)
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
导入新课
观察与分析
也许同学们并没有注意到，在我们所生活的大千世界里，双曲线也时常出现在我们的周围，请同学们观察以下图片…
发电厂冷却塔的外形
可口可乐的下半部
玉枕的形状
再一次认识了双曲线之后，我们将开始深入学习数学上的双曲线.
首先来看看本节双曲线的知识结构：
双曲线的定义
双曲线的标准方程
双曲线的简单几何性质
由该知识结构图可知，我们应首先学习双曲线的定义.
我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的轨迹是椭圆.那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？
如图2.3-1，取一条拉链，
拉开它的一部分，在拉开的两边的上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，
会得到怎样
的曲线呢？
2.3-1
这条曲线是满足下面条件的集合：
P={M||MF1|-|MF2|=常数}（左边）
P={M||MF2|-|MF1|=常数}（右边）
这两支曲线
合起来叫做
双曲线.
F
F1
F2
M
2.3-1
类比椭圆的定义，
你能给出双曲线的定义吗？
回顾旧知：
y
x
M
F1
F2
O
c
c
图2.2-1
椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
M
O
F1
F2
x
y
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做
两个焦点间距离叫做
这两个定点叫做
双曲线
双曲线的焦点
双曲线的焦距
y
x
M
F1
F2
O
c
c
图2.2-1
由椭圆的定义，椭圆就是集合
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，
建立双曲线的标准方程吗？
回顾旧知：
类比椭圆，我们根据双曲线的集合特征，选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程.
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
2.3-2
如右图建立直角坐标系xOy，
使 x 轴经过两焦点F1，F2，
y轴为线段F1F2的垂直平分线.
设M(x,y)是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为2c（c > 0），那么焦点F1，F2的坐标分别是(-c,0)，(c,0).又设点M与F1，F2得距离差的绝对值等于常数2a.
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
2.3-2
例1：
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
因为|MF1|= ， |MF2|= ，
所以
类比建立椭圆标准方程的化简过程，
化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),
两边同除以(c2-a2），得
①
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
由双曲线的定义可知2c>2a，即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，
我们令c2-a2=b2，其中b>0 ，代入上式，得
②
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都能满足方程②，以方程②的解(x, y)为坐标的点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为2a，即以该解为坐标的点都在双曲线上，由曲线与方程的关系可知，方程②是双曲线的方程我们把它叫做 它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0)F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
双曲线的标准方程
类比焦点在y轴上的椭圆，如图2.3-3，双曲线的焦点分别是F1(0,-c)，F2(0,c)，a，b的意义同上，这时双曲线的标准方程式什么？
此时双曲线的方程是：
这个方程也叫双曲线的标准方程.
M
F1
F2
O
x
y
已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0)F2(5,0)，
双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值
等于6，求双曲线的标准方程.
例2：
解：因为双曲线的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为
因为2a=6，2c=10，所以 a=3，c=5，所以 b2=52-32=16.
因此，双曲线的标准方程：
设动点P到两定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离分别为d1和d2∠F1PF2=2θ，且存在常数λ(0<λ<1)，使得d1d2sin2θ=λ.
求出动点P的轨迹的曲线方程.
y
F1
P
O
F2
P
x
例2：
解：在三角形PF1F2中，|F1F2|=2
4=d12+d22-2d1d2cos2θ (d1-d2)2+4d1d2sin2θ
(d1-d2)2=4-4λ
|d1-d2|2=4-4λ(小于2的常数)
故动点P的轨迹C是以F1,F2为焦点，实轴长
的双曲线.
方程为 .
课堂小结
M
O
F1
F2
x
y
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，
两个焦点间距离叫做双曲线的焦距.
这两个定点叫做双曲线的焦点，
双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
其中|MF1|-|MF2|=2a ，c2-a2=b2.
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上：
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
M
F1
F2
O
x
y
其中|MF1|-|MF2|=2a ，c2-a2=b2.
