北师大版高中数学必修4教案：1.4.4单位圆的对称性与诱导公式
文档属性
| 名称 | 北师大版高中数学必修4教案：1.4.4单位圆的对称性与诱导公式 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 56.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-06 14:57:34 | ||
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文档简介
§4.4 单位圆的对称性与诱导公式(1)
教学目标
1.知识与技能
使学生掌握180o+，-，180o-，360o－角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2.过程与方法
在利用单位圆的对称性推到诱导公式中，进一步培养用几何方法研究代数问题的意识。
3.情感态度与价值观
通过本节的学习，观察三角函数值得变化规律，认识事物间的内在联系，再一次体会周期性、对称性在研究问题中的价值。
教材分析
借助单位圆的几何直观效果，可以帮助学生学习和理解正弦函数、余弦函数的诱导公式。因为圆关于它的任意一条直径对称，且关于圆心对称，由此，在直角坐标系的单位圆中，当角是锐角时，利用角与关于x轴对称、角与关于轴对称、角与关于原点对称，可以得出相关的结论。
教学重点
正、余弦函数诱导公式的理解和应用
教学难点
正、余弦函数诱导公式的理解和应用
教学方法与手段
在单位圆中利用对称性研究正余弦函数的诱导公式，充分体现了数形结合思想和化归思想，学生容易理解，易于接受，因此可以大胆放手给学生，让学生自己通过探究，发现诱导公式。
教学过程
一、复习引入：
诱导公式一:
（其中）
用弧度制可写成
（其中）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o―360o之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0o―360o内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果
这组公式可以统一概括为的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成，是不对的．
求：的值，利用诱导公式一可马上解得上述值（与）。诱导公式一的作用是将求任意角的三角函数转化到求00～3600角的三角函数。
问：=？
对于求00～3600角的三角函数能不能将它转化到我们熟悉的求锐角三角函数的问题呢？解决数学问题有一种非常重要的思想就是将未知问题转化为已知问题来解决。
二、导入新课：
（一）而就可以看成是，下面就先来解决这种情况的三角函数求值问题。为了使讨论具有一般性，我们假定为任意角，而不限定在锐角范围内。
作图，角的终边与单位圆交于P（x，y）点。
如何表示？可以用坐标表示吗？（单位圆半径为1）由三角函数的定义得：=y，=x。
角的终边与角的终边有什么关系？角的终边的反向延长线与单位圆交于P，，则P点与P，点有什么关系？二者的坐标又有什么关系？P，坐标为（-x，-y），顺便复习点关于原点、坐标轴对称，其坐标之间的关系。由三角函数的定义得：=-y，=-x。
由此我们得到一组公式
用弧度制可表示如下：
说明：这组公式对任意角都成立。
诱导公式二的应用
求，学生解答。
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）
（二）、下面我们来研究任意角与的三角函数值之间的关系。
作图，角的终边与单位圆交于P（x，y）点。角的终边与单位圆交于P，点。
2）角的终边与角的终边有什么关系？P，的坐标如何？它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P′(x，-y)（如图4-5-2）．由三角函数的定义得：=-y，=x。
3）由此我们得到一组公式
说明：同样这组公式对任意角都适用。
以上公式的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P的坐标准确地确定点P′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图1中，点P′与点P关于原点对称，而在图2中，点P′与点P关于x轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P′的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．
进一步可得
这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出，体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．
五组诱导公式可概括为：
+k·360o（k∈Z），-，180o±，360o-的正弦、余弦函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时这些角所在象限的正弦、余弦函数值的符号．
简言之，函数名不变，符号看象限。
这里的 “把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指的正弦、余弦函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明．
三、典例分析：
例1．下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin
分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180o+或（π+），为锐角即可．
解：（1）cos210o=cos(180o+30o)=－cos30o=－；
（2）sin=sin()=－sin=－
例2．求下列各式的值： （1）sin(－)；(2)cos(－60o)－sin(－210o)
分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．
解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；
（2）原式=cos60o+sin(180o+30o)=cos60o－sin30o=－=0
例3．化简
分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．
例4．已知cos(π+)=－ ，<<2π，则sin(2π－)的值是（ ）．
（A） (B) (C)－ (D)±
分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把sin(2π－)化成－sin,再用同角三角函数的平方关系即可．
事实上，已知条件即cos=，于是
sin(2π－)=－sin=－(－)==，因此选A
例5．化简
四、课堂练习：
1．求下式的值：2sin(－1110o) －sin960o+
答案：－2
2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）
（A）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1
答案：C
五、课堂小结
通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性．
六、布置作业：课本21,22页习题1-4 A组第7题(3)、(4)、（5）
第 8题 （1）、（2）、（4）、（5）； B组 第1题
七、教学反思
本节课借助单位圆直观的特点介绍诱导公式，既有助于理解正弦函数、余弦函数的诱导公式，又能更好地反映问题的本质，正所谓图形是看得见的语言。
