A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知向量a＝(1,2)，a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0)
答案 D
解析 b＝(3,2)－a＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)．
2．已知点M的坐标为(4，－1)，且＝(4，－1)，下列各项中正确的是( )
A．点M与点A重合
B．点M与点B重合
C．点M在上
D.＝(O为坐标原点)
答案 D
解析 由于M(4，－1)，所以＝(4，－1)＝.
3．设点A(1,2)，B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到的为( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,7)
答案 B
解析 ∵A(1,2)，B(3,5)，∴＝(2,3)．由题意知与方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是＝＝(2,3)．
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
答案 B
解析 ∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)．故选B.
5．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“?”为a?b＝(ms，nt)．若向量p＝(1,2)，p?q＝(－3，－4)，则向量q＝( )
A．(－3,2) B．(3，－2)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
答案 D
解析 设向量q＝(x，y)，根据题意可得x＝－3,2y＝－4，解得x＝－3，y＝－2，即向量q＝(－3，－2)，故选D.
二、填空题
6．设＝(－2，－5)，B点坐标为(－1,3)，则A点坐标为________．
答案 (1,8)
解析 设A(x，y)，则解得x＝1，y＝8，
即A(1,8)．
7．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则向量a＝________，向量b＝________.
答案 (－3,4) (5，－12)
解析 设a＝(m，n)，b＝(p，q)，
则有解得
所以a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
答案 (2－sin2,1－cos2)
解析 如图，设滚动后圆心位于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为A，过点P作PB⊥BC，其中BC∥x轴．易知劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2 rad，则∠PCB＝ rad，所以PB＝sin＝－cos2，CB＝cos＝sin2，所以点P的坐标为(2－sin2，1－cos2)，因此，的坐标为(2－sin2,1－cos2)．
三、解答题
9．已知平面上三个点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使得A，B，C，D四点构成平行四边形．
解 由四边形ABCD为平行四边形，得＝，可解得D(2,2)．
由四边形ABDC为平行四边形，得＝，可解得D(4,6)．
由四边形ADBC为平行四边形，得＝，可解得D(－6,0)．
因此，使A，B，C，D四点构成平行四边形的点D的坐标是(2,2)或(4,6)或(－6,0)．
B级：“四能”提升训练
1．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)．则(1,2)⊕m＝________.
答案 (2,0)
解析 由(1,2)?m＝(5,0)，可得解得∴(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
解 (1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OAcos45°＝4×＝2，
AM＝OAsin45°＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，
∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.
又OC＝AB＝3，∴C，
∴＝＝，即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋
＝，
故点B的坐标为.
