A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 复数的平方不一定大于0，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确．
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝?
答案 D
解析 由Venn图可得答案．
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
答案 A
解析 因为(x＋y)i＝x－1，所以所以x＝1，y＝－1.
4．下列命题：
①不全为实数的两个复数不能比较大小；
②若z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
③x＋yi＝1＋i?x＝y＝1.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 严格按照复数的有关概念和性质进行判断，可知①②正确．
5．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
答案 D
解析 由复数相等的定义，可知∴cosθ＝，sinθ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z.故选D．
6．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．－1或3 B．{a|a>3或a<－1}
C．{a|a>－3或a<1} D．{a|a>3或a＝－1}
答案 B
解析 ∵复数z的实部大于虚部，∴a2>2a＋3，解得a>3或a<－1.故选B．
二、填空题
7．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝________.
答案 －3
解析 依题意有解得m＝－3.
8．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________.
答案 －2
解析 ∵m∈R，∴解得m＝－2.
9．下列命题：
①若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
答案 ③
解析 当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错误；两个虚数不能比较大小，故③正确．
三、解答题
10．已知关于x的方程(x2＋kx＋2)＋(2x＋k)i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．
解 因为x＝x0是方程的实根，代入方程得
(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等，得
解得或
所以方程的实根为x0＝或x0＝－，
相应的k值为－2或2.
B级：“四能”提升训练
1．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z.
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
解 z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0，解得m＝3或m＝－2，
即m＝3或m＝－2时，z为实数．
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，
所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)由解得m＝－1，所以m＝－1时，z是纯虚数．
2．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠?，求整数a，b.
解 依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①得a＝－3，b＝±2，
由②得a＝±3，b＝－2.
③中，a，b无整数解不符合题意．
综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.
课件16张PPT。课后课时精练
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
知识点一 虚数单位i
在实数集R中添加新数i，规定：①i2＝－1，其中i叫做虚数单位；②i可与实数进行四则运算，且原有的加法、乘法运算律仍然成立．
知识点二 复数的相关概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}叫做复数集．
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
知识点三 复数的分类
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当且仅当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
可以通过下图表示：
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示
知识点四 复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.
1．复数相等的充要条件
(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．
(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．
2．一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．当两个复数都是实数时，就可以比较大小．当两个复数不都是实数时，不能比较大小．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．做一做
(1)若a＋bi＝0，则实数a＝________，实数b＝________.
(2)(1＋)i的实部与虚部分别是________．
(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.
答案 (1)0 0 (2)0,1＋ (3)±1
题型一 复数的有关概念
例1 给出下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数是________．
[解析] ①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；
②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；
③若a＝0，则ai不是纯虚数；
④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．
[答案] 0
数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．
下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
A．① B．②
C．③ D．④
答案 D
解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③错误；④正确.
题型二 复数的分类
例2 当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解] (1)当
即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
[条件探究] 是否存在实数m，使z＝(m2－2m)＋i是纯虚数？
解 由z＝(m2－2m)＋i是纯虚数，
得解得m∈?.
即不存在实数m，使z＝(m2－2m)＋i是纯虚数．
利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤
(1)判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为哪些；
(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；
(3)解相应的方程(组)或不等式(组)；
(4)求出参数的值或取值范围．
已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1)z为实数？
(2)z为虚数？
(3)z为纯虚数？
解 (1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
题型三 复数相等
例3 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[解] ∵M∪P＝P，∴M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
∴实数m的值为1或2.
复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．
已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
解 由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
∴解得∴a＝－1.
故实数a的值为－1.
1．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
2．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
答案 A
解析 3i－的虚部为3,3i2＋i的实部为－3，所以所求复数为3－3i.
3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
答案 a＝±，b＝5
解析 由题意得，a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.
4．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．
答案 3
解析 依题意有解得m＝3.
5．如果log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，求自然数m，n的值．
解 ∵log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，
∴
∴
∵m，n∈N，∴m＝0，n＝1或n＝2.
课件33张PPT。7.1.1 数系的扩充和复数的概念