双曲线的标准方程：
焦点在y轴上：
（a>b>0）
（a>0, b>0）
椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别
椭圆 双曲线
|MF1|+|MF2|=2a |MF1|-|MF2|=±2a
a>c>0
a2-c2=b2(b>0) c>a>0
c2 - a2=b2(b>0)
(2017湖南文)已知双曲线x2-y2=2，的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点，点C的坐标是(1,0)
（1）证明： 为常数；
（2）若动点M满足
（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．
高考链接
解：由条件知F(2,0)，设A( x1,y1)，B(x2,y2).
（I）当AB与x轴垂直时，可设A，B的坐标分别为 ， .
此时
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是
y=k(x-2)(k≠±1).
代入x2-y2-2，有(1-k2)x2+4k2+2=0.
则x1，x2是上述方程的两个实根，
所以 ，
于是
．
综上所述， 为常数
设M(x,y)，则 ,
, 由 得
即
于是的中点坐标为
当不与x轴垂直时， 即
又因A,B为两点在双曲线上，所以
x12-y12=2，x22-y22=2两式相减得
(x1-y1)(x1+y1)=(y1-y2)(y1+y2) ，即
(x1-x2)(x+2)=(y1-y2)y
将 代入上式，化简得
x2-y2=4
当AB与x轴垂直时，求得M(2,0)，
也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是x2-y2=4．
(2016北京理)已知点M(-2,0),N(2,0)，动点P满足条件
记动点P的轨迹为W，求W的方程.
解：由 知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长 ，又半焦距c=2，故虚半轴长
所以W的方程为
课堂练习
B.
A.
C.
D.
1.设F1,F2分别是双曲线
的左、右焦点．若点P在双曲线上，
且 ,则 （ ）
B
2. 以双曲线 的右焦点为圆心，
且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
填空题
1.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是
F1(-3,0)，一条渐近线的方程是
则双曲线C的方程是___________
解：设双曲线C的方程为
由题设得: 解得，
所以双曲线C的方程为
解：设双曲线方程为
(a>0，b>0)由已知得 a= ，c= 2 ，
再由a2+b2=22，得b2=1
故双曲线C的方程为
2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点
为（2，0），右顶点为 ，
则双曲线C的方程是______________
解答题
1. AB是双曲线 x2－ ＝1 上的两点，N(1,2)
是线段AB的中点，则直线AB的方程为
_______________
解：依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2
代入 x2－ ＝1，整理得
(2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①
记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,
且x1＋x2＝
由N(1,2)是AB中点得 (x1＋x2)＝1
∴ k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1.
2.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点，若动点M满足（其中O为坐标原点）
求点M的轨迹方程.
解：由条件知F1(-2,0),F2(2,0),A(x1,y1),B(x2,y2)
设M(x,y)，则 ,
由 得
即
于是AB的中点坐标为
当AB不与x轴垂直时 即
因为A,B两点在双曲线上，所以
x12-x22=2,y12-y22=2两式相减得
(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 即(x1-x2)(x-4)(y1-y2)y
将 代入上式，化简得(x-6)2-y2=4,当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M(8,0),也满足上述方程.所以点的轨迹方程是 (x-6)2-y2=4
教材习题答案
1.（1） （2）
（3）解法一：因为双曲线的焦点在y轴上，所以，可设它的标准方程为
将点（ 2,-5 ）代入方程，得
即a2b2+4a2-25b2=0，又a2+b2=36
解方程组
令m=a2，n=b2，代入方程组，得
解得
第二组不合题意，舍去，得a2=20,b2=16
所求双曲线的标准方程为
解法二：根据双曲线的定义，有
所以
又c=6，所以b2=36-20=16.
由已知，双曲线的焦点在y轴上，所以，所求双曲线的标准方程为：
2.提示：根据椭圆中，a2-b2=c2和双曲线中a2+b2=c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.
3.由(2+m)(m+1)>0，解得m<-2，或m>-1.
