A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则A与也是相互独立事件，∴P(A)＝P(A)·P()＝×＝.故选A.
2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？( )
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
答案 C
解析 P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．
3．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( )
A．0.12 B．0.88
C．0.28 D．0.42
答案 D
解析 P＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42.
4．袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球的概率为，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为××＝.
5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
二、填空题
6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________．
答案
解析 由已知每次打开家门的概率为，则该人第三次打开家门的概率为×＝.
7．一道数学竞赛试题，甲同学解出它的概率为，乙同学解出它的概率为，丙同学解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有一人解出的概率为________．
答案
解析 只有一人解出的概率P＝××＋××＋××＝.
8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
答案
解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.
三、解答题
9．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
B级：“四能”提升训练
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
解 设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率为
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率为
P0＝P()＝P()P()P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率为
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率为
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．
课件18张PPT。课后课时精练
(教师独具内容)
课程标准：1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.2.结合古典概型，利用独立性计算概率．
教学重点：相互独立事件的含义和相互独立事件同时发生的概率公式．
教学难点：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题转化为几类基本概率模型.
知识点 相互独立事件的定义和性质
(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
1．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
2．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)若事件A，B相互独立，则P()＝P()P()．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．做一做
(1)一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
(2)一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )
A. B.
C. D.
(3)在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
答案 (1)A (2)C (3)
题型一 事件独立性的判断
例1 判断下列事件是否为相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个节能灯泡能用1000小时”，B＝“一个节能灯泡能用2000小时”
(2)甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
答案 (1)A (2)A
解析 (1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B事件应为互斥事件，不相互独立；D中事件B受事件A的影响，故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件，故选A.
题型二 相互独立事件概率的计算
例2 根据资料统计， 某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙两种保险相互独立， 各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
[解] 记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意，得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
求相互独立事件同时发生概率的步骤
(1)①首先确定各事件之间是相互独立的；
②确定这些事件可以同时发生；
③求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
甲、乙两人独立地破译某密码，他们能破译的概率分别为和.求：
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能破译的概率．
解 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立．
(1)“两人都能破译”为事件AB，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“两人都不能破译”为事件，则
P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝.
(3)“恰有一人能破译”为事件A∪B，
又A与B互斥，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
(4)“至多一人能破译”为事件A∪B∪，而A，B，互斥，故P(A∪B∪)＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝×＋×＋×＝.
题型三 相互独立事件概率的实际应用
例3 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)P(A1)＝[1－P(2)P(3)]P(A1)＝×＝.
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意，得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意，知P甲＝＝，P乙＝，由于甲、乙中靶是相互独立事件，所以P同时中靶＝P甲P乙＝.
2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
答案 D
解析 事件A的结果对事件B有影响．根据相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．
3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为( )
A．0.64 B．0.32
C．0.56 D．0.48
答案 B
解析 设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，则“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(即A)，另一种是甲未击中、乙击中(即B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.故选B.
4．加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
答案
解析 加工出来的零件的正品率为××＝，所以次品率为1－＝.
5．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
解 (1)设“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝.
∴恰好命中一次的概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝.
(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P1，则P1＝P()＝P()P()P()·P()＝2×2＝.
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝.
课件37张PPT。10．2 事件的相互独立性
