(共25张PPT)
第十八章
平行四边形
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形用“
”
表示，如图，平行四边形ABCD
记作
ABCD
(
要注意字母顺序).
1.定义:
A
B
D
C
语言表述：
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
问题：下面这些图形中，哪些是平行四边形？
平行四边形有：（3）（4）（5）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
A
B
C
D
活动1
请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗
A
B
C
D
测得AB=DC，AD=BC.
活动2
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与
∠D之间的数量关系吗
A
B
C
D
A
B
C
D
测得∠A
=∠C，∠B
=∠D.
猜想
平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
两组对边及两组对角分别相等.
怎样证明这个猜想呢？
证一证
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB
∥
CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形ABCD是平行四边形.求证:AD=BC,
AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴
△ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
连接平行四边形的对角线，是常作的辅助线，它构造出两个全等的三角形，从而将四边形问题转化为熟悉的三角形问题.充分体现了由未知转化为已知、由繁化简的数学思想.
思考
不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB
∥
CD,
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
活动总结：平行四边形的性质
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的邻角互补．
（1）平行四边形的对边相等；
例1
如图
，在
ABCD
中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证AE=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
又
∠AED=∠CFB
=
90。，
∴△ADE≌△CBF.
∴
AE=CF.
证明：
距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离，点到直线的距离.在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离.
如图，a
//
b，c
//
d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
如图，a//b，A是a上的任意点，AB
⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离。
练习
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=______
，∠C=______
，
∠D=______.
50°
130°
50°
16
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长=
______.
2.剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
解：AD和BC的长度相等.
理由如下：由题意知AB//CD,AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC.(共13张PPT)
第十八章
平行四边形
探究：
如图，已知
ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？
结论：
OA=OC，OB=OD.
已知：如图,□
ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD=BC，AD∥BC,
∴
∠1=∠2，∠3=∠4,
∴
△AOD≌△COB（ASA）,
∴
OA=OC，OB=OD.
平行四边形的又一个性质：
平行四边形的对角线互相平分．
问题：
已知
中，AC，BD相交于O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？请用多种方法加以验证.
□
ABCD
图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，
△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA
．
有如下线段相等：OA=OC，OB=OD，AD=BC，AB=DC，证明中用到“AAS”“ASA”．
例2
如图，在
中，AB=10，AD=8，AC⊥
BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及
的
面积．
□
ABCD
□
ABCD
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10．
∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．
根据勾股定理，AC=BC=
.
又OA=OC，
练习
1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为
（ ）
A.26
B.34
C.40
D.52
B
2.如图，
ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD,
OD=OB,
∴OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
思考
改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立么？
同上易证明OE=OF还成立.
