2020年华师大版八年级上册数学《第13章 全等三角形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年华师大版八年级上册数学《第13章 全等三角形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 525.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-03 20:29:38 | ||
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文档简介
2020年华师大版八年级上册数学《第13章 全等三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（ ）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
2．在平面内，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的外部，∠COB是锐角，OP平分∠AOC，OQ平分∠COB，若∠COB度数逐渐变大，则∠POQ变化情况是（ ）
A．变大 B．变小 C．保持不变 D．无法确定
3．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的大小是（ ）
A．45° B．45°+∠AOC C．60°﹣∠AOC D．90°﹣∠AOC
4．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（ ）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝116°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则∠MAN的度数为（ ）
A．52° B．50° C．58° D．64°
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
9．下列命题是真命题的有（ ）个
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行
④对顶角相等，邻补角互补
A．1 B．2 C．3 D．4
10．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
二．填空题（共8小题）
11．已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，那么∠EOF的度数为 ．
12．如图，线段OA绕点O逆时针旋转一周，满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF＝58°．线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，在旋转过程中，∠MON的最大值是 ．
13．已知∠AOB＝40°，过点O引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，且OD平分∠AOB．则∠COD＝ ．
14．如图△ABC≌△FED，∠A＝30°，∠B＝80°，则∠EDF＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°．若△A'B'C'与△ABC满足A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠B'＝∠B，则当△A'B'C'与△ABC不全等时，∠C'＝ °．
16．如图，点A1，A2，A3…，An在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，?n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B1B3＝…＝Bn﹣1Bn＝a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，AnBn⊥Bn?n，…，则第n个四边形OAnBn?n的面积是 ．
17．“若a＞b，则a2＞b2”的结论部分是 ，此命题是 命题（填“真”或“假”）．
18．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些； 这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为 （填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图①，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝4cm，求DE的长．
（2）若AC＝acm（不超过12cm），求DE的长．
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任意一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数．
20．如图1，已知线段AB＝16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝6cm，则DE的长为 ；
（2）试说明不论AC取何值（不超过16m），DE的长不变；
（3）知识迁移：如图2，已知∠AOB＝x°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE＝ ．
21．如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD＝4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM＝20°，求∠AOD和∠MOC．
22．如图，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
23．已知，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝12cm，BC＝10cm，点D是AB的中点，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以相同的速度由点C向点A运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD和△CQP全等时，求点P运动的时间．
24．证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
（1）按下列要求完成尺规作图：作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；连接BO并延长至D，使得OD＝OB；连接DA、DC（保留作图痕迹，请标明字母）；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
26．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H．
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C．
（3）线段PH的长度是点P到 的距离． 是点C到直线OB的距离．
（4）线段PC、PH、OC的大小关系是 （用“＜”号连接）．
2020年华师大版八年级上册数学《第13章 全等三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（ ）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
【分析】根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部．
【解答】
解：∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB＝60°，其角平分线为OM
∴∠MOB＝30°
∵∠BOC＝20°，其角平分线为ON
∴∠BON＝10°
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BON＝30°﹣10°＝20°；
∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB＝60°，其角平分线为OM
∴∠MOB＝30°
∵∠BOC＝20°，其角平分线为ON
∴∠BON＝10°
∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝30°+10°＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平分线的性质，知道∠BOC在∠AOB内部和外部两种情况是解题的关键．
2．在平面内，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的外部，∠COB是锐角，OP平分∠AOC，OQ平分∠COB，若∠COB度数逐渐变大，则∠POQ变化情况是（ ）
A．变大 B．变小 C．保持不变 D．无法确定
【分析】依据OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，即可得到∠COP＝∠AOC，∠COQ＝∠BOC，再根据∠POQ＝∠COP﹣∠COQ进行计算，即可得出结论．
【解答】解：∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，
∴∠COP＝∠AOC，∠COQ＝∠BOC，
∴∠POQ＝∠COP﹣∠COQ＝∠AOC﹣∠BOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝∠AOB＝45°，
∴∠POQ的度数不变．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的定义；熟记角平分线的用法，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
3．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的大小是（ ）
A．45° B．45°+∠AOC C．60°﹣∠AOC D．90°﹣∠AOC
【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
【解答】解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠BOC﹣∠AOC），
＝（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC），
＝∠BOA，
＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的计算，解决此类问题要注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解．
4．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB＝∠BAD．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，
又∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，
∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣70°）＝15°，
在△ABG和△FDG中，∵∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，
∴∠DFB＝∠BAD＝15°．
故选：A．
【点评】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】依据AD垂直平分BC，AD垂直平分EF，即可得出AB＝AC，AE＝AF，依据SSS即可得出图形中共有全等三角形4对．
【解答】解：∵BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，AD垂直平分EF，
∴AB＝AC，AE＝AF，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），△AED≌△AFD（SSS），
∵BE＝CF，DE＝DF，
∴BF＝CE，
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△ABF≌△ACE（SSS），
∵AB＝AC，AE＝AF，BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF（SSS），
∴图形中共有全等三角形4对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是先证明三角形全等，再证明其它三角形的全等．
6．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（ ）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】已知∠A＝∠D＝90°，题中隐含BC＝BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
【解答】解：HL，
理由是：∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意：判定两直角三角形的全等方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝116°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则∠MAN的度数为（ ）
A．52° B．50° C．58° D．64°
【分析】利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数．
【解答】解：∵DE和PQ分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC
在△ABC中，∠BAC＝116°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣116°＝64°
即∠MAB+∠NAC＝64°，
则∠MAN＝∠BAC﹣（∠MAB+∠NAC）＝116°﹣64°＝52°．
故选：A．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，根据三角形ABD的面积公式列方程计算即可．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
∵AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，
∴BC＝6，
由基本尺规作图可知，BD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴可设DE＝DC＝x，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×AD×BC，
即×10×x＝×（8﹣x）×6，
解得x＝3，
即CD＝3，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．下列命题是真命题的有（ ）个
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行
④对顶角相等，邻补角互补
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可．
【解答】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，①是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题；
对顶角相等，邻补角互补，④是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．
【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，
由题意得，，
①×2﹣②得，z﹣x＝20，
所以，难题比容易题多20道．
故选：B．
【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．
二．填空题（共8小题）
11．已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，那么∠EOF的度数为 45°或135° ．
【分析】解答此题首先进行分类讨论，当OC是∠AOB里的一条射线时，根据题干条件求出一个值，当OC是∠AOB外的一条射线时，根据平分线的知识可以得到角之间的关系，进而求得∠EOF的大小．
【解答】解：如右图所示：
①OC在∠AOB内部，
∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，
∴∠COE+∠COF＝∠AOC+∠BOC，
即∠EOF＝∠AOB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠EOF＝45°；
②如图，
当OC在∠AOB外部时，
∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC，∠BOF＝∠FOC＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC＝（360°﹣90°）÷2，
∴∠EOF＝135°，
综上所述：∠EOF＝45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】本题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点，基础题，比较简单，但要注意分类讨论，也容易出错．
12．如图，线段OA绕点O逆时针旋转一周，满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF＝58°．线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，在旋转过程中，∠MON的最大值是 119° ．
【分析】由OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，可得∠MOE＝∠AOE，∠FON＝∠BOF，所以∠MON＝∠EOF+（∠AOE+∠BOF），因为∠EOF是定值，所以当∠AOE+∠BOF最大时，∠MON最大，即当∠AOB最大时，∠MON最大，当∠AOB＝180°时，∠MON最大，根据角平分线定义可得结论．
【解答】解：当∠AOB＝180°时，∠MON最大，
∵∠EOF＝58°，
∴∠AOE+∠BOF＝∠AOB﹣∠EOF＝180°﹣58°＝122°，
∵OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，
∴∠MOE＝∠AOE，∠FON＝∠BOF，
∴∠MOE+∠FON＝（∠AOE+∠BOF）＝×122°＝61°，
∴∠MON＝∠EOF+∠MOE+∠FON＝58°+61°＝119°，即∠MON的最大值是119°；
故答案为：119°．
【点评】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，熟练掌握角平分线定义是关键．
13．已知∠AOB＝40°，过点O引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，且OD平分∠AOB．则∠COD＝ 4°或100° ．
【分析】分射线OC在∠AOB的内部、射线OC在∠AOB的外部两种情况进行解答，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，计算出x的值，进而计算出∠AOC、∠AOD的度数，从而得出结论．当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则∠AOB＝x，得x的值，进而计算出∠AOC与∠AOD的度数，然后得出结论．
【解答】解：如图（1）射线OC在∠AOB的内部，（2）射线OC在∠AOB的外部
（1）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则2x+3x＝40°
∴x＝8°，∠AOC＝2x＝16°，∠AOD＝×40°＝20°
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°﹣16°＝4°；
（2）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则∠AOB＝3x﹣2x＝x＝40°，
∴∠AOC＝2x＝80°
∠AOD＝20°
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+20°＝100°．
故答案为4°或100°．
【点评】本题分射线OC在∠AOB的内部、射线OC在∠AOB的外部两种情况，不能漏解．
14．如图△ABC≌△FED，∠A＝30°，∠B＝80°，则∠EDF＝ 70° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质解答．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣80°＝70°，
∵△ABC≌△FED，
∴∠EDF＝∠ACB＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°．若△A'B'C'与△ABC满足A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠B'＝∠B，则当△A'B'C'与△ABC不全等时，∠C'＝ 120 °．
【分析】作△A'B'C″≌△ABC，以A'为圆心，A'C″为半径画弧，交B'C″于C'，连接A'C'，则A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠B'＝∠B，但△ABC与△A'B'C'不全等，进而得出∠C'的度数．
【解答】解：如图所示，作△A'B'C″≌△ABC，以A'为圆心，A'C″为半径画弧，交B'C″于C'，连接A'C'，则A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠B'＝∠B，但△ABC与△A'B'C'不全等，
∵∠C＝∠C″＝60°，A'C'＝A'C″，
∴∠A'C'C″＝∠C″＝60°，
∴∠A'C'B'＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，正确得出符合题意的图形是解题关键．
16．如图，点A1，A2，A3…，An在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，?n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B1B3＝…＝Bn﹣1Bn＝a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，AnBn⊥Bn?n，…，则第n个四边形OAnBn?n的面积是 ．
【分析】过点C1作C1E⊥OB1于点E，过点A1作A1F⊥OB1于点F，过点B1分别作B1H⊥OC1于点H，B1N⊥OA1于点N，先证明：△B1HC1≌△B1NA1（AAS），再证明：△B1C1E≌△A1B1F（AAS），即可证得：C1E+A1F＝B1F+OF＝OB1，进而可得：＝+＝，同理可得：＝，
＝，…，＝＝．
【解答】解：如图，过点C1作C1E⊥OB1于点E，过点A1作A1F⊥OB1于点F，过点B1分别作B1H⊥OC1于点H，B1N⊥OA1于点N，
∵∠B1OC1＝∠B1OA1，
∴B1H＝B1N
∵∠HB1N＝∠C1BA1＝90°
∴∠HB1C1＝∠NB1A1
∵∠B1HC1＝∠B1NA1＝90°
∴△B1HC1≌△B1NA1（AAS）
∴B1C1＝B1A1
∵∠C1B1F+∠A1B1F＝90°，∠A1B1F＝90°
∴∠C1B1F＝∠B1A1F
∵∠C1EB1＝∠B1FA1＝90°
∴△B1C1E≌△A1B1F（AAS）
∴C1E＝B1F
∵∠B1OA1＝45°
∴∠FA1O＝45°
∴A1F＝OF
∴C1E+A1F＝B1F+OF＝OB1
＝+＝?C1E+＝（C1E+A1F）＝＝＝，
同理，＝＝＝，
＝＝＝，
…，
＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，找规律，三角形面积等；属于填空压轴题，综合性强，难度较大，解题时要善于发现和总结规律．
17．“若a＞b，则a2＞b2”的结论部分是 a2＞b2 ，此命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据命题的概念、真假命题的判断方法解答．
【解答】解：“若a＞b，则a2＞b2”的结论部分是a2＞b2，
﹣1＞﹣2，（﹣1）2＜（﹣2）2，
此命题是假命题，
故答案为：a2＞b2；假．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
18．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些； 这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为 老师 （填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是 老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等 ．
【分析】根据题意求出老师的办法中，每人抽取的概率（都是）；再求出小华的办法中，每人抽取的概率，看三人的概率是否相等即可．
【解答】解：老师，
因为老师的办法，不管谁先抽均有的机会；
而小华的办法中，有正反，正正，反正，反反4种情况，
小明和小英的机会各占，而小华的机会占＝，
即老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等，
故答案为：老师；老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等．
【点评】本题考查了对推理与论证的应用，关键是分别求出老师和小华的办法中，每人的概率，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
三．解答题（共8小题）
19．如图①，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝4cm，求DE的长．
（2）若AC＝acm（不超过12cm），求DE的长．
