(共25张PPT)
6
应用一元二次方程
第1课时
1.了解几种特殊图形的面积公式.
2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题.
1.列方程解应用题有哪些步骤
对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握.
前面，我们学习了一元二次方程的解法，现在，我们要学习利用一元二次方程解决实际问题——面积问题.
2.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
3.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
4.梯形的面积公式是什么？
5.菱形的面积公式是什么？
6.平行四边形的面积公式是什么？
7.圆的面积公式是什么？
【例1】要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度
27
21
【解析】这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7.
【例题】
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm
依题意得
解得
左、右边衬的宽度为:
故上、下边衬的宽度为:
解方程得
(以下请自己完成)
方程的哪个根合乎实际
意义 为什么
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm,依题意得
【例2】学校为了美化校园环境，在一块长40m、宽20m的长方形空地上计划新建一块长9m、宽7m的长方形花圃.
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1m2，请你给出你认为合适的三种不同的方案.
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2m2？如果能，
请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
【例题】
【解析】(1)
方案1：长为
m，宽为7m;
方案2：长为16m，宽为4m;
方案3：长=宽=8m;
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面
积不能增加2m2.
由题意得长方形长与宽的和为16m.设长方形花圃的长为xm，则宽为（16-x）m.
x(16-x)=63+2，
x2-16x+65=0，
∴此方程无解.
∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2m2
1．用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
【解析】设这个矩形的长为xcm,则宽为
cm,
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
∴此方程无解.
∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
【跟踪训练】
2.某校为了美化校园,准备在一块长32m,宽20m的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少 使图(1),(2)的草坪面积为540m2.
(1)
(2)
【解析】（1)如图，设道路的宽为xm，则
化简得，
其中的
x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1m.
(1)
则横向的路面面积为
（2）解析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540m2.
解法一、
如图，设道路的宽为xm，
32x
m2,
纵向的路面面积为
20x
m2.
注意：这两个面积的重叠部分是x2,
所列的方程是不是
？
图中的道路面积不是
m2.
(2)
而是从其中减去重叠部分，即应是
m2
所以正确的方程是：
化简得，
其中的
x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：
草坪面积为32×20-100=540
（m2）
答：所求道路的宽为2m.
解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
横向路面:
如图，设路宽为xm，
32xm2
纵向路面面积为:
20xm2
草坪矩形的长（横向）为:
草坪矩形的宽（纵向:）为：
相等关系是：草坪长×草坪宽=540m2
(20-x)m
（32-x)m
即
化简得：
再往下的计算、格式书写与解法一相同.
(2)
1.如图是宽为20m,长为32m的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570m2,问:道路宽为多少米
【解析】设道路宽为xm，
化简得，
其中的
x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1m.
则
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
A
B
C
D
化简得，
答:小路的宽为3
m.
【解析】设小路宽为x
m，则
3.
如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2，
（1）求S与x的函数关系式;
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
【解析】(1)设宽AB为xm，
则BC为(24-3x)m，这时面积
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由(1)可知，-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得
≤x＜8
∴x2=3不合题意，
∴AB=5，即花圃的宽AB为5m
1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应
用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.
2.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所
得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否都符合实际问
题的要求.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
时间是个常数，但对勤奋者来说，是个
“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.
——雷巴柯夫(共14张PPT)
﹡5
一元二次方程的根与系数的关系
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的
能力．
方程
两个根x1、
x2的值
两根的和
两根的积
x1
x2
x1+x2
x1·x2
3x2
-4x-4=0
2x2
+7x-4=0
6x2+7x-3=0
5x2-23x+12=0
2
-4
-2
4
请同学们观察表格
请同学们猜想：
对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根x1、x2，那么x1+x2，
x1·x2与系数a，b，c
的关系.
x1+x2=
x1.x2=
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2
那么x1+x2=
，x1·x2=
如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2
那么
x1+x2=-p
x1·x2=
q
【归纳】
【解析】设方程的另一个根是x1，那么
2x1=
∴x1=
.
又
+2=
答：方程的另一个根是
，k的值是-7.
∴
k=-7
【例1】已知方程
5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一
个根及k的值.
【例题】
x1+x2
=
，x1.x2
=
.
【解析】设方程的两个根分别是x1
、x2那么
【例2】不解方程，求方程2x2+3x-1=0的
两个根的（1）平方和（2）倒数和.
