(共31张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时
正弦和余弦
第一章
直角三角形的边角关系
1.1
锐角三角函数
知识要点
1.正弦
2.余弦
3.锐角三角函数
新知导入
看一看：观察下图中图形的特点，试着发现它们解决问题的规律。
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.
先测得斜坡的坡脚
(∠A
)为
30°，为使出水口的高度为
35
m，需要准备多长的水管？
30°
在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半
课程讲授
1
正弦
问题1：根据前面的问题，我们知道在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
。那么含45°角的直角三角形呢？
A
B
C
45°
课程讲授
1
正弦
所以Rt△ABC是等腰直角三角形.
A
B
C
45°
AB2=AC2+BC2=2BC2.
在
Rt△ABC
中，∠C=45°，因为∠A=45°，
由勾股定理得
AB=
BC
AB
BC
=
BC
BC
=
课程讲授
归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与
斜边的比都等于
.
1
正弦
课程讲授
问题2：任意画
Rt△ABC
和
Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么
与
有什么关系？你能解释一下吗？
AB
BC
A'B'
B'C'
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
1
正弦
课程讲授
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
所以Rt△ABC
∽Rt△A'B'C'.
因此
B'C'
BC
A'B'
AB
＝
AB
BC
A'B'
B'C'
＝
即
1
正弦
课程讲授
归纳：在直角三角形中，当锐角
A
的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A
的对边与斜边的比也是一个固定值．
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
定义：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，我们把锐角
A
的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
sin
A
.
∠A的对边
斜边
sin
A
=
=
c
a
1
正弦
课程讲授
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，求
sinA
和sinB
的值.
A
B
C
4
3
（1）
A
B
C
13
5
（2）
1
正弦
课程讲授
解：如图(1)，在
Rt△ABC
中，由勾股定理得
因此sinA=
=
AB
BC
5
3
sinB=
=
AB
AC
5
4
如图(2)，在
Rt△ABC
中，由勾股定理得
因此sinA=
=
AB
BC
12
5
sinB=
=
AB
AC
13
12
1
正弦
课程讲授
练一练：在△ABC中，∠C=90°，下列等式成立的是（
）
A.sinA=
B.sinA=
C.sinA=
D.sinA=
B
1
正弦
课程讲授
例2
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，sinA=
，BC
=
3，求
sinB
及
Rt△ABC
的面积.
A
B
C
提示：已知
sinA
及∠A的对边
BC
的长度，可以求出斜边
AB
的长.
然后再利用勾股定理，求出
BC
的长度，进而求出
sinB
及
Rt△ABC
的面积.
1
正弦
课程讲授
练一练：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=9,sinB=
，则AB的长为(
)
A.
B.9
C.18
D.
C
1
正弦
课程讲授
2
余弦
问题1：如图，
△ABC
和
△A'B'C'都是直角三角形，
其中∠A
=∠A'，∠C
=∠C'
=
90°，则
=
成立吗？为什么？
AB
AC
A'B'
A'C'
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
成立
课程讲授
2
余弦
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC
∽Rt△A'B'C'.
∠B＝∠B'，
sinB
=
sinB'，
AB
AC
A'B'
A'C'
＝
即
课程讲授
归纳：在直角三角形中，当锐角
A
的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A
的邻边与斜边的比也是一个固定值．
B
A
C
c
a
b
斜边
邻边
定义：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，我们把锐角
A
的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作
cosA
.
∠A的邻边
斜边
cos
A
=
=
c
b
2
余弦
课程讲授
A
B
C
α
sinB
=
cosA，
看出，对于任意锐角α，有
cos
α
=
sin
(90°－α)
2
余弦
课程讲授
练一练：如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5，BC=3，则cosB的值是（
）
A.
B.
C.
D.
A
2
余弦
课程讲授
3
锐角三角函数
B
A
C
c
a
b
斜边
邻边
对边
∠A的对边
斜边
sin
A
=
=
c
a
∠A的邻边
斜边
cos
A
=
=
c
b
∠A的对边
∠A的斜边
tan
A
=
=
b
a
定义：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，我们把∠A的正弦、余弦和正切，叫作
∠A的锐角三角函数
.