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
导入新课
观察与分析
也许同学们并没有注意到，在我们所生活的大千世界里，双曲线也时常出现在我们的周围，请同学们观察以下图片…
发电厂冷却塔的外形
可口可乐的下半部
玉枕的形状
再一次认识了双曲线之后，我们将开始深入学习数学上的双曲线.
首先来看看本节双曲线的知识结构：
双曲线的定义
双曲线的标准方程
双曲线的简单几何性质
由该知识结构图可知，我们应首先学习双曲线的定义.
我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的轨迹是椭圆.那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？
如图2.3-1，取一条拉链，
拉开它的一部分，在拉开的两边的上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，
会得到怎样
的曲线呢？
2.3-1
这条曲线是满足下面条件的集合：
P={M||MF1|-|MF2|=常数}（左边）
P={M||MF2|-|MF1|=常数}（右边）
这两支曲线
合起来叫做
双曲线.
F
F1
F2
M
2.3-1
类比椭圆的定义，
你能给出双曲线的定义吗？
回顾旧知：
y
x
M
F1
F2
O
c
c
图2.2-1
椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
M
O
F1
F2
x
y
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做
两个焦点间距离叫做
这两个定点叫做
双曲线
双曲线的焦点
双曲线的焦距
y
x
M
F1
F2
O
c
c
图2.2-1
由椭圆的定义，椭圆就是集合
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，
建立双曲线的标准方程吗？
回顾旧知：
类比椭圆，我们根据双曲线的集合特征，选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程.
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
2.3-2
如右图建立直角坐标系xOy，
使 x 轴经过两焦点F1，F2，
y轴为线段F1F2的垂直平分线.
设M(x,y)是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为2c（c > 0），那么焦点F1，F2的坐标分别是(-c,0)，(c,0).又设点M与F1，F2得距离差的绝对值等于常数2a.
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
2.3-2
例1：
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
因为|MF1|= ， |MF2|= ，
所以
类比建立椭圆标准方程的化简过程，
化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),
两边同除以(c2-a2），得
①
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
由双曲线的定义可知2c>2a，即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，
我们令c2-a2=b2，其中b>0 ，代入上式，得
②
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都能满足方程②，以方程②的解(x, y)为坐标的点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为2a，即以该解为坐标的点都在双曲线上，由曲线与方程的关系可知，方程②是双曲线的方程我们把它叫做 它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0)F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
双曲线的标准方程
类比焦点在y轴上的椭圆，如图2.3-3，双曲线的焦点分别是F1(0,-c)，F2(0,c)，a，b的意义同上，这时双曲线的标准方程式什么？
此时双曲线的方程是：
这个方程也叫双曲线的标准方程.
M
F1
F2
O
x
y
已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0)F2(5,0)，
双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值
等于6，求双曲线的标准方程.
例2：
解：因为双曲线的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为
因为2a=6，2c=10，所以 a=3，c=5，所以 b2=52-32=16.
因此，双曲线的标准方程：
设动点P到两定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离分别为d1和d2∠F1PF2=2θ，且存在常数λ(0<λ<1)，使得d1d2sin2θ=λ.
求出动点P的轨迹的曲线方程.
y
F1
P
O
F2
P
x
例2：
解：在三角形PF1F2中，|F1F2|=2
4=d12+d22-2d1d2cos2θ (d1-d2)2+4d1d2sin2θ
(d1-d2)2=4-4λ
|d1-d2|2=4-4λ(小于2的常数)
故动点P的轨迹C是以F1,F2为焦点，实轴长
的双曲线.
方程为 .
课堂小结
M
O
F1
F2
x
y
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，
两个焦点间距离叫做双曲线的焦距.
这两个定点叫做双曲线的焦点，
双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
其中|MF1|-|MF2|=2a ，c2-a2=b2.
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上：
M
O
F1
F2
x
y
(-c,0)
(c,0)
M
F1
F2
O
x
y
其中|MF1|-|MF2|=2a ，c2-a2=b2.