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2
+
x22
∴
x12+x22
=（x1+x2）2
-
2x1.x2
=（
）2-2（
）=
（2）—
+
—
=
———
=
———
=3
x1
1
x1.x2
x1+x2
x2
1
【例题】
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2
（3）2x2+3x=0
（4）3x2=2
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）
（1）3，1
（2）
，
（3）
，0
（4）0，
【跟踪训练】
（1）x2-6x-7=0
-1，7
（2）3x2+5x-2=0
，
（3）2x2-3x+1=0
3，1
（4）x2-4x+1=0
，
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根 （口答）
（√）
（×）
（×）
（×
）
1.（日照·中考）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（
）
A.－3，2
B.
3，-2
C.
2，－3
D.
2，3
【解析】选A，根据根与系数的关系得：
x1+
x2=
-p=2+1=3，
x1·x2=q=2，即p=－3，
q=2.
2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个
根是
，m的值是
.
3.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
（1）（x1+1)(x2+1）
（2）—
+
—
x1
x2
x1
x2
16
4.（珠海·中考）已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2.
【解析】由题意得：
解得m=-4,当m=-4时，
-1+x2=-(-4),
x2=5
所以方程的另一根x2=5.
答：
m=-4，
x2=5.
通过本课时的学习，需要我们：
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际
问题．
认识一位巨人的研究方法，对于科学的进步并不比发现本身更少用处.科学研究的方法经常是极富兴趣的部分.
——拉普拉斯(共31张PPT)
第二章
一元二次方程
复习
定义及一般形式:
1.定义
只含有一个未知数,未知数的最高次数是______的___式方程,叫做一元二次方程。
一般形式:________________
[注意]
定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．
二次
整
ax2+bx+c=o
(a≠o)
2.一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为
、
和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
①
②
③
④
⑤
⑥
；
（
×
）
（×
）
（
×
）
（√）
（×）
（×）
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2
化为一般形式是：___________,
其二次项系数是____,一次项是____,常数项是____.
3、方程（m-2)x|m|
+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则
（
）
A.m=±2
B.m=2
C.m=-2
D.m≠
±2
2x2-3x-1=0
2
-3x
-1
C
解一元二次方程的方法有几种
1．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝
；当b＜0时，方程没有实数根．
2．配方法
(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；
②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
③配方，方程两边同时加上
，
并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根．
3．公式法
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝
_______________________________________.
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
②确定a，b，c的值；
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
4．分解因式法
用分解因式法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程变形为右边是0的形式；
(2)将方程左边分解因式；
(3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程；
(4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．
解下列方程
１(x+2)2=９（用直接开平方法）
2、x2-2x-1
=0（用配方法）
3、
（用公式法）
4、
(用因式分解法）
①
二次项系数化为1；
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。
步骤归纳
选用适当方法解下列一元二次方程
1、
(2x+1)2=64
(
法）
2、
(x-2)2-４(x+１)2=0
(
法）
3、(５x-４)2
-(4-５x)=０
(
法）
4、
x２-４x-10=０
(
法）
5、
３x２-４x-５=０
(
法）
6、
x２＋６x-1=0
(
法）
7、
x２
-x-３=０
(
法）
小结：选择方法的顺序是：
直接开平方法
→分解因式法
→
配方法
→
公式法
分解因式
分解因式
配方
公式
配方
公式
直接开平方
一元二次方程根的判别式
两不相等实根
两相等实根
无实根
一元二次方程
一元二次方程
根的判式是:
判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
1.已知一元二次方程
下列判断正确的是（
）
A.该方程有两个相等的实数根。
B.该方程有两个不相等的实数根。
C.该方程无实数根。
D.该方程根的情况不确定。
2.已知关于x的一元二次方程
有实
数根，则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿
B
3.已知a,b,c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4,且关于x的方程
有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
是一元二次方程
的两个根
，则
不解方程，写出方程
的两根之和
，两根之积
3
-1
1.方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（
）
A.x=5
B.x=5或x=6
C.x=6
D.x=5或x=7
2.若a是方程
的一个根，则代数式
的值是＿＿＿＿
3.
解方程：
一元二次方程
一元二次方程的定义
一元二次方程的解法
一元二次方程的应用
把握住：一个未知数，最高次数是2，
整式方程
一般形式：ax +bx+c=0（a 0）
直接开平方法：
适应于形如（x-k）
=h（h>0）型
配方法：
适应于任何一个一元二次方程
公式法：
适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
1.
审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。
2.
恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。
3.
根据题中的等量关系列出方程。
4.
解方程得出方程的解。
5.
检验看方程的解是否符合题意。
6.
作答注意单位。
列方程解应用题的解题过程。
两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少
如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少
某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少
某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元
小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品
剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行。如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少
(精确到0.01%)
.
A
北
东
●B
某军舰以20节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行,它能侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处的正南方向的B处,
AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰
如果能,最早何时能侦察到 如果不能,请说明理由.
●B
A
北
东
●B
●B
将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个
正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪
(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗
一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.
用列方程的法去解释或解答一些生活中的现象或问题是一种重要的数学方程方法——即方程的思想.
小结(共20张PPT)
第1课时
2
用配方法求解一元二次方程
1．知道开平方运算可以解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；
2．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．
1.如果一个数的平方等于9，则这个数是
，
若一个数的平方等于7，则这个数是
．
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2.平方根的意义
3.用字母表示完全平方公式。
4.用估算法求方程x2-4x+2=0的解，你能设法求出其精确解吗？
±3
±
两个平方根，它们互为相反数
a2±2ab+b2=(a±b)2
如果x2=a（a≥0）,那么x=
（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁
出一个面积为100cm2的正方形，请你帮他想一想
这个正方形的边长应为
；若它的面积为
75cm2，则其边长应为
。
10cm
cm
（2）如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为
64cm2
,则原来的正方形的边长为
cm。若变化后的面
积为48cm2呢？（小组讨论）
（3）你会解下列一元二次方程吗？
x2=5
(x+5)2=5
x2+12x+36=0
5
（4）上节课我们研究梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x的精确解吗 你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里
(小组交流）
将方程转化为（x+m)2=n(n≥0)的形式是解本题的难点，这种方法叫配方法．
1．x2+12x+
=(x+6)2
2．x2-6x+
=(x-3)2
3．x2-4x+
=(x
-
)2
4．x2+8x+
=(x
+
)2
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？
62
32
22
2
42
4
做一做：填上适当的数，使下列等式成立
解方程：x2+8x-9=0．
【解析】把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9
两边都加上42，得
x2+8x＋42=9＋42.
即（x+4）2=25
开平方，得x+4=±5,
即
x+4=5,或x+4=-5.
所以x1=1,x2=-9.
【例题】
将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出它的解，这种方法叫配方法．
【定义】
【规律方法】利用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项：把常数项移到方程的右边;
（2）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
（3）变形：方程左边分解因式,右边合并同类项;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程；
（6）定解：写出原方程的解．
解下列方程:
(1)（常州 中考）
(2)
【解析】(1)移项，得
（2）移项，得
配方，得
配方，得
开平方，得
【跟踪训练】
1.（安徽·中考）若n(n 0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为
．
答案： 2.
2.（眉山 中考）一元二次方程
的解为
____________．
【解析】∵一元二次方程
∴x2=3
∴x=
∴x1=
，x2=－
答案：x1=
，x2=－
3.用配方法解下列方程:
（1）－2x+x2－3=0；
（2）x2+4=－8x
【解析】（1）整理得x2－2x－3=0，
移项，得x2－2x=3，
配方，得x2－2x+（－1）2=3+（－1）2，
即
.
开平方，得
.
∴
，
.
（2）移项，得x2+8x=－4，
配方，得x2+8x+42=－4+42，
即
.开平方，得
.
∴
，
.
