A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 ∵|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴向量a与b夹角的大小为.故选C．
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
答案 D
解析 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.
3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝( )
A． B．
C． D．(1,0)
答案 B
解析 设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.
由解得即b＝.故选B．
4．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 根据已知，有＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6，8)，因为·＝8×2＋(－4)×4＝0，所以⊥，即∠BAC＝90°.故△ABC为直角三角形．
5．若函数f(x)＝2sin(－2A．－32 B．－16
C．16 D．32
答案 D
解析 由函数f(x)＝2sin＝0可得＋＝kπ，k∈Z，即x＝6k－2，k∈Z.因为－2二、填空题
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________．
答案
解析 设c＝(x，y)，∵a＋b＝(－1，－2)，
且|a|＝，|c|＝，(a＋b)·c＝，
∴(－1，－2)·(x，y)＝.∴－x－2y＝，
∴x＋2y＝－.
设a与c的夹角为θ，
∴cosθ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
7．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，则a与b夹角θ的范围是________．
答案
解析 ∵(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－a·b＋4a·b－2b2＝2×9＋3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝－14＋3×3×4cos〈a，b〉≥4，∴cos〈a，b〉≥，又θ＝〈a，b〉∈[0，π]，∴θ＝〈a，b〉∈.
8．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
答案 λ>－5且λ≠－
解析 因a与b的夹角为锐角，则cos〈a，b〉>0，且cos〈a，b〉≠1，即a·b＝2＋λ＋3>0，且b≠ka，则λ>－5且λ≠－.
三、解答题
9．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.
解 (1)证明：由题意，知a＋b＝，a－b＝，
∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，
由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，
化简得a·b＝0，∴－cosα＋sinα＝0，
∴tanα＝.
又0≤α<2π，∴α＝或α＝.
B级：“四能”提升训练
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
答案
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设F(x,2)，则＝(，1)，＝(x,2)，＝(，0)．
所以·＝x＝，
所以x＝1，所以F(1,2)．
所以＝(1,2)－(，0)＝(1－，2)．所以·＝.
2．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)．
(1)求·及在上的投影；
(2)证明：A，B，C三点共线，并在＝时，求λ的值；
(3)求||的最小值．
解 (1)·＝8，设与的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
所以在上的投影为||cosθ＝4×＝2.
(2)证明：＝－＝(－2,2)，
＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)，
因为与有公共点B，
所以A，B，C三点共线．
当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22
＝16λ2－16λ＋16＝162＋12.
所以当λ＝时，||取到最小值2.
课件21张PPT。课后课时精练
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
知识点一 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
知识点二 三个重要公式
1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题
向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：
(1)求两点间的距离(求向量的模)．
(2)求两向量的夹角．
(3)证明两向量垂直．
2．解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )
A. B．－ C. D．－
(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为________．
(3)已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
答案 (1)C (2)－6 (3)2
题型一 平面向量数量积的坐标表示
例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
[解] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)b＝0.
[条件探究] 若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
解 (1)∵a与b反向，且b＝(1,2)，
∴设a＝λb(λ<0)，∴a＝(λ，2λ)，
又a·b＝－10，∴λ＋4λ＝－10，
∴λ＝－2，∴a＝(－2，－4)．
(2)∵a·c＝2×(－2)＋(－1)×(－4)＝－4＋4＝0，
∴(a·c)b＝0.
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
题型二 向量的模的问题
例2 (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________；
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[解析] (1)∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，
∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2，4－3x)，
∴|a－b|＝＝
＝，
∴当x＝1时，|a－b|取最小值为.
(2)①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，
则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或∴e＝或.
[答案] (1) (2)见解析
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A. B. C．2 D．10
答案 B
解析 由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝＝.故选B.
题型三 向量垂直的坐标表示
例3 设O＝(2，－1)，O＝(3,1)，O＝(m,3)．
(1)当m＝2时，用O和O表示O；
(2)若A⊥B，求实数m的值．
[解] (1)当m＝2时，设O＝x＋y，
则有解得即O＝－O＋O.
(2)A＝O－O＝(1,2)，B＝O－O＝(m－3,2)．
因为A⊥B，所以A·B＝0，
即1×(m－3)＋2×2＝0，解得m＝－1.
用向量数量积的坐标表示解决垂直问题
利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．
已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解 设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵D在直线BC上，
即与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得∴D(1,1)．
∴||＝＝，
即||＝，点D的坐标为(1,1).
题型四 平面向量的夹角问题
例4 已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，
(1)若c＝5，求sinA的值；
(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．
[解] ＝(－3，－4)，＝(c－3，－4)．
(1)若c＝5，则＝(2，－4)．
∴cosA＝cos〈，〉＝＝.
∵∠A是△ABC的内角，
故sinA＝＝.
(2)若∠A为钝角，则·<0且，不反向共线．
由·<0，得－3(c－3)＋16<0，即c>.
显然此时，不共线，故当∠A为钝角时，c>.
求平面向量夹角的步骤
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)求出|a|＝，|b|＝；
(3)代入公式：cosθ＝(θ是a与b的夹角)．
已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解 (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.
题型五 向量数量积的综合应用
例5 已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
[解] (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
则·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
∵A(2,1)，B(3,2)，∴＝(1,1)．
设C点的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
从而有解得∴点C的坐标为(0,5)．
∴＝(－2,4)，||＝＝2，
故矩形ABCD的对角线的长度为2.
利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：
(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．
(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可．
(3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．
已知a，b，m，n∈R，设(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，用向量方法求证：＝.
证明 设c＝(a，b)，d＝(m，n)，
且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，
则c·d＝am＋bn，|c|2＝a2＋b2，|d|2＝m2＋n2.
∵(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，
∴|c|2|d|2＝(c·d)2.
又c·d＝|c||d|cosθ，
∴cos2θ＝2＝1，∴cos2θ＝1.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝0°或180°，即c∥d，∴an－bm＝0.
又mn≠0，∴＝.
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于( )
A．3 B.
C．－ D．－3
答案 C
解析 3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－.故选C.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得解得即c＝.
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
答案
解析 由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.
4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝________.
答案
解析 2b－a＝2b－(3,3)＝(－1,1)，
∴2b＝(－1,1)＋(3,3)＝(2,4)，∴b＝(1,2)．
cosθ＝＝＝＝.
5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解 (1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
课件47张PPT。6．3.5
平面向量数量积的坐标表示