双曲线的标准方程：
焦点在y轴上：
（a>b>0）
（a>0, b>0）
椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别
椭圆 双曲线
|MF1|+|MF2|=2a |MF1|-|MF2|=±2a
a>c>0
a2-c2=b2(b>0) c>a>0
c2 - a2=b2(b>0)
(2017湖南文)已知双曲线x2-y2=2，的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点，点C的坐标是(1,0)
（1）证明： 为常数；
（2）若动点M满足
（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．
高考链接
解：由条件知F(2,0)，设A( x1,y1)，B(x2,y2).
（I）当AB与x轴垂直时，可设A，B的坐标分别为 ， .
此时
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是
y=k(x-2)(k≠±1).
代入x2-y2-2，有(1-k2)x2+4k2+2=0.
则x1，x2是上述方程的两个实根，
所以 ，
于是
．
综上所述， 为常数
设M(x,y)，则 ,
, 由 得
即
于是的中点坐标为
当不与x轴垂直时， 即
又因A,B为两点在双曲线上，所以
x12-y12=2，x22-y22=2两式相减得
(x1-y1)(x1+y1)=(y1-y2)(y1+y2) ，即
(x1-x2)(x+2)=(y1-y2)y
将 代入上式，化简得
x2-y2=4
当AB与x轴垂直时，求得M(2,0)，
也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是x2-y2=4．
(2016北京理)已知点M(-2,0),N(2,0)，动点P满足条件
记动点P的轨迹为W，求W的方程.
解：由 知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长 ，又半焦距c=2，故虚半轴长
所以W的方程为
课堂练习
B.
A.
C.
D.
1.设F1,F2分别是双曲线
的左、右焦点．若点P在双曲线上，
且 ,则 （ ）
B
2. 以双曲线 的右焦点为圆心，
且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
填空题
1.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是
F1(-3,0)，一条渐近线的方程是
则双曲线C的方程是___________
解：设双曲线C的方程为
由题设得: 解得，
所以双曲线C的方程为
解：设双曲线方程为
(a>0，b>0)由已知得 a= ，c= 2 ，
再由a2+b2=22，得b2=1
故双曲线C的方程为
2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点
为（2，0），右顶点为 ，
则双曲线C的方程是______________
解答题
1. AB是双曲线 x2－ ＝1 上的两点，N(1,2)
是线段AB的中点，则直线AB的方程为
_______________
解：依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2
代入 x2－ ＝1，整理得
(2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①
记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,
且x1＋x2＝
由N(1,2)是AB中点得 (x1＋x2)＝1
∴ k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1.
2.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点，若动点M满足（其中O为坐标原点）
求点M的轨迹方程.
解：由条件知F1(-2,0),F2(2,0),A(x1,y1),B(x2,y2)
设M(x,y)，则 ,
由 得
即
于是AB的中点坐标为
当AB不与x轴垂直时 即
因为A,B两点在双曲线上，所以
x12-x22=2,y12-y22=2两式相减得
(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 即(x1-x2)(x-4)(y1-y2)y
将 代入上式，化简得(x-6)2-y2=4,当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M(8,0),也满足上述方程.所以点的轨迹方程是 (x-6)2-y2=4
教材习题答案
1.（1） （2）
（3）解法一：因为双曲线的焦点在y轴上，所以，可设它的标准方程为
将点（ 2,-5 ）代入方程，得
即a2b2+4a2-25b2=0，又a2+b2=36
解方程组
令m=a2，n=b2，代入方程组，得
解得
第二组不合题意，舍去，得a2=20,b2=16
所求双曲线的标准方程为
解法二：根据双曲线的定义，有
所以
又c=6，所以b2=36-20=16.
由已知，双曲线的焦点在y轴上，所以，所求双曲线的标准方程为：
2.提示：根据椭圆中，a2-b2=c2和双曲线中a2+b2=c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.
3.由(2+m)(m+1)>0，解得m<-2，或m>-1.