4.如图，在一块长和宽分别是16m和12m的长方形耕地上挖两条宽度相等的互相垂直的水渠，使剩余的耕地面积等于原来长方形面积的一半，试求水渠的宽度．
解法1：设水渠的宽为xm，根据题意得，
即x2-28x+96=0,
解得：x1=
4
x2=24（不合题意，舍去）
答：水渠宽为4m．
16-x
12-x
解法2：设水渠的宽为xm，根据题意得，
即x2-28x+96=0,
解得：x1=
4
x2=24（不合题意，舍去）
答：水渠宽为4m．
解法3：设水渠的宽为xm，根据题意得，
即x2-28x+96=0,
解得：x1=
4
x2=24（不合题意，舍去）
答：水渠宽为4m．
1．配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
2．配方法解一元二次方程应注意什么问题？
将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出它的解．
关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方．
患难与困苦是磨炼人格的最高学府．
——苏格拉底(共16张PPT)
第2课时
2
用配方法求解一元二次方程
1．会用配方法熟练地解一元二次方程；
2．知道“配方”是一种数学方法，体会转化的数学思想．
利用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项:把常数项移到方程的右边;
（2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
（3）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（4）求解：解一元一次方程得到一元二次方程的解．
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式．
1．x2+2x+_____=(x+____)2
2．x2-4x+_____=(x-____)2
3．x2+_____+36=(x+____)2
4．x2+10x+___
=(x+____)2
5．x2-x+______=(x-____)2
12
1
(-2)2
2
12x
6
52
5
(-0.5)2
0.5
请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别．
1．x2+6x+8=0
2．3x2+18x+24=0
这两个方程有什么联系？
由此你想到怎样解二次项系数不是1的一元二次方程呢？
【规律方法】如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同时除以二次项系数，这样转化为系数是1的方程就可以利用学过的知识解方程了！
2x2+8x+6=0
3x2+6x-9=0
-5x2+20x+25=0
x2+4x+3=0
x2+2x-3=0
x2-4x-5=0
【例1】解方程3x2+8x－3=0．
分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程．
【解析】两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得：
（方程两边都加上一次项系
数一半的平方）
即：
所以:
【例题】
解方程:x2+12x-15=0
【解析】移项得
x2+12x=15
两边同时加上62，得
x2+12x+62=15+62
即(x+6)2=51
两边开平方，得
所以
【跟踪训练】
【例2】一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中
的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t―5 ,小球
何时能达到10m高？
【解析】根据题意得
15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得
t2-3t=-2
配方，得
即
∴
【例题】
请你描述一下，刚才的实际问题中t有两个值，它们所在时刻小球的运动状态.
1.（上海·中考）已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是(
)
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
答案：选B.
2.（常德·中考）方程x2-5x-6=0的两根为（
）
A.6和-1
B.-6和1
C.-2和-3
D.
2和3
【解析】选A.
移项，得
x2-5x＝6
配方,
得x2-5x＋（-
）2=6＋（-
）2.
即（x-
）2=
x-
=
,
所以
x1=6，x2=-1.
3.（綦江·中考）解方程x2-2x-1=0
【解析】
把常数项移到方程的右边，得
x2-2x＝1
配方得
x2-2x＋（-1）2=1＋（-1）2
即（x-1）2=2
由此可得
x-1=
,
所以
x1=1+
，x2=1-
.
4.解方程:3x2-6x+4=0
【解析】把常数项移到方程的右边，得
3x2
-6x＝-4
二次项的系数化为1，得
x2
-2x＝
两边都加上（-1）2，得
x2-2x＋（-1）2=
＋（-1）2.
即（x-1）2=
因为实数的平方都是非负数，所以无论x取任何实数，
（x-1）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实根.
1．解二次项系数不是1的一元二次方程的思路：
在方程的两边同时除以二次项系数转化为
二次项系数是1的一元二次方程．
2．解一元二次方程的步骤；
3．利用一元二次方程解决实际问题．
人生不是受环境的支配，而是受自己习惯思想的恐吓．
——赫胥黎(共14张PPT)
第1课时
1
认识一元二次方程
第二章
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a 0)
1．理解一元二次方程的概念并掌握其一般形式；
2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并从中体会方程的模型思想．
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗
1.如图，有一块矩形铁皮，长100
cm，宽50
cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
2.观察下面等式：102＋112＋122＝132＋142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：
,
,
,
.
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
根据题意，可得方程：
(x＋1)2
(x＋
2)2
＋
(x＋3)2
(x＋4)2
＝
＋
x2
＋
由上面二个问题我们可以得到二个方程：
（1）(100
－2x)
(50
－
2x)
=
3600
（2）
(x＋1)2
(x＋2)2
＋
(x＋3)2
(x＋4)2
＝
＋
x2
＋
化简上面二个方程可得：
（1）4x2
－300x＋1400
=
0,
（2）x2－8x－20＝0.
上述二个方程有什么共同特点？
1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数是2；
3.整式方程．
观察这二个方程
（1）4x2
－300x＋1400=0,
（2）x2－8x－20＝0.
