北师大版高中数学必修4教案：1.7正切函数

§7 正切函数
一、教学目标
1.知识与技能
（1）能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义；.
（2）能画出的图像；
（3）掌握正切函数的基本性质.
2.过程与方法
通过正切函数的完整学习，进一步理解和掌握研究三角函数的一般思路和方法，并比较不同函数之间的相同点和不同点.
3.情感、态度与价值观
在正弦函数、余弦函数学习的基础上，通过正切函数的学习，进一步培养学生自主探索的学习习惯和分析问题、解决问题的能力.
二、教材分析
教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图像的方式，利用正切线画出正切函数的图像.根据图像，研究正切函数的性质.在此基础上，继续利用正切函数的图像，得到正切函数的诱导公式.
诱导公式的推导，可以通过单位圆的对称性或函数图像来进行.对于正弦函数、余弦函数的诱导公式，教材是利用单位圆的对称性进行推导的，不过在习题中，要求学生“运用正弦（余弦）函数图像总结正弦（余弦）函数的性质及诱导公式”，让学生从函数图像的角度分析理解诱导公式.对正弦函数、余弦函数诱导公式的学习，为本节的学习作好了知识和方法的铺垫.
三、重点和难点
本节的重点：正切函数的图像和性质.
本节的难点：画正切函数的图像，探索正切函数的诱导公式.
四、教学方法与手段
教学方法：启发、引导、发现、概括、归纳
教学手段：多媒体辅助教学.
五、教学过程
（一）创设情境，揭示课题
教师引出课题前面我们学习了正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的图像与性质，今天我们一起来研究正切函数与性质.首先看正切函数的定义：
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ (α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，
以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数.
（二）探究新知
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等.因此，我们称有向线段AT为角α的正切线.
1.正切函数的图像
（1）首先考虑定义域：
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：
∴的周期为（最小正周期）
（3）因此我们可选择的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”
从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线的渐近线.
2.正切函数的性质
引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：，
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：
（4）奇偶性：奇函数.
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.
教师提问：正切函数在其定义域内是单调函数吗？
（三）巩固深化，发展思维
讨论函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）.
（观察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移单位得到）
解：定义域：.
值域：R.
奇偶性：非奇非偶函数.
单调性：在区间上是增函数.
验证下列诱导公式的正确性.
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）.
例3 若，借助三角函数定义求角的正弦函数值和余弦函数值.
解 因为所以，是第一或第三象限角.
（1）如果是第一象限角，则由可知，角终边上必有一点，所以.
因为 ，所以

（2）如果是第三象限角，则由可知，角终边上必有一点，所以.
因为 ，所以

例4 求的值.
解 原式=
（四）归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不明白的地方，请向老师提出.
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
（五）课后作业
作业：课本40页习题1-7A组第1,2,3（2），（4），5（3）,(4)题
六、教学反思：
本节课，同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.
（设计者：西安市第一中学 ）