北师大版高中数学必修4教案：1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
文档属性
| 名称 | 北师大版高中数学必修4教案：1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 49.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-06 14:54:22 | ||
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文档简介
§4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
教学目标
1.知识与技能
借助单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的概念。
2.过程与方法
已将角推广到任意角的情况，把角放在平面直角坐标系中，借助角的终边和单位圆的交点，定义正弦函数、余弦函数，数形结合，立足锐角三角函数的定义，而又有所发展，给出了任意角的正弦函数、余弦函数的定义，有保留有变化。
3.情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对三角函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的三角函数推广到任意角的三角函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
教材分析
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系。又由于正弦函数、余弦函数之间有关系：sin()=cos,因此教材着重研究了正弦函数，而余弦函数由学生类比进行学习.
教学重点
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
教学难点
理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义
教学方法与手段
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数. 启发引导，表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也反映了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学过程
一、创设情境引入
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.
则; .
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
; ; .
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
二、探究新知
1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即；
（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；
（3）叫做的正切(tangent),记做,即.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
例1.求的正、余弦函数值.
例2．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设则.
于是 ,,.
探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
三角函数
定义域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角度制
弧度制
例3．求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角.
解：略
三、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
四、布置作业：
1．课本P23习题1——4A组第1（3）、（4）， 2（2）、（4）、（6）， 3题
2．课本P23A组第4题做在书上
五、反思
在平面直角坐标系中，任意角的正弦函数、余弦函数的定义可以用角终边上的任意一点P(x,y)的横、纵坐标以及OP的长度来定义，而教材上引入单位圆，用角的终边和单位圆的交点P（u，v）, 直接把P的纵坐标v定义为角的正弦函数，把P的横坐标u定义为角余弦函数。我认为后者是前者的特殊情形，因此在课堂上我还是给学生先介绍了第一种定义，而后再给出特殊情形，引入单位圆可使定义简单化，对于后面周期性以及诱导公式的理解会更好一些。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义和初中锐角三角函数的定义背景不同，范围不同，尤其是任意角的正弦函数、余弦函数值不仅可以为正，也可以为负、为零，这些推广都要让学生明白道理。
（设计者：西安市第一中学 ）
教学目标
1.知识与技能
借助单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的概念。
2.过程与方法
已将角推广到任意角的情况，把角放在平面直角坐标系中，借助角的终边和单位圆的交点，定义正弦函数、余弦函数，数形结合，立足锐角三角函数的定义，而又有所发展，给出了任意角的正弦函数、余弦函数的定义，有保留有变化。
3.情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对三角函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的三角函数推广到任意角的三角函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
教材分析
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系。又由于正弦函数、余弦函数之间有关系：sin()=cos,因此教材着重研究了正弦函数，而余弦函数由学生类比进行学习.
教学重点
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
教学难点
理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义
教学方法与手段
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数. 启发引导，表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也反映了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学过程
一、创设情境引入
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.
则; .
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
; ; .
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
二、探究新知
1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即；
（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；
（3）叫做的正切(tangent),记做,即.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
例1.求的正、余弦函数值.
例2．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设则.
于是 ,,.
探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
三角函数
定义域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角度制
弧度制
例3．求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角.
解：略
三、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
四、布置作业：
1．课本P23习题1——4A组第1（3）、（4）， 2（2）、（4）、（6）， 3题
2．课本P23A组第4题做在书上
五、反思
在平面直角坐标系中，任意角的正弦函数、余弦函数的定义可以用角终边上的任意一点P(x,y)的横、纵坐标以及OP的长度来定义，而教材上引入单位圆，用角的终边和单位圆的交点P（u，v）, 直接把P的纵坐标v定义为角的正弦函数，把P的横坐标u定义为角余弦函数。我认为后者是前者的特殊情形，因此在课堂上我还是给学生先介绍了第一种定义，而后再给出特殊情形，引入单位圆可使定义简单化，对于后面周期性以及诱导公式的理解会更好一些。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义和初中锐角三角函数的定义背景不同，范围不同，尤其是任意角的正弦函数、余弦函数值不仅可以为正，也可以为负、为零，这些推广都要让学生明白道理。
（设计者：西安市第一中学 ）