课程讲授
3
锐角三角函数
例
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
sinA=
=
,
AB
BC
5
3
cosA=
=
,
AB
AC
5
4
tanA=
=
.
AB
BC
4
3
因此
课程讲授
3
锐角三角函数
练一练：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（
）
A.sinA=
B.cosA=
C.tanA=
D.tanA=
A
随堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，则sinA的值为（
）
A.
B.
C.
D.
A
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（
）
A.
B.
C.
D.
A
随堂练习
3.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（
）
A.
B.
C.
D.
C
随堂练习
4.在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,则sinA=_______.
3
5.如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（b,4），若sinα=
，则b=_______.
随堂练习
6.如图，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4，求CD的长和sinC的值.
解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AB=5，AD=4，∠ADB=90°，
∵BC=13，
∴CD=BC-BD=10.
∵AD=4，∠ADC=90°，
∴BD=
=3.
∴AC=
=
，
∴sinC=
=
.
AC
AD
随堂练习
7.如图，在△ABC中，∠C=90°,sinA=
,AB=16,求△ABC的周长.
解：在Rt△ABC中，
∠C=90°，AB=16，sinA=
=
,
AB
BC
∴BC=16×
=
,
∴△ABC的周长为8+
+16=24+
.
∴AC=
=
=8,
随堂练习
8.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值.
解：∵MN⊥AB,
∴∠ANM=90°,
∴∠A+∠AMN=90°.
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠B=∠AMN,
∴cosB=cos∠AMN.
在Rt△AMN中，
∴cos∠AMN=
=
,
AM
MN
∴cosB=
.
随堂练习
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25，BC=7.
(1)求AC的长;
(2)求锐角A的正弦值、余弦值和正切值.
解：（1）由勾股定理得
（2）sinA=
=
,
AB
BC
25
7
cosA=
=
,
AB
AC
25
24
tanA=
=
.
AB
BC
24
7
课堂小结
正弦和余弦
正弦
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
∠A的对边
斜边
sin
A
=
=
c
a
余弦
B
A
C
c
a
b
斜边
邻边
∠A的邻边
斜边
cos
A
=
=
c
b
锐角三角函数(共11张PPT)
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第一章
直角三角形的边角关系
第1课时
正切
1.1
锐角三角函数
知识要点
1.正切
新知导入
试一试：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
课程讲授
1
正切
问题1：如图，
△ABC
和
△A'B'C'都是直角三角形，
其中∠A
=∠A'，∠C
=∠C'
=
90°，则
=
成立吗？为什么？
AC
BC
A'C'
B'C'
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
成立
课程讲授
1
正切
A
B
C
α
A'
B'
C'
α
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC
∽Rt△A'B'C'.
A'C'
AC
B'C'
BC
＝
即
AC
BC
A'C'
B'C'
＝
课程讲授
1
正切
归纳：在直角三角形中，当锐角
A
的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A
的对边与邻边的比也是一个固定值．
B
A
C
c
a
b
对边
邻边
定义：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，我们把锐角
A
的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作
tanA
.
∠A的对边
∠A的斜边
tan
A
=
=
b
a
课程讲授
1
正切
练一练：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（
）
A.3
B.
C.
D.
A
随堂练习
1.如图，P（12，a）在反比例函数y=
的图象上，PH⊥x轴于点H，则tan∠POH的值为__________.
x
60
12
5
随堂练习
2.在等腰△ABC中,
AB=AC=13,
BC=10,求tanB.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
易知BD=5，AD=12.
∴tanB=
=
，
BD
AD
随堂练习
3.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，若BC=2，AB=3，求tan∠BCD的值.
解：∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠A.
在Rt△ABC中，
∴tanA=
=
，
AC
BC
∴tan∠BCD=tanA=
.
课堂小结
正切
正切的定义
B
A
C
c
a
b
对边
邻边
∠A的对边
∠A的斜边
tan
A
=
=
b
a
