高中数学人教新课标A版选修2-1 椭圆 专项跟踪测试训练题(word版含答案）

椭圆 专项跟踪测试训练题


一、选择题
1.已知椭圆C上任意一点都满足关系式,则椭圆C的标准方程为( )
A. B. C. D.
2.“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知P是椭圆上一点,点分别是椭圆的左、右焦点,直线交椭圆于另一点A,则的周长为( )
A.10 B.16 C.20 D.40
4.中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到两焦点的距离之和为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
5.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且点到两个焦点的距离之差为2，则是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.直角三角形
6.椭圆与椭圆(且)有( )
A.相同的焦点 B.相同的顶点
C.相同的离心率 D.相同的长、短轴
7.设分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线l与椭圆相交于两点,且成等差数列,则( )
A. B.1 C. D.
8.设为椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,若线段的中点在y轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
9.若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.椭圆的左、右顶点分别是,左、右焦点分别是.若成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11.已知是椭圆的一个焦点，为过椭圆中心的一条弦，则的面积最大值为( )
A.6 B.15 C.20 D.12
12.若坐标原点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
二、填空题
13.已知椭圆的一个焦点是,则__________.
14.若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直,则的面积为___________.
15.设椭圆的一个焦点,点为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得,则椭圆E的离心率的取值范围是__________.
16.如图，是椭圆的长轴，点在椭圆上，且,若，则椭圆的两个焦点之间的距离为_________.

17.已知在平面直角坐标系中,点,点P为一动点,且,给出下列说法:
①当时,点P的轨迹不存在;
②当时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3;
③当时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6;
④当时,点P的轨迹是以为直径的圆.
其中正确的说法是_________(填序号).
三、解答题
18.如图,已知定点,动点B是圆上一点,线段的垂直平分线交于点P,求动点P的轨迹方程.

19.写出适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1);
(2)经过两点;
(3)以椭圆的焦点为焦点,且经过点.
20.已知椭圆过点,离心率为.
（1）求椭圆的方程;
（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点的坐标.
21.已知椭圆过点,且两个焦点的坐标分别为.
(1)求E的方程;
(2)设为E上三个不同的点,O为坐标原点,且,求证:四边形的面积为定值.
22.如图,已知分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线交椭圆于另一点B.

(1)若,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且,求椭圆的方程.
23.已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点.

1.求椭圆的方程；
2.当的面积为时，求实数的值.

参考答案
1.答案：B
解析：由题设可知椭圆C的焦点在x轴上,且,故,所以椭圆C的标准方程为.
2.答案：C
解析：若方程表示椭圆,则,解得且,所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件,故选C.
3.答案：D
解析：设的周长为l,则.
4.答案：C
解析：∵椭圆上的点到两个焦点的距离之和为18，∴.∵两个焦点将长轴三等分，∴，∴，∴.故选C
5.答案：D
解析：由椭圆的定义，知.由题可得,则，或.又,所以为直角三角形.
6.答案：C
解析：将椭圆方程(且)化为标准方程,得(且),其离心率,故选C.
7.答案：C
解析：椭圆中,,∵,相加得,∴.∵成等差数列,∴,于是,∴.
8.答案：C
解析：∵线段的中点在y轴上,∴轴,,∴.
9.答案：C
解析：由得.当，即或时，直线与椭圆有两个公共点.故选C
10.答案：A
解析：设椭圆的焦距为,则.∵成等比数列,∴,即,∴.故选A.
11.答案：D
解析：由题意知，.
12.答案：C
解析：由题设,知.设点,则,得.因为,所以.又,所以的最大值为.故选C.
13.答案：-1
解析：易知,椭圆方程可化为,∴.又,∴,∴.
14.答案：24
解析：设,则.又,根据勾股定理,得,解得或,所以.
15.答案：
解析：记椭圆的左焦点为,则.∵,∴,即.∵,∴,即.∵,∴,即,椭圆E的离心率的取值范围是.
16.答案：
解析：设椭圆的标准方程为.由题意知.∵，，∴点的坐标为.∵点在椭圆上，∴，∴，∴，则椭圆的两个焦点之间的距离为.
17.答案：①③
解析：当时,,故点P的轨迹不存在,①正确;当时,,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为,②错误,③正确;当时,点P的轨迹为线段,④错误.
18.答案：连接,圆的圆心为,半径.
∵线段的垂直平分线交于点P,∴,
∴.
由椭圆的定义,知点P的轨迹是椭圆.
依题意,有,∴,
∴动点P的轨迹方程为.
解析：
19.答案：(1)由,得.
∴椭圆的标准方程为或.
(2)①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为.
由已知,得,
即所求椭圆的标准方程是.
②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为,
由已知,得,
与矛盾,此种情况不存在.
综上,所求椭圆的标准方程是.
(3)方程可化为,
则焦点是.
设所求椭圆的标准方程为,
∵点M在椭圆上,
∴


,
∴,即,
∴,
∴所求椭圆的标准方程为.
解析：
20.答案：（1）将代入的方程得,
∴.
又得，即,
∴.
∴椭圆的方程为
（2）过点且斜率为的直线方程为,
设直线与椭圆的交点,,
将直线方程代入的方程,得,
即,解得,
∴，
即所截线段中点的坐标为.
解析：
21.答案：(1)由已知得,
∴.又,∴,∴E的方程为.
(2)当直线的斜率不为0时,可设直线,
由,得,
设,则,
设,由,得四边形为平行四边形,
.
∵点P在椭圆E上,∴,
即,∴,
此时,
∴,
又原点O到直线的距离,
∴四边形的面积.
当的斜率为0时,直线的方程为,
此时四边形的面积,
∴四边形的面积为定值.
解析：
22.答案：(1)若,则为等腰直角三角形,
所以有,即,所以.
(2)由题知,设,
由,得,即,
解得,
代入,得,即,
解得,所以,
故椭圆的方程为.
解析：
23.答案：1.由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
2.由得.
设点的坐标分别为，
则，
所以

.
又因为点到直线的距离，
所以的面积，
由，解得.
解析：