（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．3.1　平面向量基本定理Word版含答案

6．3　平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1　平面向量基本定理
考点
学习目标
核心素养
平面向量基本定理
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义
数学抽象
平面向量基本定理的应用
掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量
数学抽象、数学运算
问题导学
预习教材P25－P27的内容，思考以下问题：
1．基底中两个向量可以共线吗？
2．平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
■名师点拨
(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．
(2)基底{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基底中的向量不能为零向量．(　　)
(2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(　　)
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.　(　　)
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　)
A．2e1，3e2　　　　　　　　　 B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2
答案：B
若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以{a，b}为基底表示＝(　　)
A.(a－b) B.(a＋b)
C.(b－a) D.b＋a
解析：选B.如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝(＋)＝(a＋b)．
平面向量基本定理的理解
　设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
【解析】　①设e1＋e2＝λe1，则无解，
所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，
则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
所以e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．
【答案】　③

对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
[提醒]　一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
1．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　　)
①与；②与；③与；④与.
A．①②　　　　　　　　　　 B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B.寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．
2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　)
A.，　　　　　　　　 B.，
C.， D.，
解析：选B.由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．
用基底表示平面向量
　如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，.
【解】　＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b.
＝＋＋
＝－＋＋＝b－a.
1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a，b}表示.
解：由平面几何知识知BG＝BF，
故＝＋＝＋
＝a＋
＝a＋b－a＝a＋b.
2．[变条件]若将本例中的向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，.
解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a.
＝＋＝2＋
＝－2＋＝－2a＋b.

用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　
1．在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则为(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B.因为＝，＝a，＝b，所以＝a＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
2．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以{a，b}为基底表示，.
解：连接FA，DF.因为AD∥BC，且AD＝BC，
所以＝＝b，所以＝＝b.
因为＝，所以＝b，所以＝－＝a－b.
所以＝＋＝－－＝－b－＝b－a，
＝＋＝－(＋)＝－＝b－a.
平面向量基本定理的应用
　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
【解】　设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得
解得
所以＝，＝，
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
1．[变问法]在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝，
＝＋＝＋＝b＋(－)
＝b＋a－b＝b＋a.
2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
解：如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得
解得
所以＝，＝，
所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.

若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．　
1．设{e1，e2}是平面内的一个基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝______a＋______b.
解析：由，解得
故e1＋e2＝＋＝a＋b.
答案：　－
2．在△ABC中，D为AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝______．
解析：因为＝2，
所以＝＝(－)．
因为在△ACD中，＝＋＝＋(－)＝＋，
所以λ＝.
答案：
1．如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A.(5e1＋3e2)　　　　　　 B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
解析：选A.＝＝(＋)
＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.
3.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.
解：法一：设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又
所以解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
[A　基础达标]
1．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　)
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；
③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②　　　　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．②
解析：选B.由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B.
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝(　　)
A.(e1＋e2) B.(e1－e2)
C.(2e2－e1) D.(e2－e1)
解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
3．已知{e1，e2}为基底，向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
A．2 B．－3
C．－2 D．3
解析：选A.＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)．又A，B，D三点共线，则和是共线向量，所以k＝2.
4．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3 ，则可表示为(　　)
A.＝＋ B.＝＋
C.＝－2＋3  D.＝＋
解析：选B.由＝3 ，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.因为＝4＝r＋s，
所以＝＝(－)＝r＋s，
所以r＝，s＝－.
所以3r＋s＝－＝.
6．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________．
解析：＝－，＝－，因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，所以＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．
解析：因为＝＋＝＋＝＋＋，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
答案：
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
10.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
[B　能力提升]
11．若{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能构成一个基底，则k的值为______．　
解析：当a∥b时，a，b不能构成一个基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
所以6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.
答案：－8
12．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________．
解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝ λ＝－＋λ，
所以则＝.
答案：
13.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a，b表示，则＝______．
解析：因为＝＋，＝＋，
设＝m，＝n，
则＝＋m＝a＋m(b－a)
＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝(1－n)b＋na.
因为a与b不共线，所以?n＝.
所以＝a＋b.
答案：a＋b
14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
解：依题意得＝b－a，＝a＋b，
且＝＝(a－b)＝a－b，
＝＋＝＝(a＋b)，
所以＝＋＝b＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋＝a＋b，
即＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得
[C　拓展探究]
15．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB.
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
解：(1)因为AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b.因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥，设＝λ，则＝－＝λ －＝λ－b＝λa＋b.因为D，O，N三点共线，所以∥，存在实数μ使＝μ，则λa＋b＝μ.由于向量a，b不共线，则解得所以＝，＝，所以AO∶OM＝3∶11.