(共16张PPT)
第十八章
平行四边形
思考
我们学行四边形的哪些性质？
你能写出这些性质的逆命题吗？
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分
说：平行四边形性质的逆命题
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形
猜：这些逆命题可否成为平行四边形的判定方法？
下面我们以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明。
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形
.
A
B
D
C
证明：连结AC
AC=CA(公共边)
∴△ABC
≌
△CDA
(SSS)
AD=BC(已知)
AB=CD(已知)
在△ABC
和△CDA中
∴AD∥BC
，
AB∥DC
∴∠1=∠2，
∠3=∠4
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AD=BC，AB=DC
∴四边形ABCD是平行四边形
用几何语言表示下：
A
B
D
C
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，
∠B=∠D
，求证：四边形ABCD是平行四边形
.
A
B
D
C
证明：
∴AB∥DC，
AD∥BC
∠A+∠B+∠C+∠D=360°
在四边形ABCD中
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=∠C，
∠B=∠D
∴2∠A+2∠D=360°，2∠A+2∠B=360°
∴∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°
A
B
D
C
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
用几何语言表示：
A
B
D
C
已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形.
OA=OC
证明：
OB=OD
∠AOD=∠COD
∵在△AOD
、
△BOC中
∴△ADO
≌△CBO
∴
AD=CB
同理可证AB=DC
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
∴四边形ABCD是平行四边形
用法：∵
OA＝OC
OB=OD
归纳
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
平行四边形有哪些判定定理？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
平行四边形的性质定理：
平行四边形的两组对边分别平行；
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分
例3
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，
求证:
四边形BFDE是平行四边形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，
OB=OD
∵AE=CF
，
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形(共19张PPT)
第十八章
平行四边形
思考
如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
问题1
一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2
三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
思考
如图，DE是△ABC的中位线，
DE与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
D
E
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的
第三边且等于第三边的一半．
∴
DE∥BC，
．
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，
求证：
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC
．
∵AE=EC，DE=EF
，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF
AD
,
∴CF
BD
,
又∵
，
∴DF
BC
．
∴
DE∥BC，
．
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DE∥BC，DE=
BC．
三角形中位线定理：
符号语言：
归纳总结
A
B
C
D
E
F
重要发现：
中位线DE、EF、DF把△ABC
分成四个全等的三角形；有三
组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
BFED和CFDE，四边形ADFE
和DFCE.
由此你知道怎样分蛋糕了吗
例
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
分析：
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴
EF∥HG,
EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
归纳
练习
1.
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1）
若DE=5，则BC=
．
（2）
若∠B=65°，则∠ADE=
°．
（3）
若DE+BC=12，则BC=
．
10
65
8
2.如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．
40
N
M
3.已知：如下图，△ABC的周长为a，面积为S，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2
…
C
3
B
3
A
3
C
2
B
2
A
2
C
1
B
1
A
1
C
B
A
第1次连接所得△A1B1C1的周长=____，面积=____；
第2次连接所得△A2B2C2的周长=____，面积=_____；
第3次连接所得△A3B3C3的周长=____，面积=_____；
…
第n次连接所得△AnBnCn的周长=____，
面积=_____．
C
3
B
3
A
3
C
2
B
2
A
2
C
1
B
1
A
1
C
B
A(共13张PPT)
第十八章
平行四边形
回忆平行四边形的判定定理：
平形四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
角：
对角线：
(定义)
(判定定理1)
(判定定理2)
(判定定理3)
如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
（1）∵AB∥CD， ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵AB=CD， ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
AD∥BC
AD=BC
A
B
C
D
或
如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（一定是吗？）
猜测
已知：AB∥CD，AB＝CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证一证
A
B
D
C
证明：连接AC.
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，∴BC=DA
.
又∵AB=
CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
D
C
例4
如图
，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=CD，EB
//FD．
又
∵EB
=
AB
，FD
=
CD，
∴EB
=FD
．
∴四边形EBFD是平行四边形．
练习
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是
（
）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
C
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是_________.
(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段)
AB=CD
A
B
D
C
A
B
C
D
E
F
3.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD
是平行四边形.
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD∥
EF，AD=EF，
EF∥
BC，
EF=BC.
∴AD∥
BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
