2018-2019学年安徽省六安市七校联考九年级（上）期末数学试卷解析版

2018-2019学年安徽省六安市七校联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题．（每小题4分，共40分）
1．（4分）在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC：CA：AB＝5：12：13，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（　　）
A．1：4 B．1： C．：1 D．4：1
3．（4分）抛物线y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2+4x+3 B．y＝x2+4x+5 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2﹣4x﹣5
4．（4分）如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（　　）

A．AO?CO＝BO?DO B．
C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
5．（4分）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AB2＝AC?BD B．AB?AD＝BD?BC
C．AB2＝BC?BD D．AB?AD＝BD?CD
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中不一定成立的是（　　）
A．tanA＝ B．sin2A+sin2B＝1
C．sin2A+cos2A＝1 D．sinA＝sinB
7．（4分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于点M，那么＝（　　）

A． B． C． D．
8．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE＝x，DF＝y，则y是x的函数，函数关系式是（　　）

A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝x2﹣x+1 D．y＝x2﹣x﹣1
10．（4分）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　）

A．0.618 B． C． D．2
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）已知∠A为锐角，sin（90°﹣A）＝，则cosA＝　 　．
12．（5分）已知，则＝　 　．
13．（5分）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝　 　度．

14．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过　 　秒四边形APQC的面积最小．

三、解答题（90分）
15．（8分）计算：cos230°+sin245°﹣tan60°?tan30°
16．（8分）如图，某飞机于空中A处测得目标C，此时高度AC＝1200米，从飞机上看到指挥所B的俯角为30°，求飞机A与指挥所B之间的距离．

17．（8分）如图，以点O为位似中心，在网格内将△ABC放大2倍得到△A′B′C′，若A点坐标为（﹣1，1）．请写出A′点的坐标．

18．（8分）已知抛物线，则：
（1）x取何值时，y随x增大而减小？
（2）x取何值时，抛物线在x轴上方？
19．（10分）阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的离笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．

20．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx﹣2的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A点，与x轴、y轴交于C、D两点，过A作AB垂直于x轴于B点．已知AB＝1，BC＝2．
（1）求一次函数y1＝kx﹣2和反比例函数y2＝（x＞0）的表达式；
（2）观察图象：当x＞0时，比较y1、y2的大小．

21．（12分）如图，在一笔直的海岸线L上有A、B两个观测点，A在B的正东方向，AB＝2km．有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°的方向，从B处测得小船在北偏东45°方向．
（1）求P点到海岸线l的距离．
（2）小船从点P处沿射线AP的方向继续行驶，求小船到B处的最短距离．

22．（12分）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上）．
（1）若△CEF与△ABC相似，①当AC＝BC＝2时，AD的长为　 　．②AC＝3，BC＝4时，AD的长为　 　．
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．



2018-2019学年安徽省六安市七校联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（每小题4分，共40分）
1．【解答】解：由△ABC三边满足BC：CA：AB＝5：12：13，
可设BC＝5k，CA＝12k，AB＝13k，
∵BC2+CA2＝（5k）2+（12k）2＝25k2+144k2＝169k2，AB2＝（13k）2＝169k2，
∴BC2+CA2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°，
则cosB＝＝＝．
故选：C．
2．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，
∴这两个相似三角形的相似比是1：，
∴它们的周长比是1：．
故选：B．
3．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）．可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x+2）2﹣1，化成一般形式得：y＝x2+4x+3．故选A．
4．【解答】解：A、能判定．利用两边成比例夹角相等．
B、不能判定．
C、能判定．两角对应相等的两个三角形相似．
D、能判定．两角对应相等的两个三角形相似．
故选：B．
5．【解答】解：∵∠BAD＝∠C，
而∠ABD＝∠CBA，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB：BC＝BD：AB，
∴AB2＝BC?BD．
故选：C．
6．【解答】解：根据同角的三角函数的关系：tanA＝，sin2A+cos2A＝1，sinB＝sin（90°﹣∠A）＝cosB，可知只有D不正确．
故选：D．
7．【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DM∥BC，
∴∠MDC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
∵DM∥BC，
∴＝＝，
故选：A．
8．【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜﹣1或x＞5，
故选：D．
9．【解答】解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE＝∠FEC．
∴△ABE∽△ECF
那么AB：EC＝BE：CF，
∵AB＝1，BE＝x，EC＝1﹣x，CF＝1﹣y．
∴AB?CF＝EC?BE，
即1×（1﹣y）＝（1﹣x）x．
化简得：y＝x2﹣x+1．
故选：C．
10．【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
∴AB：BF＝AD：AB，
∴AD?BF＝AB?AB，
又∵BF＝AD，
∴AD2＝AB2，
∴＝．
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．【解答】解：∵sin（90°﹣A）＝，
∴90°﹣∠A＝60°，
∴∠A＝30°，
则cosA＝．
故答案为：．
12．【解答】解：设．
则根据比例的性质，得
a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴
＝
＝；
故答案为：．
13．【解答】解：∵BC＝1，AB＝，BD＝2
∴＝＝，＝，
∴＝，
又∠ABD＝∠CBA，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠ABC＝∠3，
∴∠2+∠3＝∠1＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°．
故答案为：90．
14．【解答】解：设运动时间为t秒时（0≤t≤6），四边形APQC的面积为S，
∵PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴S△BPQ＝PB?BQ＝（12﹣2t）?4t＝24t﹣4t2，
∴S＝S△ABC﹣S△BPQ＝AB?BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144，
∵S＝4t2﹣24t+144＝4（t﹣3）2+108，
∴经过3秒四边形APQC的面积最小，
故答案为3．
三、解答题（90分）
15．【解答】解：原式＝（）2+（）2﹣?
＝+﹣1
＝．
16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2400，
答：机A与指挥所B之间的距离为2400米．
17．【解答】解：∵A（﹣1，1）以原点O为位似中心将△ABC放大2倍，
∴点A对应的点A′的坐标是：（﹣1×2，1×2）或[﹣1×（﹣2），1×（﹣2）]
即（﹣2，2）或（2，﹣2）．
18．【解答】解：（1）∵，
∴抛物线对称轴是直线x＝＝﹣1，开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小；

