二 笛卡儿坐标系 课件（27张PPT）

(共27张PPT)
第4讲 平面解析几何的产生
——数与形的结合

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坐标思想古已有之（如地理中所用的“经线”和“纬线”），而且有先驱者曾经研究过这个问题，但解析几何真正的发明要归功于法国数学家笛卡儿.
笛卡儿坐标系
勒奈·笛卡儿（Rence Descartes,1596～1650)法国哲学家、物理学家、生理学家和数学家 .解析几何的创始人.

内容解析
笛卡儿简介
世人对笛卡儿的评价
解析几何的创立
笛卡儿的贡献
创立解析几何的传说
笛卡儿解析几何的思想
笛卡尔1596年3月31日生于法国的一个贵族家庭.因家境富裕从小多病，学校允许他在床上早读，养成终生“晨思”的习惯.1606年他在欧洲的耶稣会的拉弗莱什学校上学，1616年在普依托大学学习法律与医学，1617年和1619年两次从军，离开军营后，旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的.1650年2月11日卒于斯德哥尔摩.
笛卡儿简介
一则：
笛卡儿终身保持着在耶酥会学校读书时养成的“晨思”习惯，在一次晨思时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他头脑中产生了关于解析几何的最初闪念.
创立解析几何的传说
二则：
1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕（11月10日），他作了三个连贯的梦，从而揭示了解析几何的发现.
1619年，在多瑙河的军营中，笛卡儿开始用大部分的时间来思考他在数学中的新想法：是否可以用代数中的计算过程来代替几何中的证明呢？要这样就必须找到一座能连接几何与代数的桥梁——使几何图形数值化，从而能用数值的方法去解决，即“数形结合”的思想.
解析几何的创立
同年，笛卡儿发现了“一种全新的科学，它可能用一种一般的方法解决所有与量有关的领域中的问题，不论这种量是连续的还是数值的”，这就是他发明的解析几何的方法.
笛卡儿在《方法论》一书中写道：第一，如果要发现真正的知识，必须靠自己去实行整个研究计划，正如一件上好的艺术品或一幢完美的建筑，总是出自一个能人之手；第二，在方法上，必须从怀疑当时哲学的所有内容为出发点，并寻找自明的、确定的原理，在此基础上重新构造出一切科学.
笛卡尔的贡献是多方面的，他是欧洲近代哲学的主要开拓者之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”，而他建立解析几何的成就在科学史上有划时代的意义.恩格斯高度评价说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，微分与积分也就立即变成必须.”
笛卡儿的贡献
世人对笛卡儿的评价
数学史家克莱因（M.Kline）这样评价笛卡儿：他只偶尔地史一个数学家，不过像他那样富于智力的人即使只花一部分时间在一个科目上，其工作也必定是有意义的.
法国邮票上的笛卡儿
人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人.”
笛卡尔堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”.
1637年笛卡儿出版科著名的著作《方法论》.该书主要是哲学著作，但包括了3个著名的附录：《几何学》、《折光》和《气象》.其中的《几何学》是他唯一的数学著作.书中阐述了解析几何的思想，后人把这本书看作解析几何的开端.
笛卡儿解析几何的思想
笛卡尔《几何》
《几何学》
（共三部分）

第一部分讨论尺规作图，将几何问题化为代数问题，提出“仅用圆与直线的作图问题”.
第二部分讨论曲线的性质.给出解析几何的基本思想，将点与一种斜坐标系下的数对（x，y）联系起来.
第三部分讨论当时流行的代数问题.表讨论代数方程论中“代数方程根的个数”和“笛卡儿符号法则”.

书中第一次出现了变量与函数的概念，笛卡儿所谓的变量是指长度可变而方向不变的线段，还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量.正是由于对变量形式的这两种考虑，才使得笛卡儿能够创建一种几何与代数相互渗透的科学，或者说一种把算术、代数和几何统一起来的通用的数学.
解析几何的基本思想:
笛卡儿指出每一对有序实数，即坐标（x，y）都对应于平面上唯一的一个点；反之，平面上每一个点都有唯一的一个坐标（x，y）与之对应.根据这种坐标思想，笛卡儿进一步考虑二元方程f(x，y)=0的性质.x，y的不同数值所确定的平面上许多不同的点形成一条曲线.
这样一个代数方程就可以通过几何直观的方法去处理.反之，可以离开几何图形，用代数的方法研究几何的性质.具有某种性质的点之间有某种关系，“这个关系可以用一个方程来表示”.
笛卡儿把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来，并在数学中引入了变量的思想，从而开拓了变量数学领域，是数学史上一项划时代的变革.
笛卡儿以一个古希腊的数学问题——帕波斯问题举例，求出了双曲线的轨迹方程:
设在平面上给定4条直线，
面上的点C作4条直线分别与
点P， R，Q，S，交角分别等于已知角
求使CP·CR=kCQ·CS（k为常数）
，过平
交于
的点C的轨迹.








E
A
P
G
R
D
S
C
Q
x
y
如图所示
记AP为x，PC为y，经简单的几何分析，他用已知量表示出CR，CQ和CS的值，代入CP·CR=CQ·CS（取k=1），就得到一个关于x和y的二次方程：
证明：
①
其中A，B，C，D是由已知量构成的简单代数式.于是笛卡儿指出，任给x一个值，就得到一个关于y的二次方程，如果我们取无穷多个x值，就得到无穷多个y值，从而得到无穷多个点C，所以点C的轨迹就是方程①所代表的曲线.
笛卡儿选定一条直线AG作为基线，以点A为原点，从A为原点，从A点量起，x值是基线的长度；y值是另外一条直线的长度，该线段从基线出发，与基线成定角.这样，笛卡儿建立了历史上第一个倾斜坐标系.
在《几何学》的第二卷中，笛卡儿考虑了曲线的分类及其性质，用代数方程的直接可解性区分“几何曲线”与“非几何曲线”.他把复杂的高次曲线也看作几何曲线（代数曲线），把不能用代数方程表示的曲线称为“机械曲线”（超越曲线）.这样，笛卡儿开辟了全新的曲线领域.
在坐标系和曲线方程的基础上，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法.
曲线的次数与坐标轴的选择无关；坐标轴的选取应使曲线方程尽量简单；可以利用表示曲线的方程来求两条不同曲线的交点等.
笛卡儿对韦达所采用的代数符号作了改进：用字母表中末尾几个字母x，y，z……表示未知数；用开头几个字母a，b， c ……表示已知数.他还给出了幂指数的简单表示方法，平方根符号也是笛卡儿首先使用的.在现代的数学文献中，有许多概念以笛卡儿的名字命名如笛卡儿坐标系、笛卡儿乘积、笛卡儿抛物线，等等.
在《几何学》中，笛卡儿充分发挥了代数学的强大威力，利用坐标系把代数和几何结合起来，使解析几何成为一种普遍的方法.从此，数学一改以前的局面，大大地向前迈进了一步.
阿尔巴尼亚邮票上的笛卡儿

课堂小结
笛卡儿的解析几何的基本思想:
（１）用有序数对表示点的坐标；
（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线.