A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．复数z1＝1＋i和z2＝1－i在复平面内的对应点关于( )
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
答案 A
解析 复数z1＝1＋i在复平面内的对应点为Z1(1，)，复数z2＝1－i在复平面内的对应点为Z2(1，－)，点Z1与Z2关于实轴对称．
2．当
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 ∵3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．－11
C．a>0 D．a<－1或a>0
答案 A
解析 依题意有< ，解得－14．若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋(sinB－cosA)i对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 cosB－sinA＝sin－sinA．∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B>.∴A>－B，∴sinA>sin，∴cosB－sinA<0.同理可知sinB－cosA>0，∴复数z对应的点位于第二象限．故选B．
5．已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )
A．－ B．i
C．±i D．±
答案 D
解析 设复数z的虚部为b，因为|z|＝2，实部为1，所以1＋b2＝4，所以b＝±.
6．复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 A
解析 设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|2z＋1|＝|z－i|，∴(2x＋1)2＋4y2＝x2＋(y－1)2，化简得3x2＋3y2＋4x＋2y＝0满足42＋22－4×3×0>0，∴方程表示圆．故选A．
二、填空题
7．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则2＝________.
答案 －2－3i
解析 复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2，3)．所以z2＝－2＋3i，2＝－2－3i.
8．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是________．
答案 －解析 根据题意，有即所以实数k的取值范围是－9．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
答案 5
解析 由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，∴x＋y＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)．
由＝x＋y，
可得解得∴x＋y＝5.
三、解答题
10．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
解 因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)，
因为与共线，
所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以即a的值为－.
B级：“四能”提升训练
1．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C，求平行四边形的ABCD的点D对应的复数．
解 解法一：由已知条件得点A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，
则AC的中点E，
由平行四边形的性质知点E也是边BD的中点，
设D(x，y)，则解得即D(3,3)，
∴点D对应复数为3＋3i.
解法二：由已知得向量＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)，其中O为坐标原点．
∴＝(－1,1)，＝(3,2)，
∴＝＋＝(2,3)，
∴＝＋＝(3,3)，
即点D对应复数为3＋3i.
2．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．
解 ∵|z1|＝ ，|z2|＝|x2＋a|，且|z1|>|z2|，
∴>|x2＋a|对任意的x∈R恒成立等价于(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立．
不等式等价于①：1－2a＝0，解得a＝，
∴a＝时，0·x2＋>0恒成立，
或②：
解得－1综上可得，实数a的取值范围是.
课件18张PPT。课后课时精练 7.1.2 复数的几何意义
知识点一 复平面的相关概念
如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．
知识点二 复数的向量表示
如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量是由点Z唯一确定的；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．
复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即
复数z＝a＋bi平面向量.
这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示同一个复数．
知识点三 复数的模的定义公式
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．
知识点四 共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．
1．复数的向量表示
(1)任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即
(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行．
2．共轭复数的性质
(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝?z∈R.
利用这个性质，可以证明一个复数是实数．
(3)z＝|z|2＝||2∈R.
z与互为实数化因式．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．做一做
(1)若＝(0，－3)，则对应的复数为________．
(2)复数z＝1－4i位于复平面上的第________象限．
(3)复数i的模是________．
(4)复数5＋6i的共轭复数是________．
答案 (1)－3i (2)四 (3) (4)5－6i
题型一 复平面内复数与点的对应
例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得∴
∴－1(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.
复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)对应的点在x轴上方；
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
解 (1)由题意得m2－2m－15>0，
解得m<－3或m>5，
所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．
(2)由题意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
解得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，
复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.
题型二 复平面内复数与向量的对应
例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)点B对应的复数．
[解] 由题意得O为原点，＝(3,2)，＝(－2,4)．
(1)∵＝－＝－(3,2)＝(－3，－2)
∴表示的复数为－3－2i.
(2)∵＝－＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)，
∴表示的复数为5－2i.
(3)∵＝＋＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)，
∴表示的复数为1＋6i，
即点B对应的复数为1＋6i.
复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．
(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________；
(2)在复平面内，O为原点，向量对应复数为－1＋2i，则点A关于直线y＝－x对称点为B，向量对应复数为________．
答案 (1)－6－8i (2)－2＋i
解析 (1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
(2)点A(－1,2)关于直线y＝－x对称的点为B(－2,1)，所以＝－2＋i.
题型三 复数模的综合应用
例3 设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[解] 由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．
巧用复数的几何意义解题
(1)复平面内|z|的意义
我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离．也就是向量的模，|z|＝||.
(2)复平面内任意两点间的距离
设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.
运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．
设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
(1)1<|z|<2；
(2)|z－i|<1.
解 (1)根据复数模的几何意义可知，
复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括环的边界．
(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为1.
∴满足|z－i|＝1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．
1．已知a∈R，且0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵00且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D．
2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
答案 D
解析 由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.
3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
答案
解析 因为z＝1＋2i，所以|z|＝＝.
4．已知复数z＝3＋ai，且|z|<5，则实数a的取值范围是________．
答案 －4解析 |z|＝<5，解得－45．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解 因为复数z对应的点在第一象限，
所以解得m<或m>.
所以实数m的取值范围为
∪.
课件33张PPT。7.1.2 复数的几何意义 