本节课的教学自始至终强调通过看图观察这些角的终边与单位圆交点坐标的对称性，把关系中最重要、最本质的特征一览无余，学生很好理解。
记忆诱导公式是本节一个很重要的任务，课堂上要引导学生观察公式特点，准确使用。
（设计者：西安市第一中学 ）
教学目标
1.知识与技能
使学生掌握180o+，-，180o-，360o－角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2.过程与方法
在利用单位圆的对称性推到诱导公式中，进一步培养用几何方法研究代数问题的意识。
3.情感态度与价值观
通过本节的学习，观察三角函数值得变化规律，认识事物间的内在联系，再一次体会周期性、对称性在研究问题中的价值。
教材分析
借助单位圆的几何直观效果，可以帮助学生学习和理解正弦函数、余弦函数的诱导公式。因为圆关于它的任意一条直径对称，且关于圆心对称，由此，在直角坐标系的单位圆中，当角是锐角时，利用角与关于x轴对称、角与关于轴对称、角与关于原点对称，可以得出相关的结论。
教学重点
正、余弦函数诱导公式的理解和应用
教学难点
正、余弦函数诱导公式的理解和应用
教学方法与手段
在单位圆中利用对称性研究正余弦函数的诱导公式，充分体现了数形结合思想和化归思想，学生容易理解，易于接受，因此可以大胆放手给学生，让学生自己通过探究，发现诱导公式。
教学过程
一、复习引入：
诱导公式一:
（其中）
用弧度制可写成
（其中）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o―360o之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0o―360o内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果
这组公式可以统一概括为的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成，是不对的．
求：的值，利用诱导公式一可马上解得上述值（与）。诱导公式一的作用是将求任意角的三角函数转化到求00～3600角的三角函数。
问：=？
对于求00～3600角的三角函数能不能将它转化到我们熟悉的求锐角三角函数的问题呢？解决数学问题有一种非常重要的思想就是将未知问题转化为已知问题来解决。
二、导入新课：
（一）而就可以看成是，下面就先来解决这种情况的三角函数求值问题。为了使讨论具有一般性，我们假定为任意角，而不限定在锐角范围内。
作图，角的终边与单位圆交于P（x，y）点。
如何表示？可以用坐标表示吗？（单位圆半径为1）由三角函数的定义得：=y，=x。
角的终边与角的终边有什么关系？角的终边的反向延长线与单位圆交于P，，则P点与P，点有什么关系？二者的坐标又有什么关系？P，坐标为（-x，-y），顺便复习点关于原点、坐标轴对称，其坐标之间的关系。由三角函数的定义得：=-y，=-x。
由此我们得到一组公式
用弧度制可表示如下：
说明：这组公式对任意角都成立。
诱导公式二的应用
求，学生解答。
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）
（二）、下面我们来研究任意角与的三角函数值之间的关系。
作图，角的终边与单位圆交于P（x，y）点。角的终边与单位圆交于P，点。
2）角的终边与角的终边有什么关系？P，的坐标如何？它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P′(x，-y)（如图4-5-2）．由三角函数的定义得：=-y，=x。
3）由此我们得到一组公式
说明：同样这组公式对任意角都适用。
以上公式的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P的坐标准确地确定点P′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图1中，点P′与点P关于原点对称，而在图2中，点P′与点P关于x轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P′的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．
进一步可得
这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出，体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．
五组诱导公式可概括为：
+k·360o（k∈Z），-，180o±，360o-的正弦、余弦函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时这些角所在象限的正弦、余弦函数值的符号．
简言之，函数名不变，符号看象限。
这里的 “把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指的正弦、余弦函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明．
三、典例分析：
例1．下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin
分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180o+或（π+），为锐角即可．
解：（1）cos210o=cos(180o+30o)=－cos30o=－；
（2）sin=sin()=－sin=－
例2．求下列各式的值： （1）sin(－)；(2)cos(－60o)－sin(－210o)
分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．
解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；
（2）原式=cos60o+sin(180o+30o)=cos60o－sin30o=－=0
例3．化简
分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．
例4．已知cos(π+)=－ ，<<2π，则sin(2π－)的值是（ ）．
（A） (B) (C)－ (D)±
分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把sin(2π－)化成－sin,再用同角三角函数的平方关系即可．
事实上，已知条件即cos=，于是
sin(2π－)=－sin=－(－)==，因此选A
例5．化简
四、课堂练习：
1．求下式的值：2sin(－1110o) －sin960o+
答案：－2
2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）
（A）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1
答案：C
五、课堂小结
通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性．
六、布置作业：课本21,22页习题1-4 A组第7题(3)、(4)、（5）
第 8题 （1）、（2）、（4）、（5）； B组 第1题
七、教学反思
本节课借助单位圆直观的特点介绍诱导公式，既有助于理解正弦函数、余弦函数的诱导公式，又能更好地反映问题的本质，正所谓图形是看得见的语言。
本节课的教学自始至终强调通过看图观察这些角的终边与单位圆交点坐标的对称性，把关系中最重要、最本质的特征一览无余，学生很好理解。
记忆诱导公式是本节一个很重要的任务，课堂上要引导学生观察公式特点，准确使用。
（设计者：西安市第一中学 ）