A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是( )
A．－1－i B．1＋i
C．－1＋i D．1－i
答案 B
解析 解法一：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则zi＝(a＋bi)i＝－b＋ai＝1＋i，得a＝1，b＝－1，则z＝1－i，所以＝1＋i.解法二：复数z＝＝(1＋i)(－i)＝1－i，则z的共轭复数＝1＋i.
2．已知复数z满足z(1＋i)＝－i，则|z|＝( )
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 因为z＝＝＝，所以|z|＝.
3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z1z2＝( )
A．12＋13i B．13＋12i
C．－13i D．13i
答案 D
解析 因为复数z1＝3＋2i在复平面内对应的点关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2＋3i，所以z1z2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.
4．在复平面内，复数z＝＋i3对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 复数z＝＋i3＝－i＝－i＝－i，其在复平面上对应的点位于第四象限．
5．已知＝1－bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a－bi|＝( )
A．3 B．2 C．5 D.
答案 D
解析 a＝(1－bi)(1＋i)＝1＋b＋(1－b)i，由复数相等可知∴∴|a－bi|＝＝.
6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则的虚部为( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 因为z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1－2i，所以z2＝－1－2i，＝＝＝＝－i，所以其虚部为－.
二、填空题
7．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai的模是________．
答案
解析 因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0且2a≠0，所以a2＝1，复数1＋ai的模为＝.
8．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________.
答案 3－i
解析 ∵＝4＋2i，∴zi＋z＝4＋2i，即z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝＝3－i.
9．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z＝________.
答案
解析 z＝＝＝－＋，
所以z＝＝.
三、解答题
10．在复数范围内解下列方程：
(1)9x2＋64＝0；(2)x2＋5x＋7＝0.
解 (1)移项，得9x2＝－64，
二次项系数化为1，得x2＝－，
因为2＝2＝－，
所以原方程的根为x＝±i.
(2)因为a＝1，b＝5，c＝7，
Δ＝b2－4ac＝52－4×1×7＝－3<0，
所以应用求根公式得原方程的根为
x＝＝＝.
B级：“四能”提升训练
1．设z＝＋i(i是虚数单位)，求z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6.
解 z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，
所以原式＝＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋＋6＝3－3i.
2．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件，得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，
即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1，即△ABC的面积为1.
课件16张PPT。课后课时精练 7.2.2 复数的乘、除运算
知识点一 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可．
知识点二 复数的乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1z2＝z2z1；
结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
知识点三 复数的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．
虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方，i有如下性质：
i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.
说明：(1)上述公式说明i的幂具有周期性，且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集．
(3)4k(k∈Z)是i的周期．
(4)与i有关的几个结论：
(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i，则复数z1z2的虚部为5.( )
(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( )
(3)两个共轭复数的积为实数．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2．做一做
(1)复数＝________.
(2)复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限．
(3)复数2－的共轭复数是________．
答案 (1)－i (2)四 (3)2－i
题型一 复数的乘、除运算
例1 (1)复数－＝( )
A．0 B．2 C．－2i D．2i
(2)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
[解析] (1)解法一：－
＝
＝＝＝2i.
解法二：－＝－＝i＋i＝2i.
(2)(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，
∴(z1－z2)i的实部为－20.
[答案] (1)D (2)－20
(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．
计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)原式＝＝
＝＝＋i.
(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
题型二 在复数范围内解一元二次方程
例2 在复数范围内解下列方程．
(1)2x2＋6＝0；
(2)x2＋x＋4＝0.
[解] (1)由2x2＋6＝0，得x2＝－3.
因为(i)2＝(－i)2＝－3，
所以方程2x2＋6＝0的根为x＝±i.
(2)配方，得2＝－，
因为2＝2＝－，
所以x＋＝±i，
所以原方程的根为x＝－±i.
实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，a≠0)在复数范围内定有两个根：
(1)Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1,2＝－±.
(2)Δ＝0，方程有两个相等的实数根x1,2＝－.
(3)Δ<0，方程有一对共轭虚根x1,2＝－±i.
在复数范围内解方程2x2＋4x＋15＝0.
解 配方，得(x＋1)2＝－，
因为2＝2＝－，
所以x＋1＝±i，
所以原方程的根为x＝－1±i.
题型三 复数in的周期性运算
例3 计算：(1)＋2020；
(2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019.
[解] (1)＋2020＝＋1010＝i(1＋i)＋1010＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝i－2.
(2)解法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019＝1＋i＋i2＋i3＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋(i8＋i9＋i10＋i11)＋…＋(i2016＋i2017＋i2018＋i2019)＝1＋i＋i2＋i3＝0.
解法二：1＋i＋i2＋…＋i2019＝＝＝＝0.
in(n∈N*)的性质
根据复数乘法法则，容易得到i的n次幂的计算法则，即n∈N*时，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中i0＝1，i－n＝(n∈N*)．
另外，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
(1)当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
(2)计算6＋的值为________．
答案 (1)D (2)－1＋i
解析 (1)∵z2＝2＝＝－i，
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i.
(2)原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.
1．复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
答案 A
解析 i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.故选A.
2．复数等于( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案 A
解析 ＝＝＝1＋i.故选A.
3．(1＋i)2－＝________.
答案 －＋i
解析 (1＋i)2－＝2i－＝－＋i.
4．方程7x2＋1＝0的根为________．
答案 x＝±i
解析 7x2＋1＝0，整理得x2＝－，因为2＝2＝－，所以7x2＋1＝0的根为x＝±i.
5．把复数z的共轭复数记作，已知i＝4＋3i，求.
解 由i＝4＋3i得＝＝3－4i，所以z＝3＋4i.
所以＝＝＝.
课件30张PPT。7.2.2 复数的乘、除运算
