（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．2.3　向量的数乘运算Word版含答案

6．2.3　向量的数乘运算
考点
学习目标
核心素养
向量数乘运算的定义及运算律
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律
数学抽象、直观想象
向量共线定理
掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线
逻辑推理
问题导学
预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
3．向量共线定理是怎样表述的？
4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
1．向量的数乘的定义
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．
■名师点拨
λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝(λμ)a．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
3．向量的线性运算及向量共线定理
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
■名师点拨
若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　)
(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(　　)
(3)若ma＝mb，则a＝b.(　　)
(4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)
A．a－2b　　　　　　　　　　 B．a
C．a－6b　　　 D．a－8b
答案：D
若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　)
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a＝2b D．a＝－2b
答案：A
在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形的形状是________．
答案：梯形
向量的线性运算
　(1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
③.
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
【解】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a
＝－7a＋7b.
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c
＝－a－c.
③原式＝
＝
＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j
＝－i－5j.
向量线性运算的基本方法
(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　
1．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________．
解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋)a＋(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0＝0.
答案：0
2．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.
解：因为2x－a－b－c＋x＋b＝0，
所以x－a＋b－c＝0，
所以x＝a－b＋c，
所以x＝a－b＋c.
向量共线定理及其应用
　已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
【解】　(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
所以，共线，且有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有
所以k＝±1.
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．　
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
　已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．
解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得
答案：－
用已知向量表示其他向量
　如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
【解析】　因为∥，||＝2||，
所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋
＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
【答案】　(1)e2＋e1　(2)e1－e2
[变条件]在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.
解：因为＝＋＋，
＝＋＋，
所以2＝(＋)＋＋＋(＋)．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以＋＝0，＋＝0.
所以2＝＋，
所以＝(－－)＝－e2－e1.
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　
　如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)
A．＋　　　　　　 B．－－
C．－＋ D．－
解析：选D.＝＋＝－.
1.等于(　　)
A．2a－b　　　　　　　　　　 B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：选B.原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b.
2．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1.
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证A，B，D三点共线．
证明：因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
所以＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以＝2，所以与共线．
因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．
[A　基础达标]
设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反　　　　 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　)
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：选A.因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2＋＋＝0，则(　　)
A.＝2 B.＝
C.＝3 D．2＝
解析：选B.因为D为BC的中点，所以＋＝2，
所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.
4．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　)
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
解析：选B.若A，B，C三点共线，则与共线，
所以存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
所以
所以km＝1，即km－1＝0.
5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC中，若＋＝2，则等于(　　)
A．－＋ B.－
C.－ D．－＋
解析：选C.由＋＝2得＝(＋)，所以＝＋＝－(＋)＋＝－.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．已知点P在线段AB上，且||＝4||，设＝λ ，则实数λ＝________．
解析：因为||＝4||，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以＝.
答案：
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0?k＜0)．
答案：－4
9．计算：
(1)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解：(1)原式＝a＋b＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
10．已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
解：(1)因为2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
(2)＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝，b＝，则＝(　　)
A.a－b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
解析：选A.因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝a＋b，所以＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.
12.如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有(　　)
①＋2； ②＋；
③＋； ④＋.
A．①② B．①②④
C．①②③ D．③④
解析：选A.依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有＝λ＝λ[x＋(1－x)]＝λx＋(1－x)λ，其中01，注意到λx＋(1－x)λ＝λ>1；注意到1＋2＝3>1，＋>＋＝1，＋＝<1，＋＝<1，故选A.
13.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________．
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
14．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的模为的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
[C　拓展探究]
15．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．
解：(1)证明：当a＝，b＝时，
＝＋，
所以(－)＝(－)，
即2 ＝，
所以与共线，又与有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥，
不妨设＝λ(λ∈R)，所以－＝λ(－)，
即＝(1－λ)＋λ，
又＝a＋b，且，不共线，
则所以a＋b＝1(定值)．