北师大版高中数学必修4教案：1.8函数y=Asin（ωxφ）的图像和性质（第3课时）
文档属性
| 名称 | 北师大版高中数学必修4教案：1.8函数y=Asin（ωxφ）的图像和性质（第3课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 48.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-06 15:58:16 | ||
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文档简介
§8.3 函数的图像(第三课时)
一、教学目标：
1.知识与技能：
（1）揭示函数的图像与正弦曲线的变换关系,理解三个参数A、ω、φ对函数图像的影响；
(2)会由函数y＝Asin(ωx＋)的图像讨论其性质；
（3）能解决一些综合性的问题。
2.过程与方法：
通过具体问题解决，使学生能正确作出函数y＝Asin(ωx＋)的图像；通过对函数的性质的研究，体会整体化归的思想。
3.情感态度、价值观：
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
二、教材分析：
函数y＝Asin(ωx＋)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关，因此研究函数y＝Asin(ωx＋)的性质问题，是三角函数中的重要问题，也是高中数学的重点内容，教材通过两个例题研究函数的最值及单调性问题，本节提供了通过图像分析得出解析式的问题，用以补充教材中B组题的解决方法。
三、教学重点、难点：
重点：函数y＝Asin(ωx＋)的性质研究
难点：根据图像确定A、ω、的值，进一步求函数解析式
四、教学方法与手段：
问题链式教学，通过学生自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结，构建学生自主探究的教学环境。
五、教学过程：
（一）自主探究
问题1：完成下列问题
1、已知函数的图像为C，为了得到函数的图像，只需把C的所有点（ ）
A、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
2、已知函数的图像为C，为了得到函数的图像，只需把C上的所有点（ ）
A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度
3、将正弦曲线上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图像解析式为（ ）
A、 B、
C、 D、
总结提高：（1）如何由的图像得到函数的图像？
（2）如何用五点法作的图像？
（3）对函数图像的影响作用
函数的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T：往复振动一次所需的时间，称为“周期”
f：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
：称为相位，称为“初相”
（二）、探究新课
问题1．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合。
（1）y＝sinx－2 (2)y＝sinx (3)y＝cos(3x＋)
分析：（1）当x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数y＝sinx－2取最大值－1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx取最小值－1，此时函数y＝sinx－2取最小值－3；
（2）设u=x，
当u＝2kπ＋(k∈Z)时，即x=4kπ＋π(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数y＝sinx取最大值；
当u＝2kπ＋(k∈Z)时，即x=4kπ＋3π(k∈Z)时，sinx取最小值-1，此时函数y＝sinx取最小值－；
（3）设u=3x+，
当u＝2kπ(k∈Z)时，即x=kπ-(k∈Z)时，cos(3x＋)取最大值1，此时函数y＝cos(3x＋)取最大值；
当u＝2kπ+π(k∈Z)时，即x=kπ+(k∈Z)时，cos(3x＋)取最小值-1，此时函数y＝cos(3x＋)取最小值-.
问题2．（1）求函数y＝2sin(x－)的递增区间；
（2）求函数y＝cos(4x＋)的递减区间。
分析：（1）设u=x－
因为函数y=sinx的递增区间是[－＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z）
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ（k∈Z）
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ（k∈Z）
所以函数y＝2sin(x－)的递增区间[－＋4kπ，＋4kπ] （k∈Z）
（2）设u=4x＋
因为函数y=cosx的递减区间是[2k(，2k(＋π]（k∈Z）
由2kπ≤4x＋≤π＋2kπ（k∈Z）
得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）
所以函数y＝cos(4x＋)的递增区间[－＋kπ，＋kπ] （k∈Z）
总结：整体考虑的思想，将ωx＋φ作为一个整体，代入正弦曲线（A>0）的单调区间即可求解, ω<0时，先用诱导公式化为正的，再整体考虑。
问题3．函数的最小值是(2，其图像的最高点与最低点横坐标的差是3(，又图像过点(0,1)，求函数解析式。
分析：易知A = 2 ，半周期
∴T = 6( 即 从而
设： 令x = 0 则有
又 ∴
∴所求函数解析式为
问题4. 已知函数y＝Asin(ωx＋) (A>0，||<，ω>0)的图像的一部分如图所示，求函数的解析式．
分析：观察图像可知，A＝2且点(0,1)在图像上，
∴1＝2sin(ω·0＋)，即sin ＝.∵||<，∴＝.又∵π是函数的一个零点，且是图像递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋)．
总结：根据函数y＝Asin(ωx＋)＋k的图像求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
(1)A的确定：根据图像的最高点和最低点，即A＝；
(2)k的确定：根据图像的最高点和最低点，即k＝；
(3)ω的确定：结合图像，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)来确定ω；
(4) 的确定：由函数y＝Asin(ωx＋)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋＝0，x＝－)确定.
（三）、反馈练习：P54 练习3 1、4
（四）、课堂小结：
1.整体考虑的思想：将ωx＋作为一个整体，代入正弦曲线（A>0）的单调区间即可求解, 当ω<0时，先用诱导公式化为正的，再整体考虑。
2.根据函数y＝Asin(ωx＋)＋k的图像求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
(1)A的确定：根据图像的最高点和最低点，即A＝；
(2)k的确定：根据图像的最高点和最低点，即k＝；
(3)ω的确定：结合图像，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)来确定ω；
(4) 的确定：由函数y＝Asin(ωx＋)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋＝0，x＝－)确定.
（五）、作业：P55习题1-8 A组 5、6 B组 1
六、教学反思：
本节是函数y＝Asin(ωx＋)的图像第三课时，在前两节对函数图像进行变换的基础上，通过数形结合、整体考虑的思想进一步研究函数的性质，增加两个关于确定A，ω，的问题，完善了课本例题中未涉及的函数图像逆向思维问题，学生掌握情况比较好。
（设计者:西安市第一中学 ）
一、教学目标：
1.知识与技能：
（1）揭示函数的图像与正弦曲线的变换关系,理解三个参数A、ω、φ对函数图像的影响；
(2)会由函数y＝Asin(ωx＋)的图像讨论其性质；
（3）能解决一些综合性的问题。
2.过程与方法：
通过具体问题解决，使学生能正确作出函数y＝Asin(ωx＋)的图像；通过对函数的性质的研究，体会整体化归的思想。
3.情感态度、价值观：
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
二、教材分析：
函数y＝Asin(ωx＋)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关，因此研究函数y＝Asin(ωx＋)的性质问题，是三角函数中的重要问题，也是高中数学的重点内容，教材通过两个例题研究函数的最值及单调性问题，本节提供了通过图像分析得出解析式的问题，用以补充教材中B组题的解决方法。
三、教学重点、难点：
重点：函数y＝Asin(ωx＋)的性质研究
难点：根据图像确定A、ω、的值，进一步求函数解析式
四、教学方法与手段：
问题链式教学，通过学生自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结，构建学生自主探究的教学环境。
五、教学过程：
（一）自主探究
问题1：完成下列问题
1、已知函数的图像为C，为了得到函数的图像，只需把C的所有点（ ）
A、横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C、纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
2、已知函数的图像为C，为了得到函数的图像，只需把C上的所有点（ ）
A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度
3、将正弦曲线上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图像解析式为（ ）
A、 B、
C、 D、
总结提高：（1）如何由的图像得到函数的图像？
（2）如何用五点法作的图像？
（3）对函数图像的影响作用
函数的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T：往复振动一次所需的时间，称为“周期”
f：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
：称为相位，称为“初相”
（二）、探究新课
问题1．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合。
（1）y＝sinx－2 (2)y＝sinx (3)y＝cos(3x＋)
分析：（1）当x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数y＝sinx－2取最大值－1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx取最小值－1，此时函数y＝sinx－2取最小值－3；
（2）设u=x，
当u＝2kπ＋(k∈Z)时，即x=4kπ＋π(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数y＝sinx取最大值；
当u＝2kπ＋(k∈Z)时，即x=4kπ＋3π(k∈Z)时，sinx取最小值-1，此时函数y＝sinx取最小值－；
（3）设u=3x+，
当u＝2kπ(k∈Z)时，即x=kπ-(k∈Z)时，cos(3x＋)取最大值1，此时函数y＝cos(3x＋)取最大值；
当u＝2kπ+π(k∈Z)时，即x=kπ+(k∈Z)时，cos(3x＋)取最小值-1，此时函数y＝cos(3x＋)取最小值-.
问题2．（1）求函数y＝2sin(x－)的递增区间；
（2）求函数y＝cos(4x＋)的递减区间。
分析：（1）设u=x－
因为函数y=sinx的递增区间是[－＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z）
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ（k∈Z）
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ（k∈Z）
所以函数y＝2sin(x－)的递增区间[－＋4kπ，＋4kπ] （k∈Z）
（2）设u=4x＋
因为函数y=cosx的递减区间是[2k(，2k(＋π]（k∈Z）
由2kπ≤4x＋≤π＋2kπ（k∈Z）
得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）
所以函数y＝cos(4x＋)的递增区间[－＋kπ，＋kπ] （k∈Z）
总结：整体考虑的思想，将ωx＋φ作为一个整体，代入正弦曲线（A>0）的单调区间即可求解, ω<0时，先用诱导公式化为正的，再整体考虑。
问题3．函数的最小值是(2，其图像的最高点与最低点横坐标的差是3(，又图像过点(0,1)，求函数解析式。
分析：易知A = 2 ，半周期
∴T = 6( 即 从而
设： 令x = 0 则有
又 ∴
∴所求函数解析式为
问题4. 已知函数y＝Asin(ωx＋) (A>0，||<，ω>0)的图像的一部分如图所示，求函数的解析式．
分析：观察图像可知，A＝2且点(0,1)在图像上，
∴1＝2sin(ω·0＋)，即sin ＝.∵||<，∴＝.又∵π是函数的一个零点，且是图像递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋)．
总结：根据函数y＝Asin(ωx＋)＋k的图像求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
(1)A的确定：根据图像的最高点和最低点，即A＝；
(2)k的确定：根据图像的最高点和最低点，即k＝；
(3)ω的确定：结合图像，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)来确定ω；
(4) 的确定：由函数y＝Asin(ωx＋)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋＝0，x＝－)确定.
（三）、反馈练习：P54 练习3 1、4
（四）、课堂小结：
1.整体考虑的思想：将ωx＋作为一个整体，代入正弦曲线（A>0）的单调区间即可求解, 当ω<0时，先用诱导公式化为正的，再整体考虑。
2.根据函数y＝Asin(ωx＋)＋k的图像求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
(1)A的确定：根据图像的最高点和最低点，即A＝；
(2)k的确定：根据图像的最高点和最低点，即k＝；
(3)ω的确定：结合图像，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)来确定ω；
(4) 的确定：由函数y＝Asin(ωx＋)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋＝0，x＝－)确定.
（五）、作业：P55习题1-8 A组 5、6 B组 1
六、教学反思：
本节是函数y＝Asin(ωx＋)的图像第三课时，在前两节对函数图像进行变换的基础上，通过数形结合、整体考虑的思想进一步研究函数的性质，增加两个关于确定A，ω，的问题，完善了课本例题中未涉及的函数图像逆向思维问题，学生掌握情况比较好。
（设计者:西安市第一中学 ）