A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
答案 D
解析 显然，选项A，B，C说法正确．对于D，由共线向量知，两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误．故选D.
2．若向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．不共线 B．长度不相等
C．不可能都是单位向量 D．不可能都是零向量
答案 D
解析 因为所有的零向量都是相等的向量．故选D.
3．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.
其中正确的是( )
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
答案 B
解析 a为任一非零向量，故|a|＞0.故③正确；①②④都错误．
4．数轴上点A，B分别对应－1,2，则向量的长度是( )
A．－1 B．2 C．1 D．3
答案 D
解析 易知||＝2－(－1)＝3.
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
答案 C
解析 由＝知四边形ABCD为平行四边形；由||＝||知四边形ABCD为菱形．
二、填空题
6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
答案 3π
解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
答案 ③
解析 因为a0，b0都是单位向量，
所以|a0|＝1，|b0|＝1.
从而|a0|＋|b0|＝2.
8．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是________．
答案 西北方向5 km
解析 根据题意画出图形如图所示，
由图可知||＝5 km，且∠ABC＝45°，
故C地相对于B地的位移是西北方向5 km.
三、解答题
9．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解 (1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值 ＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值 ＝，
∴||的最大值为，最小值为.
B级：“四能”提升训练
1．在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分别为AB和CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，回答下列问题：
(1)与向量相等的向量有____________，向量的相反向量有
____________；
(2)与向量相等的向量有____________，向量的相反向量有____________；
(3)在模为的向量中，相等的向量有________对；
(4)在模为1的向量中，相等的向量有________对．
答案 (1)， ，，
(2)，， ，，，
(3)4 (4)18
解析 (1)与相等的向量有：，；
与向量相反的向量有：，，.
(2)与相等的向量有：，，；
与向量相反的向量有：，，，.
(3)在模为的向量中，相等的向量有：与，与，与，与，共4对．
(4)在模为1的向量中，相等的向量有18对．其中与同向的有3对，与反向的有3对，与同向的有6对，与反向的有6对，共18对．
2．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α(0°<α<180°)度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．
(1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？
解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；
(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形．
故n(180°－α)＝(n－2)180°.
所以即α＝，n为不小于3的整数．
课件20张PPT。课后课时精练
6.1.1 向量的实际背景与概念
6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
知识点一 向量与数量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
知识点二 向量的表示
具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
向量的大小称为向量的长度(或称模)．
知识点三 向量的有关概念
1．向量与数量的区别
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|，也不能说a>b；
(3)0与0不同.0表示数量，但0表示零向量，其中|0|＝0.
2．向量与有向线段
区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、终点三要素，因此这是两个不同的量．
联系：向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段．
3．共线向量与相等向量
(1)共线向量的定义指的是非零向量的共线问题；
(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同；
(3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
特别注意：(1)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性．
(2)定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．( )
(2)向量的模是一个正实数．( )
(3)单位向量的模都相等．( )
(4)向量与向量是相等向量．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
(2)如图，四边形ABCD中，＝，则必有( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
(3)△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是________．
(4)如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，
①图中与共线的向量有________；
②图中与相等的向量有________；
③图中与模相等的向量有________；
④图中与相等的向量有________．
答案 (1)C (2)D (3)模相等
(4)①，，，，，， ②，
③，，，，，，，， ④
题型一 向量的有关概念
例1 下列说法正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
[解析] A项，不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，不正确；B项，方向相同的向量也不能比较大小，不正确；C项，向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，不正确；D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确．
[答案] D
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
给出下列命题：
①若向量a＝，b＝，则|a|＝|b|；
②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；
③若向量是单位向量，则也是单位向量；
④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．
其中正确的个数是________．
答案 3
解析 ①正确，由于|a|＝||＝AB，
|b|＝||＝BA＝AB，因此有|a|＝|b|.
②不正确，由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法②不正确．
③正确，因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量．
④正确，由于向量||＝1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点．反过来，若点P是以点A为圆心，1为半径的单位圆上的任一点，则由于||＝1，所以向量是单位向量，因此说法④正确.
题型二 向量的几何表示
例2 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求的模．
[解] (1)作出向量，，如图所示．
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．所以||＝5米．
向量的两种表示方法
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c，…表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解 (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，
故与共线．
又||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，||＝||＝200 km.
题型三 相等向量与共线向量
例3 (1)①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④两向量a，b相等的充要条件是
⑤|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
⑥＝C的充要条件是A与C重合、B与D重合．
其中真命题的个数是________．
(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
②与a共线的向量有哪些？
③请一一列出与a，b，c相等的向量．
[解析] (1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.
②正确．∵＝，∴||＝||且∥.
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且与方向相同，因此＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同．故a＝c.
④不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b的充要条件．
⑤正确．这是因为|a|＝|b|a＝b，但a＝b?|a|＝|b|，所以|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件．
⑥不正确．这是因为＝时，应有||＝||及由A到B与C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合．
(2)①与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
②与a共线的向量有，，，，，，，，.
③与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
[答案] (1)3 (2)见解析
[结论探究] 本例(2)条件不变，试写出与向量相等的向量．
解 ，，.
[综合探究] 在本例(2)中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？
解 因为ABCDEF是正六边形，|a|＝1，所以正六边形的边长也是1.
共线向量与相等向量的区别与联系
相等向量是指大小相等且方向相同的向量．共线向量是方向相同或相反的非零向量，共线向量也叫平行向量．相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性．
(1)下列命题：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；
③若a∥b且b∥c，则a∥c；
④若四边形ABCD是平行四边形，则一定有＝.
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
①找出与向量共线的向量；
②找出与向量相等的向量．
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)相等向量起点相同时，终点必相同，故①错误；向量的共线不同于点共线，故当与共线时，四点A，B，C，D不一定共线，即②错误；当b＝0时，a与c没有任何关系，故③错误；与同向且等长，则＝，故④正确．
(2)①依据图形可知，，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.
②由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
1．有下列物理量：
①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 速度、力、加速度这3个物理量是向量，它们都有大小和方向，其余的不是向量．
2．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
答案 D
解析 由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确．
3．如图，在圆O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案 C
解析 由图可知，三向量方向不同，但长度相等．
4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为始点和终点的向量中，与相等的向量有________．
答案 ，
解析 因为各方格均为正方形，则有＝＝.
5．如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解 (1)与向量相等的向量是.
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.
课件48张PPT。6．1.1 向量的实际背景与概念
6．1.2 向量的几何表示
6．1.3 相等向量与共线向量