概念：只含有 的
，并且都可以化
为
的形式，这样的
方程叫做一元二次方程．
一个未知数x
整式方程
ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,
a≠0)
我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
【定义】
下列方程哪些是一元二次方程
为什么
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
(1)7x2－6x＝0
答案:
(1)、(4)．
(3)2x2－
－1＝0
－
1
3x
(4)
＝0
－
y2
2
【跟踪训练】
1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方 程
一般形式
二次项
系数
一次项
系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
3x2－5x＋1＝0
x2+x－8＝0
3
-5
1
1
1
-8
-7
0
4
或7x2-4＝0
7
0
-4
-7x2
+4＝0
2.关于x的方程(k－3)x2
＋2x－1＝0,当k 时，是一元
二次方程．
3.关于x的方程(k2－1)x2
＋2(k－1)x＋2k＋2＝0,当k
时，是一元一次方程．,当k
时，是一
元二次方程．
≠3
≠±1
＝－1
总结：ax2＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式；当a=0,b≠０时称为一元一次方程的一般形式．
4．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4
尺，竖着比门框高2
尺，另一个醉汉让他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
4尺
2尺
x
x－4
x－2
数学化
x2－12
x＋20＝0
1．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
2．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系.
你准备如何去求方程中的未知数呢
凡没有就着泪水吃过面包的人是不懂得人生之味的人．
——歌德(共19张PPT)
第2课时
1
认识一元二次方程
1．经历对方程解的探索过程，理解方程解的意义；
2．会估算一元二次方程的解．
1．回答下列问题：一元二次方程的一般形式是什么？
2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项．
（1）2x2―x+1=0
（2）―x2+1=0
（3）x2―x=0
（4）―x2=0
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)
答案：
二次项系数
一次项系数
常数项
（1）
2
-1
1
（2）
-1
0
1
（3）
1
-1
0
（4）
-1
0
0
3.什么叫方程的解，什么叫解方程？
方程的解就是符合方程的未知数的值．
求方程的解的过程叫做解方程．
这节课我们通过估算的方法探索方程的解的大致范围．
1.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的
长为8
m，宽为5
m．如果地毯中央长方形图案的面积为
18m2，则花边多宽
【解析】设花边的宽为x
m，
根据题意，可得方程
(8－2x)(5－2x)=18
即：2x2-13x+11=0．
对于方程(8－2x)(5－2x)=18，即2x2-13x+11=0
（1）x可能小于0吗 说说你的理由．
（2）x可能大于4吗 可能大于2．5吗 说说你的理由，并与
同伴进行交流．
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗
还有其他求解
方法吗 与同伴进行交流．
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
11
5
0
-4
-7
-9
答案：1m
其他求解方法略
不可能
理由略
不可能
理由略
x
8m
1
10m
7m
6m
【解析】由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙
m
；
如果设梯子底端滑动x
m，那么滑
动后梯子底端距墙 m；
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
6
x＋6
2.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
10m
数学化
在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102，把这个方程化为一般形式为x2+12x-15=0
．
（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗 为什么
（2）底端滑动的距离可能是2m吗 可能是3m吗 为什么
不正确，因为x=1不满足方程．
不正确，因为x=2，3不满足方程．
（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗
（4）x的整数部分是几 十分位部分是几
请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
由此，他猜测1＜x＜1.5．
进一步计算：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1＜x＜1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分位部分是1．
你的结果是怎样的呢？
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据．
【规律方法】上述求解是利用了“两边夹”的思想
五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？
【跟踪训练】
A同学的做法：
设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程：
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
即：x2-8x-20=0．
x
-3
-2
…
10
11
x2-8x-20
13
0
…
0
13
所以x=-2或10.因此这五个连续整数依次为-2，
-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.
B同学的做法：
设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数
依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程：(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2
即：x2-12x=0．
x
-1
0
…
11
12
x2-12x
13
0
…
-11
0
所以x=0或12.因此这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.
1.（天水·中考）若关于x的一元二次方程(m 1)x2+5x+
m2 3m+2=0有一个根是0，则m的值等于（
）
A.1
B.2
C.1或2
D.0
B
2.（鞍山 中考）已知x=2是关于x的方程x2-2a=0的一个解，则2a-1的值为（
）
A.6
B.5
C.4
D.3
【解析】选D.把x= 2代入方程x2-2a=0得，4－2a＝0，∴a＝2.∴2a-1＝3.
3.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系：h=10+2.5t-5t2，那么他最多有多长时间完成规定动作
【解析】根据题意，得10+2.5t-5t2=5,即
2t2-t-2=0列表：
t
0
1
2
3
2t2-t-2
-2
-1
4
13
所以1＜t＜2,进一步列表计算：
所以1.2＜t＜1.3,因此他完成动作的时间最多不超过1.3s．
t
1.1
1.2
1.3
1.4
2t2-t-2
-0.68
-0.32
0.08
0.52
1.学习了估算ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）近似解的方法：“两边夹”；
2.知道了估算的步骤；
（1）先确定大致范围
（2）再取值计算，逐步逼近
3.想一想：有没有更便捷的方法求一元二次方程的解呢？
奋斗就是生活，人生只有前进．
——马克思(共24张PPT)
小结与复习
第二章
一元二次方程
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：
ax2
＋
bx
＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
要点归纳
3.项数和系数：
ax2
＋
bx
＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
一次项：
ax2
一次项系数：a
二次项：
bx
二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：
(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0；
(4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2
+
px
+
q
=
0
（p2
-
4q
≥0）
(x+m)2＝n（n
≥
0）
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0
,
b2
-
4ac≥0)
(x
+
m)
（x
+
n）＝0
各种一元二次方程的解法及使用类型
三、一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
考点一
一元二次方程的定义
例1
若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（
）
A.
m≠1
B.
m=1
C.
m≥1
D.
m≠0
解析
本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是
，一次项系数是
，常数项是
.
4
-2
0
考点讲练
针对训练
考点二
一元二次方程的根的应用
解析
根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
例2
若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m=
.
易错提示
求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
-1
针对训练
2.
一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为
.
-1
【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2
要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯
解析
(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．
考点三
一元二次方程的解法
例3
(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（
）
A.
(x-1)2=6
B.(x+2)2=9
C.
(x+1)2=6
D.(x-2)2=9
(2)
(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．13
B．
15
C．18
D．13或18
A
A
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（
）
A.
16
B.
12
C.
16或12
D.
24
A
针对训练
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
考点四
一元二次方程的根的判别式的应用
例4
已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
）
A.
B.
m<2
C.
m
≥0
D.
m<0
A
易错提示
应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.
解析
根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式
>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得
,故选A.
Δ
5.下列所给方程中，没有实数根的是（
）
A.
x2+x=0
B.
5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0
D.
4x2-5x+2=0
6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是 （写出一个即可）．
D
0
针对训练
考点五
一元二次方程的根与系数的关系
例5
已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝
．
25
解析
根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3.
m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3
×(-3)=25.故填25.
【重要变形】
针对训练
7.
已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（
）
A.
7
B.
-2
C.
D.
A
考点六
一元二次方程的应用
例6
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
市场销售问题
解析
本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润
销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
4
32
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24)
×2=80-2x;
（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得
x1=25,
x2=35.
由题意x≤28,
∴x=25,即售价应当为25元.
【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
128
例7
菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
5（1-x)2=3.2
解得
x1=1.8
(舍去）,
x2=0.2=20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
平均变化率问题
几何问题
例8
如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
图1
解析
本题利用图形的变换——平移，把零散的图形面积集中化，再建立方程并求解.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得
x2-52x+100=0.
解得
x1=50(舍去），x2=2.
答：道路宽为2米.
图2
图1
解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
平移转化
方法总结
8.
(易错题）要在一块长52米，宽48米的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案.
52
48
x
x
图①
小亮设计的方案如图①所示，甬面宽度均为xm,剩下四块绿地面种共2300m2.
小颖设计的方案如图②所示，BC=HE=xm,AB∥CD,HG∥EF,AB
⊥EF,
∠1=60
°.
x
x
G
F
H
E
A
D
(
1
B
C
图②
52
48
针对训练
解:(1)根据小亮的设计方案列方程，得（52-x)(48-x)=2300.
解得x1=2,x2=98(不合题意，舍去）.
答：小亮设计方案中甬路的宽度为2m；
(2)在图2中作AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分别是为I,J.
∵AB
∥CD,
∴四边形ADCB是平行四边形.
由（1）得x=2,
∴AD=BC=HE=2m.
在Rt
△ADI中，
∠ADC=∠1=60
°，
AD=2m,
∴AI=
m,同理HJ=
m.
∴小颖设计方案中四块绿地的总面
积=52
×48-2
×52-2×48+
=2299（m2).
x
x
G
F
H
E
A
D
(
1
B
C
图②
52
48
J
I
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程；
②一元；
③二次.
