A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．复数sin40°－icos40°的辐角主值是( )
A．40° B．140°
C．220° D．310°
答案 D
解析 ∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°，∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin310°.故复数的辐角主值为310°.选D.
2.(1＋i)的值是( )
A．－i B.i
C．2i D．－2i
答案 B
解析 解法一：原式＝(1＋i)＝(1＋i)2＝×(2i)＝i.
解法二：原式＝·
＝＝i.故选B.
3．计算的辐角主值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 解法一：原式＝＝－i＝cos＋isin.故选C.
解法二：原式＝＝cos(－30°)＋isin(－30°)＝cos330°＋isin330°，因为330°＝.故选C.
4．计算－5的结果为( )
A．－1 B．1
C．2 D.
答案 A
解析 原式＝＝＝－1.选A.
5．复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是( )
A．3
B．3
C．3
D．3
答案 C
解析 z＝3＝3.故选C.
6．计算(1＋i)2020＝( )
A．22019＋22019i B．－22019＋22019i
C．22019－22019i D．－22019－22019i
答案 D
解析 原式＝2020＝22020＝22020＝22020＝－22019－22019i.选D.
二、填空题
7．若复数z＝(a＋i)2的辐角是，则实数a的值是________．
答案 －1
解析 z＝a2－1＋2ai，辐角为，则a2－1＝0且2a<0，故可得a＝－1满足题意．
8．在复平面内，点A对应的复数为1，点B对应的复数为3＋i，将向量A绕A按逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，得向量A，则C点对应的复数为________．
答案 －1＋4i
解析 对应的复数为3＋i－1＝2＋i，逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，即可得A对应的复数为(2＋i)×2(cos90°＋isin90°)＝(2＋i)×2i＝－2＋4i.设C点对应的复数为z，则z－1＝－2＋4i，故z＝－1＋4i.
9．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝________.
答案 16i
解析 原式＝16(cos240°＋isin240°)×(cos210°＋isin210°)
＝16(cos90°＋isin90°)＝16i.
三、解答题
10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式是r(cosθ＋isinθ)，试写出下列各复数的三角形式．
(1)z1＝－a＋bi；(2)z2＝－a－bi；(3)z3＝a－bi.
解 (1)z1＝r(－cosθ＋isinθ)＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]．
(2)z2＝r(－cosθ－isinθ)＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．
(3)z3＝r(cosθ－isinθ)＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]．
B级：“四能”提升训练
1．已知|z|＝1，z5＋z＝1，求复数z.
解 由|z|＝1，可设z＝cosθ＋isinθ且0≤θ<2π.
代入方程z5＋z＝1，得(cosθ＋isinθ)5＋(cosθ＋isinθ)＝1，
即(cos5θ＋cosθ－1)＋(sin5θ＋sinθ)i＝0，
所以即
两式平方后，相加得(1－cosθ)2＋(－sinθ)2＝1.
解得cosθ＝，从而sinθ＝±.
经验证知，z＝±i都是原方程的解．
故z＝＋i或z＝－i.
2．设z＝r(cosθ＋isinθ)，求证＝(m∈N*)．
证明 ＝＝·
＝·＝(cosmθ－isinmθ)．
得证．
课件19张PPT。课后课时精练 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
知识点一 复数三角形式的乘法
设z1，z2的三角形式分别是：
z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，
则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
特征：旋转＋伸缩变换．
知识点二 复数三角形式的除法
设z1，z2的三角形式分别是：
z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，
则＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](z2≠0)，
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量，，将向量按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为原来的倍，所得向量就表示商.
复数除法实质也是向量的旋转和伸缩．
1．复数三角形式的乘法公式推广
z1z2z3…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·…·rn(cosθn＋isinθn)＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
2．复数的乘方运算(棣莫佛定理)
[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)．
即复数的n(n∈N*)次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复数范围内，1的立方根是1.( )
(2)z＝|z|2.( )
(3)2·3＝6i.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做
(1)把z＝2－i对应的向量，按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数的代数形式为________．
(2)(1＋i)2019＝________.
(3)÷＝________.
答案 (1)－1－2i (2)－22019 (3)2
题型一 复数三角形式的乘法运算
例1 计算下列各式：
(1)·；
(2)3cos·7；
(3)－4.
[解] (1)原式＝
＝.
(2)原式＝21
＝21.
(3)原式＝
＝
＝＝＝－＋i.
(1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和．
(2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向．
(3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式．
(1)如果向量对应复数4i，逆时针旋转45°后再把模变为原来的倍，得到向量，那么与对应的复数是________；
(2)计算(1＋i)6.
答案 (1)－4＋4i (2)见解析
解析 (1)＝4i＝4，
＝4
＝4＝－4＋4i.
(2)原式＝6＝26＝26.
题型二 复数三角形式的除法运算
例2 计算(1＋i)÷.
[解] 因为1＋i＝，
所以原式＝
＝
＝
＝(0－i)
＝－i.
(1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角．
(2)结果一般保留代数形式．
(3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上，arg与argz1，argz2的关系是：arg＝argz1－argz2＋2kπ(k∈Z)．
计算：(1)[6(cos70°＋isin70°)]÷[3(cos40°＋isin40°)]；
(2)÷.
解 (1)原式＝2＝＋i.
(2)原式＝4＝4i.
题型三 复数乘、除运算几何意义的应用
例3 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝.
[证明] 如图，建立平面直角坐标系(复平面)．
∠1＝arg(3＋i)，
∠2＝arg(5＋i)，
∠3＝arg(7＋i)，
∠4＝arg(8＋i)．
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的辐角．而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)，
所以arg[(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝，
又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角，
于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝.
复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件．
设复数z1，z2对应的向量为，，O为坐标原点，且z1＝－1＋i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2.
解 依题意(－1＋i)
＝.
∴z2＝(－1＋i)
＝2
＝2
＝－＋i.
1.10＝( )
A．i B．－i
C.＋i D.－i
答案 A
解析 10＝cos＋isin＝cos＋isin＝cos＋isin＝i.故选A.
2．若复数z＝，则它的三角形式为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵z＝＝＋i，∴|z|＝，复数z对应的点是，位于第一象限，所以argz＝.故选C.
3.＝( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
答案 A
解析 原式＝cos＋isin＝cos＋isin＝i.
4．计算2÷＝________.
答案 －i
解析 解法一：原式＝＝＝＝－i.
解法二：原式＝
＝2
＝2×＋2×
＝－i.
5．求复数z＝1＋7的模．
解 因为＋＝cos＋isin，
所以7＝7＝cos＋isin
＝－－i，
故z＝1－－i，
|z|＝ ＝ ＝
＝ ＝＝.
课件38张PPT。7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
