2020年华师大版九年级上册数学《第22章 一元二次方程》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年华师大版九年级上册数学《第22章 一元二次方程》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 159.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-03 20:33:04 | ||
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文档简介
2020年华师大版九年级上册数学《第22章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．（x2﹣2）?x＝x2 B．ax2+bx+c＝0
C．x+＝5 D．x2＝0
2．方程3x2+1＝6x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和6 B．3和﹣6 C．3和﹣1 D．3和1
3．如果x＝﹣1是方程x2﹣x+k＝0的解，那么常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．方程（x+1）2＝4的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣2
5．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，正确的变形是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝9 D．（x﹣3）2＝8
6．用公式法解方程4y2＝12y+3，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
7．一元二次方程x2＝x的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．无实根
8．若关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则另一个根为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
10．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）2＝2.88 B．2x2＝2.88
C．2（1+x%）2＝2.88 D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88
二．填空题（共8小题）
11．若方程（m+2）x2+5x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
12．把一元二次方程（x﹣3）2＝4化为一般形式为： ．
13．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+＝ ．
14．方程（x﹣1）2＝1的解为 ．
15．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1＝0的解为 ．
16．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是 ，求根公式是 ．
17．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 ．
18．已知关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
21．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
22．解方程：
（1）（x﹣3）2＝25
（2）x2﹣6x+8＝0（配方法）
23．解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
24．用公式法解方程x2﹣x﹣1＝0．
25．解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
26．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（I）当m＝0时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
2020年华师大版九年级上册数学《第22章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．（x2﹣2）?x＝x2 B．ax2+bx+c＝0
C．x+＝5 D．x2＝0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件对四个选项进行逐一分析：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
【解答】解：A、方程（x2﹣2）?x＝x2中的x2可以被抵消，是一元一次方程，故本选项错误；
B、方程ax2+bx+c＝0，须注明a≠0，故本选项错误；
C、方程x+＝5分母含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
D、方程x2＝0含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，故此方程是一元二次方程，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．方程3x2+1＝6x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和6 B．3和﹣6 C．3和﹣1 D．3和1
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：3x2+1＝6x，
3x2+1﹣6x＝0，
3x2﹣6x+1＝0，
二次项系数是3，一次项系数为﹣6，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3．如果x＝﹣1是方程x2﹣x+k＝0的解，那么常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣x+k＝0，得
1+1+k＝0，
解得k＝﹣2．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．方程（x+1）2＝4的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣2
【分析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．
【解答】解：（x+1）2＝4
则x+1＝±2，
解得：x1＝﹣1+2＝1，x2＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
5．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，正确的变形是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝9 D．（x﹣3）2＝8
【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，
∴（x﹣3）2＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．用公式法解方程4y2＝12y+3，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】根据题意可得，此题采用公式法解一元二次方程．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
【解答】解：∵4y2＝12y+3
∴4y2﹣12y﹣3＝0
∴a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3
∴b2﹣4ac＝192
∴y＝＝．故选：C．
【点评】解题时要注意审题，采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
7．一元二次方程x2＝x的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．无实根
【分析】先移项得到x2﹣x＝0，再把方程左边分解因式得到x（x﹣1）＝0，原方程转化为x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．也考查了分式的值为零的条件以及一元二次方程的解．
8．若关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0
【分析】由方程为一元二次方程可得出k≠0，再根据方程有解结合根的判别式可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵方程kx2+3x﹣1＝0为一元二次方程，
∴k≠0．
当k≠0时，∵方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当一元二次方程有解时，根的判别式△≥0．”是解题的关键．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则另一个根为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
【分析】把x＝3代入可求得k的值，再解方程即可．
【解答】∵关于 x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，
∴32﹣3k﹣6＝0，解得k＝1，
∴x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查方程根的定义，由方程根的定义求得k的值是解题的关键．
10．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）2＝2.88 B．2x2＝2.88
C．2（1+x%）2＝2.88 D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88
【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该市旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝2.88．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．若方程（m+2）x2+5x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m+2≠0．据此可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵方程（m+2）x2+5x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0．
∴m≠﹣2．
故答案是：m≠﹣2．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．把一元二次方程（x﹣3）2＝4化为一般形式为： x2﹣6x+5＝0 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程（x﹣3）2＝4的一般形式是x2﹣6x+5＝0．
故答案为x2﹣6x+5＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
13．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+＝ 0 ．
【分析】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1、a2+1＝3a，整体代入计算可得．
【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴a2﹣3a+1＝0，
则a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，
所以原式＝﹣1+1＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义及整体代入思想的运用．
14．方程（x﹣1）2＝1的解为 x1＝2，x2＝0 ．
【分析】利用直接开平方法求解．
【解答】解：x﹣1＝±1，
所以x1＝2，x2＝0．
故答案为x1＝2，x2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程：直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
15．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1＝0的解为 x1＝x2＝5 ．
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的一元二次方程，然后利用直接开平方法解答．