（2）当y＝0时，即﹣x2﹣x+4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣4，
∵抛物线开口向下，
∴当﹣4＜x＜2时，抛物线在x轴上方．
19．【解答】解：（1）由题意可得，
S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，
∵，
解得，6≤x＜16，
即S与x之间的函数关系式是S＝﹣2x2+32x（6≤x＜16）；

（2）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
∴当x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．
20．【解答】解：（1）对于一次函数y＝kx﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，即D（0，﹣2），
∴OD＝2，
∵AB⊥x轴于B，
∴，
∵AB＝1，BC＝2，
∴OC＝4，OB＝6，
∴C（4，0），A（6，1）
将C点坐标代入y＝kx﹣2得4k﹣2＝0，
∴k＝，
∴一次函数解析式为y＝x﹣2；
将A点坐标代入反比例函数解析式得m＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）由函数图象可知：
当0＜x＜6时，y1＜y2；
当x＝6时，y1＝y2；
当x＞6时，y1＞y2；
21．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，
设PC＝xkm，
在Rt△BCP中，∠PBC＝45°，
∴BC＝PC＝x，
在Rt△APC中，tan∠PAC＝，
∴AC＝＝x，
由题意得，x+x＝2，
解得，x＝﹣1，
答：P点到海岸线l的距离为（﹣1）km；
（2）作BD⊥AP交AP的延长线于D，
在Rt△ADB中，∠DAB＝30°，
∴BD＝AB＝1，
答：小船到B处的最短距离为1km．


22．【解答】解：（1）若△CEF与△ABC相似．
当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如图1所示．
此时D为AB边中点，AD＝AC＝；
故答案为：；

②若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF＝3：4，如图1所示．
∵CE：CF＝AC：BC，
∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝，
∴AD＝AC?cosA＝3×＝1.8；
②若CF：CE＝3：4，如图2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF＝∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD＝90°，
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴AD＝CD．
同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，
∴D点为AB的中点，
∴AD＝AB＝×5＝2.5．
综上所述，AD的长为1.8或2.5．
故答案为：1.8或2.5．

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下：
如答图2所示，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD＝DB＝AB，
∴∠DCB＝∠B．
由折叠性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，
∴∠DCB+∠CFE＝90°，
∵∠B+∠A＝90°，
∴∠CFE＝∠A，
又∵∠ACB＝∠ACB，
∴△CEF∽△CBA．


23．【解答】方法一：
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA＝PB，
∴BC＝PC+PB＝PC+PA
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．

（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：
MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：
m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：
m2+4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：
m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．
方法二：
（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．

（2）连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB＝PA，
∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．

（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±，
（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，
经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．

追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．
（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，
∴∠GHO＝∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2＝GO?GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴lAC：y＝3x+3，H（﹣，），
∵H为OO′的中点，
∴O′（﹣，），
∵D（1，4），
∴lO′D：y＝x+，lAC：y＝3x+3，
∴x＝﹣，y＝，
∴Q（﹣，）．