（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．2.4　向量的数量积Word版含答案

6．2.4　向量的数量积
考点
学习目标
核心素养
向量的夹角
理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角
直观想象、数学运算
向量数量积的含义
理解平面向量数量积的含义并会计算
数学抽象、数学运算
投影向量
理解a在b上的投影向量的概念
数学抽象
向量数量积的性质和运算律
掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P17－P22的内容，思考以下问题：
1．什么是向量的夹角？
2．数量积的定义是什么？
3．投影向量的定义是什么？
4．向量数量积有哪些性质？
5．向量数量积的运算有哪些运算律？
1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；
②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
③当θ＝π时，向量a与b反向．
■名师点拨
按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.
规定零向量与任一向量的数量积为0．
■名师点拨
(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
3．投影向量
如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量．
如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cos θ e.
■名师点拨
当θ＝0时，＝|a|e；当θ＝时，＝0；当θ∈时，与b方向相同；当θ∈时，与b方向相反；当θ＝π时，＝－|a|e.
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b?a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
■名师点拨
对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
■名师点拨
(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　)
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(3)a，b共线?a·b＝|a||b|.(　　)
(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　)
(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．12
C．－12 D．－12
解析：选B.m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×＝12.
已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为(　　)
A．60° B．120°
C．135° D．150°
解析：选B.设a与b的夹角为θ.
因为(3a)·＝－36，
所以3×a·b＝－36，
又|a|＝10，|b|＝12，
所以3××10×12cos θ＝－36，
所以cos θ＝－.
又因为θ∈，
所以θ＝120°.
4．已知|a|＝，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______．
解析：因为a－b与a＋2b互相垂直，
所以(a－b)·(a＋2b)＝0，
即a2＋a·b－2b2＝0.
又因为|a|＝，|b|＝1，
所以a·b＝2b2－a2＝2×12－()2＝0，
即a·b＝0.
答案：0
平面向量的数量积运算
　(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
(2)如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
①·；②·.
【解】　(1)(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192.
(2)①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9.
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6.
[变问法]若本例(2)的条件不变，求·.
解：因为＝＋，＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝2－2＝9－16＝－7.

向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．0
解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________．
解析：·＝·＝(＋)·＝()2＋·＝a2＋a2 cos 60°＝a2.
答案：a2
向量模的有关计算
　(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)|a＋2b|＝＝
＝
＝ ＝2.
(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos 60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.
【答案】　(1)B　(2)B

求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　
1．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．
解析：由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝2.
因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4.
答案：2　4
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________．
解析：法一：由|a－b|＝1得a2－2a·b＋b2＝1，
所以|a|2－2a·b＋|b|2＝1，
所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.
法二：如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，
所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°，
所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，所以a·b＝，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3，所以|a＋b|＝.
答案：
向量的夹角与垂直
命题角度一：求两向量的夹角
　(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．
【解析】　(1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2
＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，
所以24cos θ＝36＋72－96＝12，
所以cos θ＝.
又因为θ∈，所以θ＝.
(2)设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝.又因为|a|＝2|b|，
所以cos θ＝＝.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
【答案】　(1)　(2)
命题角度二：证明两向量垂直
　已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
【证明】　因为|a＋tb|＝＝＝，
所以当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2
＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb)．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
　(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(　　)
A．－ B．
C．± D．1
(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
【解析】　(1)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
所以12k－18＝0，k＝.
(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，
即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，
而a，b，c为单位向量，
则a2＝b2＝c2＝1，
则49＝9＋λ2＋6λcos ，
即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】　(1)B　(2)－8或5

求向量a与b夹角的思路
(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．　
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
　若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．
解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.
答案：－
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.
2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为(　　)
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B.因为c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
所以2k＝12，所以k＝6.
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
解析：设a与b的夹角θ，则
cos θ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×e
＝－e.
答案：－e
4．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：设向量a与b的夹角为θ.
(1)当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－.
(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，|a＋b|＝.
(3)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b，cos θ＝＝，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°.
[A　基础达标]
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为(　　)
A．30°　　　　　　　　　　 B．60°
C．120° D．150°
解析：选D.如图，与的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　)
A. B.
C．3 D．5
解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
3．(2019·北京市十一中学检测)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．故选C.
5．(2019·广东佛山质检)如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以·＝1××cos 150°＝－.
6．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________．
解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－.
答案：－
7．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos ＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ＝0，所以λ＝－.
答案：－
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
解析：因为·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，所以|b|＝.设向量a，b的夹角为θ，
因为a·b＝，所以|a|·|b|cos θ＝，
所以cos θ＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，
所以|a－b|＝.
10．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e＝－e，
所以cos θ＝－，所以θ＝.
(2)易知a·b＝|a|·|b|cos θ＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
所以λ＝.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：选D.因为2＝·＋·＋·，所以2－·＝·＋·，
所以·(－)＝·(－)，
所以·＝2，所以·(＋)＝0，
所以·＝0，
所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
12．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2，则·＝________．
解析：由＝2，所以＝，＝－，
故·＝(＋)·
＝·(－)
＝·(－)
＝·＋2－2
＝||||cos 120°＋||2－||2＝×2×1×＋×1－×22＝－.
答案：－
14．设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
画出y＝2t2＋15t＋7的图象，如图．
若2t2＋15t＋7<0，
则t∈.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，可得
?
所以所求实数t的取值范围是
∪.
[C　拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0，
由＝2，得＝，＝＝－.
所以·＝·
＝·
＝2－·－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，
所以18－·＝6，
所以·＝36.
设与的夹角为θ，
又·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝.
所以与夹角的余弦值为.