（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．2.2　向量的减法运算（Word版含答案）

6．2.2　向量的减法运算
考点
学习目标
核心素养
相反向量
理解相反向量的概念
数学抽象
向量的减法
掌握向量减法的运算法则及其几何意义
数学抽象、直观想象
问题导学
预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：
1．a的相反向量是什么？
2．向量减法的几何意义是什么？
1．相反向量
(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．
(2)结论
①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
2．向量的减法
(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
■名师点拨
(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个相等向量之差等于0.(　　)
(2)两个相反向量之差等于0.(　　)
(3)两个向量的差仍是一个向量．(　　)
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.－＝0　　　　　　 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
答案：C
设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　)
A．a与b的长度相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
答案：C
在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
答案：，
向量的减法运算
　化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
【解】　(1)法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
法二：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0
＝.
(2)法一：原式＝－＝.
法二：原式＝－(＋)＝－＝.

向量减法运算的常用方法
　
1．下列四个式子中可以化简为的是(　　)
①＋－；②－；③＋；④－.
A．①④　　　 B．①②　　　 C．②③　　　 D．③④
解析：选A.因为＋－＝－＝＋＝，所以①正确，排除C，D；因为－＝，所以④正确，排除B.故选A.
2．化简下列向量表达式：
(1)－＋－；
(2)(－)＋(－)．
解：(1)－＋－＝＋－＝－＝.
(2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.
向量的减法及其几何意义
　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解】　法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，
则＝b－c.
过点A作AD綊BC，连接OD，
则＝b－c，
所以＝＋＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，
则＝a＋b－c.
法三：如图③，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，连接OB，
则＝a＋b，再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c.

求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　
　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c.
用已知向量表示其他向量
　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【解】　因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.

用已知向量表示其他向量的三个关注点
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例如，在四边形ABCD中，＋＋＋＝0.　
1．如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．
解析：因为＝，＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋，所以＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c.试证明：a－b＋c＝.
证明：如图，a＋c＝＋＝＋＝，
＋b＝＋＝，
所以a＋c＝＋b，
即a－b＋c＝.
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C.　　　　 D.
解析：选C.在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
2．化简：－＋－＋＝________．
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝0＋＝.
答案：
3．已知＝10，||＝7，则||的取值范围为______．
解析：因为＝－，
所以||＝|－|.
又≤|－|≤||＋||，
3≤|－|≤17，
所以3≤||≤17.
答案：[3，17]
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
解：因为－＋－＝＋，－＝＝－.
又|－|＝|－＋－|，
所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
[A　基础达标]
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b　　　　　　　　　　 B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：选B.＝＋＝＋(－)＝b－a.
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
解析：选B.＝＋＝－＝－＝－－.故选B.
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A.＝＋＋＝a－b＋c.
4．给出下列各式：
①＋＋；
②－＋－；
③－－；
④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.①＋＋＝＋＝0；
②－＋－＝＋－(＋)＝－＝0；
③－－＝＋＋＝＋＝0；
④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.
5．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由菱形的图形，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
答案：0　2
7．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a　－a－b
8．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中正确命题的序号为________．
解析：①因为＋＝，
所以＝－，正确；
②因为－＝，所以＋＝，正确；
③因为＝－，所以－＝，正确；
④因为－＝－－，所以＝＋，正确．
答案：①②③④
9.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；
(3)－；(4)＋；
(5)－.
解：(1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＝d－a.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5)－＝－－(－)＝－＝f－d.
10．如图所示，?ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
解：(1)＝＋＝b＋a，＝－＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝，a－b＝.
因为a＋b与a－b所在直线垂直，
所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，
所以|a|＝|b|.
所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
[B　能力提升]
11．给出下面四个结论：
①若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋；
②若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC；
③若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC；
④若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC.
其中正确的结论有________．
解析：①由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝＋，正确．
②三角形内＝＋，但AC≠AB＋BC，错误．
③，反向共线时，||＝|＋|≠||＋||，也即AC≠AB＋BC，错误．
④，反向共线时，|－|＝|＋(－)|＝AB＋BC，正确．
答案：①④
12．已知||＝a，||＝b(a>b)，||的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为______．
解析：因为a－b＝|||－|||≤|－|＝||≤||＋||＝a＋b，
所以解得
答案：10　5
13．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________．
解析：如图，在△ABD中，
AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，
－＝＋
＝＋＝.
易求得AD＝，即||＝.
所以|－|＝.
答案：
14．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d.
解：因为a＋b＝，c－d＝，所以a＝，b＝，c＝，d＝.如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得，b－c＝，a＋d＝.
[C　拓展探究]
15．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB.又M是斜边AB的中点，
所以CM＝AM＝BM.
(1)因为－＝，
又||＝||，所以|a－b|＝|a|.
(2)因为M是斜边AB的中点，
所以＝，
所以a＋(a－b)＝＋(－)＝＋＝＋＝，
因为||＝||，
所以|a＋(a－b)|＝|b|.