高中数学人教新课标A版选修2-1 双曲线 专项跟踪测试训练题 （Word版含答案）

双曲线 专项跟踪测试训练

一、选择题
1.一动圆与两圆：和都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆
2.若双曲线的一个焦点为，则m的值为( )
A. B.1或3 C. D.
3.已知双曲线上有一点M到左焦点的距离为,则点M到右焦点的距离是(???)
A.8?????????? B.28???????? ?C.12????????? D.8或28
4.椭圆与双曲线有相同的焦点，则m的值是( )
A. B.1 C.-1 D.不存在
5.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为( )
A. B. C.或 D.或7
6.设,则关于的方程所表示的曲线是( )
A.焦点在轴上的双曲线 B.焦点在轴上的双曲线
C.焦点在轴上的椭圆 D.焦点在轴上的椭圆
7.设是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且,则的面积等于( )
A. B. C.24 D.48
8.已知双曲线的右焦点为F, 若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线,若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且,则双曲线离心率的最小值为( )
A. B. C.2 D.
10.已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点.若,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11.若双曲线的一条渐近线经过点，则其离心率等于________.
12.双曲线的离心率，则的取值范围是__________.
13.已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断：
①当时，曲线表示椭圆；
②当或时，曲线表示双曲线；
③若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则；
④若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则.
其中判断正确的是________.(只填判断正确的序号)
14.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足,则的面积是__________.
15.双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上一点，则最小值为_______.
三、解答题
16.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点.
(1).求双曲线的方程;
(2).若点在双曲线上,求证;
(3).若2的条件,求的面积.
17.已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点．
(1).求双曲线的方程；
(2).经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求
18.已知双曲线的方程为.
1.求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
2.设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且,求的大小.
19.设分别为双曲线的左、右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.
(1).求双曲线的方程;
(2).已知直线与双曲线的右支交于两点,且在双曲线的右支上存在点,使,求的值及点的坐标.
20.已知双曲线的方程为.
1.求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程.
2.过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
21.如图,已知双曲线的右焦点为F.点分别在C的两条渐近线上, 轴, , (O为坐标原点).

1.求双曲线C的方程;
2.过C上一点的直线与直线相交于点M,与直线相交于点N.证明: 当点P在C上移动时, 恒为定值,并求此定值.

参考答案
1.答案：C
解析：由题意两定圆的圆心坐标为，半径分别为1,2.设动圆圆心为，动圆半径为r，则，∴,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.
2.答案：A
解析：∵双曲线的一个焦点为，∴焦点在x轴上且，∴，∴.
3.答案：D
解析：双曲线的,
由双曲线的定义可得,
即为,解得或.
检验若M在左支上,可得,成立;
若M在右支上,可得,成立.故选: .
求得双曲线的,运用双曲线的定义,可得,解方程可得所求值,
检验M在两支的情况即可
4.答案：A
解析：验证法：当时，，对椭圆来说，.对双曲线来说，，故当时，它们有相同的焦点.
直接法：显然双曲线的焦点在x轴上，故，则，即.
5.答案：C
解析：∵构成等比数列，∴.当时，圆锥曲线方程为，其离心率为；当时，圆锥曲线方程为，其离心率为.故选C
6.答案：B
解析：由题意知，因为，所以，则方程表示焦点在x轴上的双曲线.故选B
7.答案：C
解析：由知，由双曲线的定义知,∴.又∵,∴，∴.∴为直角三角形，∴.
8.答案：D
解析：
9.答案：C
解析：因为过右焦点的直线与双曲线相交于两点且,
故直线与双曲线相交只能如图所示的情况,
即点在双曲线的左支,点在右支,
设,右焦点,
因为,所以,
由图可知,,
所以,
故,
即,
即,故选C.

10.答案：A
解析：根据双曲线的标准方程，可知.因为在双曲线上，所以，即，所以.由得，解得.
11.答案：或
解析：设一条渐近线方程为，由题意知，得，所以渐近线方程为.若焦点在x轴上，则，于是离心率；若焦点在y轴上，则，于是离心率.
12.答案：
解析：双曲线方程可变形为，则.又因为，即，解得.
13.答案：②③④
解析：①错误，当时，曲线表示圆；②正确，若为双曲线，则，∴或；③正确，若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则，∴；④正确，若曲线为焦点在y轴上的双曲线，则∴.
14.答案：1
解析：双曲线的焦点三角形的面积，即.
15.答案：-2
解析：由双曲线，得左顶点，右焦点，设右支上一点，则，，∴又∵，∴，代入上式，可得.当时，最小值为-2.
16.答案：(1).∵,∴可设双曲线方程为.
∵双曲线过点,
∴,即.
∴双曲线方程为.
(2).方法一:由1可知, ,∴,
∴,,
∴,,
.
∵点在双曲线上,
∴,即,
故,∴.
∴.
方法二:由(1)可知, ,∴,
∴,,
,,∴,
∵点在双曲线上,∴,即,
∴.
(3). 的底,
的高,
∴.
解析：
17.答案：(1).∵双曲线的离心率为，
点是双曲线的一个顶点，
∴解得，
∴双曲线的方程为.
(2).双曲线的右焦点为，
∴经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为
联立,得.
设，
则.
所以
解析：
18.答案：1.由双曲线方程得
∴∴焦点坐标分别为，
离心率，渐近线方程为.
2.由双曲线的定义可知,
∴

.则.
解析：
19.答案：(1).双曲线的渐近方程为,焦点为,
∴焦点到渐近线的距离为,
又∴,双曲线的方程为.
(2).设点
由得:

∵,,有
又点在双曲线上, ,
解得,∵点在双曲线的右支上,
,,此时点.
解析：
20.答案：1.因为点在双曲线内，
所以过点的直线一定与双曲线有两个交点.
设以为中点的弦的两端点为，
则有.
根据双曲线的对称性知.由点在双曲线上，
得.
两式相减得
所以，所以.
即以为中点的弦所在直线的斜率，
故所求中点弦所在直线的方程为，即.
2.假定直线存在，采用1的方法求出直线的方程为，
即.
由消去y得，
，无实根，
因此直线与双曲线无交点，
故满足条件的直线不存在.
解析：
21.答案：1.设,因为,所以,直线的方程为,直线的方程为,解得.
又直线的方程为,
则,.
又因为,所以,解得,
故双曲线C的方程为.
2.由1知,则直线l的方程为,即.
因为直线的方程为,所以直线l与的交点为;
直线l与直线的交点为,
则.
因为是C上一点,则,代入上式得
,
所求定值为.