A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．如果非零复数有一个辐角为－，那么该复数的( )
A．辐角唯一 B．辐角主值唯一
C．辐角主值为－ D．辐角主值为
答案 B
解析 ∵辐角主值范围是[0,2π]，任何一个非零复数都有唯一的辐角主值，∴有一辐角为－，则该复数有唯一的一个辐角主值，为.故选B.
2．复数z＝－3的辐角主值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 z＝－3＝3
＝3，∴argz＝.
3．复数z＝的辐角主值是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 z＝＝－i＝，所以辐角主值是，故选D.
4．复数1＋i的三角形式是( )
A．cos＋isin B．2
C．cos＋isin D．2
答案 B
解析 1＋i＝2＝2.故选B.
5．已知复数z＝－1＋i，则它的共轭复数的三角形式为( )
A．z＝2
B．z＝－2
C．z＝2
D．z＝2
答案 C
解析 ∵＝－1－i，∴||＝2，＝2＝
2.
6．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：eix＝cosx＋isinx(其中i为虚数单位，i2＝－1)，根据这个公式，e3i表示的复数在复平面中所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵eix＝cosx＋isinx，e3i＝cos3＋isin3,3弧度的角终边在第二象限．选B.
二、填空题
7．复数－2i的实部是________，虚部是________，三角形式是________．
答案 0 －2 2
解析 复数－2i＝0－2i，所以实部是0，虚部是－2，三角形式为2.
8．复数1＋i的模是________，辐角主值是________，三角形式是________．
答案
解析 复数1＋i的模是＝，∵1＋i对应的点在第一象限，且辐角的正切tanθ＝1，∴arg(1＋i)＝.
∴三角形式为.
9．复数2＋i和－3－i的辐角主值分别为α，β，则tan(α＋β)等于________．
答案 1
解析 ∵复数2＋i和－3－i的辐角主值分别为α，β.
∴tanα＝，tanβ＝，
∴tan(α＋β)＝＝1.
三、解答题
10．已知复数z＝＋i，w＝＋i，求复数zw＋zw3的模及辐角主值．
解 ∵zw＋zw3＝zw(1＋w2)＝(1＋i)＝＝.
∴复数zw＋zw3的模为，辐角主值为.
B级：“四能”提升训练
1．已知复数z＝1－sinθ＋icosθ，求z的共轭复数的辐角主值．
解 z＝1＋cos＋isin
＝2cos2＋2isincos
＝2cos，
当<θ<π时，<－<，<＋<，
∴＝－2cos
＝－2cos，
∴辐角主值为－.
2．已知复数z＝1＋i，求复数的模和辐角主值．
解 ＝＝＝1－i，
|1－i|＝＝，因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ＝－1，所以辐角的主值θ＝.
课件16张PPT。课后课时精练
7.3.1 复数的三角表示式
知识点一 复数的三角形式
(1)定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．即z＝r(cosθ＋isinθ)，其中|z|＝r，θ为复数z的辐角．
(2)非零复数z辐角θ的多值性：以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线(射线OZ)为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角．
因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)．
知识点二 辐角的主值
(1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π.
(2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的．
特别注意：z＝0时，其辐角是任意的．
1．在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2kπ或
k·360°(k∈Z)．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．
2．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)－1＝cosπ＋isinπ.( )
(2)2i＝2.( )
(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做
(1)将复数z1＝－1＋i表示成三角形式为________．
(2)已知|z|＝2，argz＝，求复数z＝________.
(3)若a<0，则a的三角形式是________．
答案 (1)2 (2)－3i
(3)－a(cosπ＋isinπ)
题型一 复数的代数形式化为三角形式
例1 把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)＋i；(2)1－i.
[解] (1)r＝＝2，
∵＋i对应的点在第一象限，
∴tanθ＝＝，即θ＝，
∴＋i＝2.
(2)r＝＝.
∵1－i对应的点在第四象限，
且tanθ＝＝－1，∴θ＝，
∴1－i＝.
复数代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)．
(4)求出复数三角形式．
把下列复数表示成三角形式．
(1)－2＋2i；(2)2.
解 (1)原式＝2＝2.
(2)原式＝2＝2.
题型二 判断复数三角形式的条件
例2 判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)－；
(3)2；
(4)sin＋icos.
[解] 根据复数的三角形式的结构，
z＝r(cosθ＋isinθ)，可依次作出判断．
(1)不是.＝.
(2)不是．－＝
＝.
(3)不是.2＝2.
(4)不是．sin＋icos＝cos＋isin.
判断复数的三角形式的条件
(1)r≥0；
(2)加号连接；
(3)cos在前，sin在后；
(4)θ前后一致，可任意值．
即“模非负，角相同，余正弦，加号连”．
求复数z＝3的辐角主值．
解 ∵z＝3＝3，
∴辐角主值argz＝.
题型三 复数三角形式化为代数形式
例3 把下列复数表示成代数形式．
(1)4；
(2)6.
[解] 根据a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)，可得
a＝rcosθ，b＝rsinθ，故可解．
(1)4＝4×＋4×i＝2＋2i.
(2)6＝6×＋6×i＝3－3i.
将复数的三角形式化为代数形式：
由z＝r(cosθ＋isinθ)＝rcosθ＋irsinθ，
可得a＝rcosθ，b＝rsinθ.
将下列复数的三角形式化成代数形式．
(1)z1＝2；
(2)z2＝6(cos60°＋isin60°)．
解 (1)z1＝2＝＋i.
(2)z2＝6＝3＋3i.
1．－6的辐角主值为( )
A．0 B. C．π D．－
答案 C
解析 －6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值θ＝π.故选C.
2．下列说法正确的是( )
A．已知复数z＝cos＋isin，则z的辐角主值为
B．复数z＝2i＋3的虚部为2i
C．(＋i)6＝－64
D．复数z＝2i的三角形式为z＝2
答案 C
解析 A项，z的辐角主值argz＝，错误；B项，虚部为实数2，错误；C项，(＋i)6＝[(＋i)2]3＝(2＋2i)3＝8＋3×2×(2i)2＋3×22×(2i)＋(2i)3＝－64，正确；D项，z＝2(0＋i)＝2，错误．故C正确．
3．复数－i的三角形式是________．
答案 cos＋isin
解析 －i＝cos＋isin，故复数－i的三角形式是cos＋isin.
4．设复数z，z＋2的辐角主值为，z－2的辐角主值为，则z＝________.
答案 －1＋i
解析 设z＋2＝r1＝＋i，
z－2＝r2＝－＋i.
∴－2＋i＝2－＋i，
易得
∴r2＝r1，代入①得r1＝2，∴z＝1＋i－2＝－1＋i.
5．设复数z满足z－3的辐角主值为，z＋1的模为，求复数z.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)．
由|z＋1|＝，得|(x＋1)＋yi|＝，
∴(x＋1)2＋y2＝10.①
又z－3＝(x＋yi)－3(x－yi)＝－2x＋4yi，所以
arg(z－3)＝?②
解①②，可得x＝2，y＝－1.
所以z＝2－i.
课件31张PPT。7.3.1 复数的三角表示式
