A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．甲、乙两队举行足球比赛，若甲队获胜的概率为，则乙队不输的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 乙队不输的概率为1－＝.
2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
答案 C
解析 设事件“抽检一件是甲级”为事件A，“抽检一件是乙级”为事件B，“抽检一件是丙级”为事件C，由题意可得事件A，B，C为互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为乙级品和丙级品均属次品，且P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.故选C.
3．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.9
答案 C
解析 ∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，∴P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.选C.
4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案 B
解析 设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.
5．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意，知表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
二、填空题
6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案 120
解析 设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
7．给出命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(4)若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件．
其中错误命题的个数是________．
答案 3
解析 由互斥事件与对立事件的定义可知(1)正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故(2)不正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故(3)不正确；由对立事件的定义可知，事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝?时，A，B才互为对立事件，故(4)不正确．
8．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．
答案
解析 由P1满足方程x2－x＋＝0知，
P－P1＋＝0，解得P1＝；
因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，
所以·＝6，解得P2＝.
因此甲射击一次，不中靶的概率为1－＝，乙射击一次，不中靶的概率为1－＝.
三、解答题
9．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解 先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16个结果出现的可能性是相等的．
又满足条件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，
故满足条件nB级：“四能”提升训练
某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
解 (1)记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝.
又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－－＝.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16种情况发生的可能性是相等的；而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个．
所以所求概率为.
课件19张PPT。课后课时精练 10.1.4 概率的基本性质
(教师独具内容)
课程标准：结合实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．
教学重点：随机事件概率的运算法则．
教学难点：利用随机事件概率的运算法则解题.
知识点 概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
推广 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5 如果A?B，那么P(A)≤P(B)，易得0≤P(A)≤1.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．如何应用互斥事件的概率加法公式
(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果．
(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏．
(3)常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②求各个事件分别发生的概率，再求其和．
2．对立事件与P(A)＋P(B)＝1的关系
(1)若A，B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.
(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A和B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝＋＝1，显然事件A与事件B不互斥，也不对立．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在同一试验中的两个事件A与B，一定有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．( )
(2)对于互斥事件A与B，一定有P(A)＋P(B)＝1.( )
(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做
(1)若A，B为互斥事件，则( )
A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
(2)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A. B. C. D.
(3)一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是( )
A．0.994 B．0.006
C．0 D．1
答案 (1)D (2)A (3)B
题型一 互斥事件与对立事件的概率
例1 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
[解] 设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)解法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
解法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
互斥、对立事件概率的求解步骤
解决事件概率问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解 解法一：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
解法二：(利用对立事件求概率)
(1)由解法一，知取出1球是红球或黑球的对立事件为取出1球是白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
题型二 概率基本性质的应用
例2 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率．
[解] (1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
[变式探究] 在本例中，如果公务员选乘一种或几种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解 由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
复杂事件概率的求法
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，这也就是我们常说的“正难则反”．
在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在80～89分(包括89分)的概率是0.51，在70～79分(包括79分)的概率是0.15，在60～69分(包括69分)的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率；
(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率．
解 小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“在70～79分”“在80～89分”“不低于90分”的并事件，小明数学考试及格可以看作互斥事件“在60～69分”“在70～79分”“在80～89分”“不低于90分”的并事件，又可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件．
于是分别记小明的成绩“不低于90分”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩不低于70分的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＝0.84.
(2)解法一：小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
1．从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8,4.85) g范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
答案 B
解析 质量在[4.8,4.85) g 范围内的概率P＝1－0.3－0.32＝0.38.
2．掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 记“出现奇数点或2点”为事件C，因为事件A与事件B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选D.
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
答案
解析 ∵所选3人中没有女生即都是男生与至少有一名女生为对立事件，∴所选3人中都是男生的概率P＝1－＝.
4．同时掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
答案
解析 记没有5点或6点的事件为A，则P(A)＝，至少有一个5点或6点的事件为B.因A∩B＝?，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，
则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故至少有一个5点或6点的概率为.
5．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率．
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
课件35张PPT。10.1.4 概率的基本性质