【解答】解：（x﹣4）*1＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）+1＝x2﹣10x+25＝0，即（x﹣5）2＝0，
解得 x1＝x2＝5，
故答案是：x1＝x2＝5．
【点评】本题考查学生读题做题的能力．正确理解这种运算的规则是解题的关键．
16．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是 b2﹣4ac ，求根公式是 ．
【分析】答题时首先要知道根的判别式的含义，△＝b2﹣4ac，知道求根公式．
【解答】解：方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．
【点评】本题主要考查根的判别式△＝b2﹣4ac这一知识点，比较简单．
17．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 x1＝0，x2＝4 ．
【分析】通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程，得
x（x﹣4）＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故答案是：x1＝0，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．已知关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 k＜4且k≠0 ．
【分析】方程有两个不相等实数根，则根的判别式△＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零．
【解答】解：∵a＝k，b＝﹣4，c＝1，
△＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，即k＜4方程有两个不相等的实数根，
则二次项系数不为零k≠0．
∴k＜4且k≠0．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
三．解答题（共8小题）
19．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2﹣1＝0，m+1≠0，解即可；
（2）根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1＝0，m+1≠0，
解得：m＝1，
答：m＝1时，此方程是一元一次方程；
②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，
解得：m≠±1．
一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念和一元一次方程的概念，关键是掌握两种方程的定义．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【分析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0得出m2﹣3m+2＝0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴m的值为1或2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0得出：
x2+5x＝0
x（x+5）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
当m＝1时，5x＝0，
解得x＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．
21．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
【分析】把2+代入方程x2﹣4x+c＝0就得到关于c的方程，就可以解得c的值，进而求出方程式和它的解．
【解答】解：把2+代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2+）2﹣4（2+）+c＝0，
解得c＝1；
所以原方程是x2﹣4x+1＝0，
解得方程的解是x＝2±；
∴另一解是2﹣．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
22．解方程：
（1）（x﹣3）2＝25
（2）x2﹣6x+8＝0（配方法）
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝25，
开方得：x﹣3＝±5，
解得：x1＝8，x2＝﹣2；
（2）x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
x﹣3＝±1，
x1＝4，x2＝2．
【点评】考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
23．解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】移项后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，开方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x﹣2）2＝11，题目比较典型，难度适中．
24．用公式法解方程x2﹣x﹣1＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入求出即可．
【解答】解：x2﹣x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
25．解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
26．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（I）当m＝0时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）令m＝0，用公式法求出一元二次方程的根即可；
（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0．
△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0．
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0
即（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）
＝1﹣4m+4
＝5﹣4m＞0
∵5﹣4m＞0
∴m＜．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac．
一．选择题（共10小题）
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．（x2﹣2）?x＝x2 B．ax2+bx+c＝0
C．x+＝5 D．x2＝0
2．方程3x2+1＝6x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和6 B．3和﹣6 C．3和﹣1 D．3和1
3．如果x＝﹣1是方程x2﹣x+k＝0的解，那么常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．方程（x+1）2＝4的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣2
5．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，正确的变形是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝9 D．（x﹣3）2＝8
6．用公式法解方程4y2＝12y+3，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
7．一元二次方程x2＝x的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．无实根
8．若关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则另一个根为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
10．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）2＝2.88 B．2x2＝2.88
C．2（1+x%）2＝2.88 D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88
二．填空题（共8小题）
11．若方程（m+2）x2+5x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
12．把一元二次方程（x﹣3）2＝4化为一般形式为： ．
13．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+＝ ．
14．方程（x﹣1）2＝1的解为 ．
15．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1＝0的解为 ．
16．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是 ，求根公式是 ．
17．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 ．
18．已知关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
21．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
22．解方程：
（1）（x﹣3）2＝25
（2）x2﹣6x+8＝0（配方法）
23．解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
24．用公式法解方程x2﹣x﹣1＝0．
25．解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
26．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（I）当m＝0时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
2020年华师大版九年级上册数学《第22章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．（x2﹣2）?x＝x2 B．ax2+bx+c＝0
C．x+＝5 D．x2＝0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件对四个选项进行逐一分析：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
【解答】解：A、方程（x2﹣2）?x＝x2中的x2可以被抵消，是一元一次方程，故本选项错误；
B、方程ax2+bx+c＝0，须注明a≠0，故本选项错误；
C、方程x+＝5分母含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
D、方程x2＝0含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，故此方程是一元二次方程，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．方程3x2+1＝6x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和6 B．3和﹣6 C．3和﹣1 D．3和1
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：3x2+1＝6x，
3x2+1﹣6x＝0，
3x2﹣6x+1＝0，
二次项系数是3，一次项系数为﹣6，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3．如果x＝﹣1是方程x2﹣x+k＝0的解，那么常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣x+k＝0，得
1+1+k＝0，
解得k＝﹣2．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．方程（x+1）2＝4的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣2
【分析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．
【解答】解：（x+1）2＝4
则x+1＝±2，
解得：x1＝﹣1+2＝1，x2＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