一般形式：ax2+bx+c=0
(a≠0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式：
Δ=b2-4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、数字问题
课堂小结(共19张PPT)
3
用公式法求解一元二次方程
1.会用求根公式解一元二次方程；
2.通过公式的推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；
2.移项:把常数项移到方程的右边；
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4.开方:根据平方根的意义,方程两边开平方，求出方程的解．
1.你能用配方法解方程
2x2-9x+8=0吗
2.你能用配方法解方程
3x2+2x+1=0吗
∴原方程无解．
【解析】
∵
2.移项:把常数项移到方程的右边；
1.化1:把二次项系数化为1；
你能用配方法解方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗
4.开方:根据平方根的意义,方程两边开平方
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；
5.求解:解关于x的一元一次方程
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
当b2-4ac≥0时，它的根是：
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
当b2-4ac＜0时，原方程无解．
【结论】
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里
a=1,
b=
-7,
c=
-18.
∵b2
-
4ac=(-7)2
-
4×1×(-18)=121﹥0,
即：x1=9,
x2=
-2．
【例题】
【例2】解方程：
【解析】化简为一般式
这里
a=1,
b=
,
c=
3.
∵b2
-
4ac=(
)2
-
4×1×3=0,
即：x1=
x2=
【例3】解方程：（x-2)(1-3x)=6．
这里
a=3,
b=-7,
c=8.
∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0,
∴原方程没有实数根.
【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0
3x2-7x+8=0
【规律方法】用公式法解一元二次方程的一般步骤：
3.代入求根公式:
2.求出
的值，
1.把方程化成一般形式，并写出
的值
4.写出方程的解：
特别注意:当
时无解
1.（口答）填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0
【解析】a=
，b=
，c
=
.
b2-4ac=
=
.
x=
=
.
即
x1=
,
x2=
.
3
-2
52-4×3×(-2)
49
-2
5
2、解下列方程:
(1)
x2-2x－8＝0；
(2)
9x2＋6x＝8；
(3)
(2x-1)(x-2)
=-1;
.
3
2
1
3
2
y
y
=
+
(4)
3.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形的三边长.
B
A
C
4.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少
【解析】设门的高为
x
尺，根据题意得
即，2x2-13.6x-53.76＝0.
解这个方程,得
x1＝9.6;
x2＝-2.8(不合题意,舍去).
∴x-6.8=2.8．
答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
x
x-6.8
10
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2.用公式法解方程应注意的问题是什么？
3.你在解方程的过程中有哪些小技巧？
忍耐之草是苦的，但最终会结出甘甜而柔软的果实．
——辛姆洛克(共20张PPT)
4
用因式分解法求解一元二次方程
1.会用因式分解法解一些一元二次方程；
2.能根据一元二次方程的特点，灵活选择解法．
2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为___________；
1.用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为
___________________的形式；
一般形式
(x+m)2=n（n≥0）
3.
【解析】
【解析】
＞0
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
【解析】设这个数为x，根据题意，
可列方程
x2=3x
∴
x2-3x=0
你能自己解方程吗？
配方法
公式法
解方程：x2－3x=0．
【解析】
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零.
2.
关键是熟练掌握分解因式的知识.
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
1.用分解因式法解方程:(1)5x2=4x.(2)x-2=x(x-2).
【例题】
【规律方法】用分解因式法解一元二次方程的步骤
1.
方程的右边为0，左边可分解因式.
3.
根据“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零”转化为两个一元一次方程.
4.
分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
2.
把左边分解因式.
(1)x2-4=0.
(2)(x+1)2-25=0.
【解析】(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0或x-2=0.
∴x1=-2,
x2=2.
1.你能用分解因式法解下列方程吗？
【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+6=0或x-4=0.
∴x1=-6,
x2=4.
【跟踪训练】
【解析】设这个数为x,根据题意,得
∴x=0或2x-7=0.
2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7)
=0,
1.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
参考答案：
1.
2.
4.
2.用分解因式法解下列方程
3.观察下列各式,也许你能发现些什么.
【解析】通过观察上述的式子，可得以下两个结论：
（1）对于一元二次方程（x-p）（x-q）=0，那么它的两个实数根分别为p，q.
（2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程可以写成（x-p）(x-q)=0的形式.
一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o)的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了,
二次三项式ax2+bx+c的因式分解
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
【归纳】
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0.
【解析】(x+5)(x-5)=0，
∴x+5=0,或x-5=0，
∴x1=
-5,x2=5.
1.分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键是什么？
2.在应用分解因式法时应注意什么问题？
3.分解因式法体现了怎样的数学思想
忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的．
——卢梭
