(共24张PPT)
第十八章
平行四边形
角特殊化
问题1 我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些性质？
平行四边形的性质
矩形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形
对边相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
对角线把矩形分成四个
面积相等的等腰三角形
边
角
对角线
其它
问题2 平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特
殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
你能举出生活中的菱形的实际例子吗？
日常生活中具有菱形形象的例子
菱形铁丝网
菱形衣帽架
带菱形图案的衣服
菱形门窗
菱形窗纸
足球场上的菱形中场站位
如何利用折纸、剪纸的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？
问题3 菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．类似于矩形，菱形是否也具有一般平行四边形不具有的特殊性质？如果有，是什么？
对边相等
四个角都是直角
对角线互相
平分且相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
平行四边形的性质
矩形的性质
菱形的性质
对边相等
对角相等
对角线互相平分
比一比，猜一猜，填写下表（对照刚才的剪纸）：
菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线。
问题4 你能证明上述猜想吗？
菱形的性质定理：
菱形的四条边相等；
菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．
已知：如图,四边ABCD是菱形
求证：AB=BC=CD=AD
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴
AB=CD
AD=BC
(平行四边形的两组对边分别相等）
∵
AB=BC（菱形的定义）
∴
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形的性质1：菱形的四条边都相等.
已知:如图，四边形ABCD是菱形.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
O
AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
求证:
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB(菱形的定义)，
OD=OB
（平行四边形的对角线互相平分），
∴
AC
⊥
DB
，AC平分∠DAB（三线合一）.
同理：
AC平分∠DCB
；DB平分∠ADC和∠ABC.
A
B
C
D
O
例3
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，
∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.1m2）
解：∵
花坛ABCD是菱形
∴
AC⊥BD,
∠ABO
=
∠ABC
=
×60°=30°
在Rt△OAB中，AO=
AB=
×20=10(m)
BO=
≈
17.32（m）
∴
花坛的两条小路长
AC
=
2AO
=
20
(m),
BD
=
2BO
≈34.64(m)
花坛的面积
=
AC·BD≈346.4
(
m2
)
你有什么发现？
1、四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.
C
B
D
A
O
练习
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC，OB=OD,
AC⊥BD.
∵Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2,AB=5cm，AO=4cm,
∴OB=3cm.
∴BD=2OB=6cm,
AC=2OA=8cm.
C
B
D
A
O
2、菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
∴
C菱形ABCD=4×5=20
解：∵四边形ABCD是菱形，
且BD=6，AC=8
∴AC⊥BD，AO=
AC=4，BO=
BD=3.
∴AB=
=5.
C
B
D
A
O
菱形的
两条对角线互相平分
菱形的对边平行
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的对角相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
菱形是轴对称图形
小结
C
B
D
A
O(共15张PPT)
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件？
菱形的
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
？
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考
还有其他的判定方法吗？
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O
，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
求证：四边都相等的四边形是菱形．
定理2：四边都相等的四边形是菱形．
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD
,
BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
？
菱形的
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
探索
如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？请说明理由．
例4
如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵
OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴
AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
练习1
如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C，连接BC，CD．得到的四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
练习2
如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH.求证：四边形EFGH是菱形.
H
G
F
E
D
C
B
A
思路点拨：
方法一：由中点联想到连接矩形对角线BD，AC，可得AC=BD.利用三角形中位线等于第三边的一半，证明EF=FG=GH=EH.根据判定定理，所以四边形EFGH是菱形.
方法二：通过证明图中四个直角三角形全等，得到EF=FG=GH=EH.
谢
谢
观
看！