5．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，正确的变形是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝9 D．（x﹣3）2＝8
【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，
∴（x﹣3）2＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．用公式法解方程4y2＝12y+3，得到（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】根据题意可得，此题采用公式法解一元二次方程．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
【解答】解：∵4y2＝12y+3
∴4y2﹣12y﹣3＝0
∴a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3
∴b2﹣4ac＝192
∴y＝＝．故选：C．
【点评】解题时要注意审题，采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
7．一元二次方程x2＝x的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．无实根
【分析】先移项得到x2﹣x＝0，再把方程左边分解因式得到x（x﹣1）＝0，原方程转化为x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．也考查了分式的值为零的条件以及一元二次方程的解．
8．若关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0
【分析】由方程为一元二次方程可得出k≠0，再根据方程有解结合根的判别式可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵方程kx2+3x﹣1＝0为一元二次方程，
∴k≠0．
当k≠0时，∵方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当一元二次方程有解时，根的判别式△≥0．”是解题的关键．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则另一个根为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝3
【分析】把x＝3代入可求得k的值，再解方程即可．
【解答】∵关于 x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，
∴32﹣3k﹣6＝0，解得k＝1，
∴x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查方程根的定义，由方程根的定义求得k的值是解题的关键．
10．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）2＝2.88 B．2x2＝2.88
C．2（1+x%）2＝2.88 D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88
【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该市旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝2.88．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．若方程（m+2）x2+5x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m+2≠0．据此可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵方程（m+2）x2+5x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0．
∴m≠﹣2．
故答案是：m≠﹣2．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．把一元二次方程（x﹣3）2＝4化为一般形式为： x2﹣6x+5＝0 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程（x﹣3）2＝4的一般形式是x2﹣6x+5＝0．
故答案为x2﹣6x+5＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
13．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，计算：a2﹣3a+＝ 0 ．
【分析】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1、a2+1＝3a，整体代入计算可得．
【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴a2﹣3a+1＝0，
则a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，
所以原式＝﹣1+1＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义及整体代入思想的运用．
14．方程（x﹣1）2＝1的解为 x1＝2，x2＝0 ．
【分析】利用直接开平方法求解．
【解答】解：x﹣1＝±1，
所以x1＝2，x2＝0．
故答案为x1＝2，x2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程：直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
15．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1＝0的解为 x1＝x2＝5 ．
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的一元二次方程，然后利用直接开平方法解答．
【解答】解：（x﹣4）*1＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）+1＝x2﹣10x+25＝0，即（x﹣5）2＝0，
解得 x1＝x2＝5，
故答案是：x1＝x2＝5．
【点评】本题考查学生读题做题的能力．正确理解这种运算的规则是解题的关键．
16．方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是 b2﹣4ac ，求根公式是 ．
【分析】答题时首先要知道根的判别式的含义，△＝b2﹣4ac，知道求根公式．
【解答】解：方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．
【点评】本题主要考查根的判别式△＝b2﹣4ac这一知识点，比较简单．
17．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 x1＝0，x2＝4 ．
【分析】通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程，得
x（x﹣4）＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故答案是：x1＝0，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．已知关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 k＜4且k≠0 ．
【分析】方程有两个不相等实数根，则根的判别式△＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零．
【解答】解：∵a＝k，b＝﹣4，c＝1，
△＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，即k＜4方程有两个不相等的实数根，
则二次项系数不为零k≠0．
∴k＜4且k≠0．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
三．解答题（共8小题）
19．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得m2﹣1＝0，m+1≠0，解即可；
（2）根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义可知：m2﹣1＝0，m+1≠0，
解得：m＝1，
答：m＝1时，此方程是一元一次方程；
②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣1≠0，
解得：m≠±1．
一元二次方程的二次项系数m2﹣1、一次项系数﹣（m+1），常数项m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的概念和一元一次方程的概念，关键是掌握两种方程的定义．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【分析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0得出m2﹣3m+2＝0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴m的值为1或2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0得出：
x2+5x＝0
x（x+5）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
当m＝1时，5x＝0，
解得x＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．
21．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
【分析】把2+代入方程x2﹣4x+c＝0就得到关于c的方程，就可以解得c的值，进而求出方程式和它的解．
【解答】解：把2+代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2+）2﹣4（2+）+c＝0，
解得c＝1；
所以原方程是x2﹣4x+1＝0，
解得方程的解是x＝2±；
∴另一解是2﹣．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
22．解方程：
（1）（x﹣3）2＝25
（2）x2﹣6x+8＝0（配方法）
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝25，
开方得：x﹣3＝±5，
解得：x1＝8，x2＝﹣2；
（2）x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
x﹣3＝±1，
x1＝4，x2＝2．
【点评】考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
23．解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】移项后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，开方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x﹣2）2＝11，题目比较典型，难度适中．
24．用公式法解方程x2﹣x﹣1＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入求出即可．
【解答】解：x2﹣x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
25．解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
26．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（I）当m＝0时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）令m＝0，用公式法求出一元二次方程的根即可；
（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0．
△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0．
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0
即（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）
＝1﹣4m+4
＝5﹣4m＞0
∵5﹣4m＞0
∴m＜．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac．