北师大版高中数学必修4教案：1.9.1三角函数的简单应用

§9.1 三角函数的简单应用（第一课时）
一、教学目标
1．知识与技能：通过分析实际问题建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．
2．过程与方法：经历由实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过程，感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．
??3．情感态度、价值观：培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力以及运用信息技术手段解决实际问题的能力，增强学生的应用意识．
二、教材分析
教材中设置了1个水车问题来介绍三角函数的简单应用．根据问题情境建立精确的三角函数模型解决问题，使学生初步掌握建立解析式的方法．
教科书《三角函数》一章专门设置“三角函数的简单应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例题的教学，使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程，掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．
三、重、难点：
重点是：用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题；从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．
??难点是：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．
四、教学方法与手段
通过数学建模的过程，使学生在观察、分析、探究、归纳、概括等思维活动中获取新知，这不仅可以提高学生的思维能力，培养学生运用信息技术手段解决实际问题的能力，同时也可以增强学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成．
五、教学过程
?（一）问题引入
同学们，我们已经学过三角函数的图像与性质，今天我们研究如何建立和应用三角函数模型解决实际问题．
我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型. 在这一节. 我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.
问题1：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin(t＋)，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
分析：　(1)因为f(t)＝10－2sin(t＋)，
又0≤t<24，所以≤t＋<，
－1≤sin(t＋)≤1.
当t＝2时，sin(t＋)＝1；
当t＝14时，sin(t＋)＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin(t＋)，
故有10－2sin(t＋)>11，
即sin(t＋)<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，
即10设计意图：　本题属三角函数的简单应用，通常的解决方法：转化为y＝sin x，y＝cos x等函数解决图像、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．
问题2 水车问题
水车一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图3—4 是一个水车工作示意图，它的直径为3 m，其中心(即圆心)O 距水面1.2 m，如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是min，在水车轮边缘上取一点P，点P距水面的高度为h(m)．
（1）求 h 与时间t 的函数解析式，并作出这个函数的简图.
（2）讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化，若水车转速加快或减慢，函数式中的参数又会受到怎样的影响?
分析：不妨设水面的高度为0．当P点旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值. 显然，h 与t 的函数关系是周期函数的关系.
如图3-4，设水车的半径为R，R=1.5 m；水车中心到水面的距离为b,b=1.2 m；
∠QOP 为α(；水车旋转一圈所需的时间为T；由已知T= (min) =80(s ) ，单位时间旋转的角度(rad)为ω==rad/ s
为了方便，不妨从P点位于水车轮与水面交点Q时开始计时t=0．在t 时刻水车转动的角度为α，如图3-4 所示，∠QOP=α=ωt =t(rad ).
过点P向水面作垂线，交水面于M点，PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线，交PM于N点，∠QOP为φ，从图中不难看出：
h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ()+b． ①
从图中可以看出：sinφ=，所以φ=53.1? =0.295πrad
把前面已经确定了的参数α，φ，R和b代入①式，我们就可以得到
h=1.5sin(t?0.295π)+1.2（m）②
这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式．
因为当P点旋转到53.1°时．P点到水面的距离恰好是1.2(m)，此时，
t ((≈11.8（s），
故可列表、描点，画出函数在区间[11.8，91.8]上的简图(如图3-5)：
这是一个由三角函数确定的数学模型．
表3—1
T
11.8
31.8
51.8
71.8
91.8
h=1.5sin(t?0.295π)+1.2
1.2
2.7
1.2
-0.3
1.2
如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心o与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化,水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大,如果水车轮转速加快，将使周期T减小,转速减慢则使周期T增大.
面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，就像这个例题.把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.??
??（三）练习：课本P58练习
（四）小结
??1.三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图像，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图像，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.
??2. 在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等数学思想方法．
?? 【设计意图】让学生通过思考和回答问题，归纳总结建立三角函数等数学模型解决实际问题的基本步骤，理清解决实际问题的基本思路，渗透数学思想方法，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．
? （五）作业
??课本P59习题1-9 3
六、教学反思：
水车问题是三角函数的重要模型，首先让学生弄清水车转动时它的直径、旋转一圈的时间和中心距水面的距离与函数中常数之间的对应关系；然后从特殊情况出发，让学生考虑当水车中心刚好在水面时其对应的函数解析式；最后再考虑本题需要建立的函数关系式，这个函数模型解读了三角函数在现实生活中的重要应用价值。因此在教学时，应重视审题环节，通过有针对性的引导，让学生认真阅读，抓住关键的词和句子，弄清题意；注意帮助学生在分析问题中提取其中的数量关系；引导学生从“形”的特征发现各个量之间的关系及他们的变化规律；同时注意指导学生根据问题的实际意义对问题的解进行具体的分析．
（设计者:西安市第一中学 ）