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任意一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数．
【分析】（1）依据D，E分别是AC和BC的中点，即可得到CD＝2cm，CE＝4cm，进而得出DE＝6cm；
（2）依据D，E分别是AC和BC的中点，即可得到CD＝cm，CE＝（12﹣a）cm，进而得出DE＝a+6﹣a＝6cm；
（3）由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB．
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴BC＝8cm，
又∵D，E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝6cm；
（2）∵AB＝12cm，AC＝acm，
∴BC＝（12﹣a）cm，
又∵D，E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝cm，CE＝（12﹣a）cm，
∴DE＝a+6﹣a＝6cm；
（3）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOE＝60°．
【点评】本题主要考查角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理．
20．如图1，已知线段AB＝16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝6cm，则DE的长为 8cm ；
（2）试说明不论AC取何值（不超过16m），DE的长不变；
（3）知识迁移：如图2，已知∠AOB＝x°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE＝ x° ．
【分析】（1）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可；
（2）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可说明结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝BOC，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝16cm，AC＝6cm，
∴BC＝10cm，
∵点D，E分别是AC和BC的中点
∴DC＝AC＝3cm，CE＝CB＝5cm，
∴DE＝DC+CE＝8cm．
故答案为：8cm；
（2）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝AC，CE＝BC，
∴DE＝DC+CE＝（AC+BC）＝AB．
∴不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；
（3）∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
∴∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC．
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝x°．
故答案为： x°．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算和角的计算，掌握线段中点的定义、角平分线的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
21．如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD＝4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM＝20°，求∠AOD和∠MOC．
【分析】设∠AOB＝4x，∠BOC＝5x，∠COD＝3x，得到∠AOD＝12x，根据角平分线的定义得到∠AOM＝∠AOD＝6x，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠AOB＝4x，∠BOC＝5x，∠COD＝3x，
∴∠AOD＝12x，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM＝∠AOD＝6x，
由题意得，6x﹣4x＝20°，
解得，x＝10°，
∴∠AOD＝12x＝120°，∠BOC＝5x＝50°，
∴∠MOC＝∠BOC﹣∠BOM＝30°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键．
22．如图，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
【分析】（1）根据全等三角形对应边相等可得AC＝BD，然后根据AC＝（AD+BC）代入数据计算即可得解；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠DBF，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．
【解答】（1）解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝BD，
∴AC＝（AD+BC）＝×（8+2）＝5；
（2）证明：∵△ACE≌△DBF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∴CE∥BF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
23．已知，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝12cm，BC＝10cm，点D是AB的中点，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以相同的速度由点C向点A运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD和△CQP全等时，求点P运动的时间．
【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，CQ＝2t，
∵AB＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，
∴BD＝×12＝6cm，PC＝（10﹣2t）cm，
①BD、PC是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD＝PC，BP＝CQ，
∴6＝10﹣2t且2t＝2t，
解得t＝2；
②BD与CQ是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD＝CQ，BP＝PC，
∴6＝2t，2t＝10﹣2t，
解得t＝3且t＝（舍去），
综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为2秒．
【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．
24．证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
【分析】由HL证明Rt△ABH≌Rt△DEK得∠B＝∠E，再用边角边证明△ABC≌△DEF．
【解答】已知：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AH⊥BC，
DK⊥EF，且AH＝DK．
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵AH⊥BC，DK⊥EF，
∴∠AHB＝∠DKE＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEK中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△DEK（HL），
∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质和命题的证明方法，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是将命题用几何语言规范书写成几何证明格式．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
（1）按下列要求完成尺规作图：作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；连接BO并延长至D，使得OD＝OB；连接DA、DC（保留作图痕迹，请标明字母）；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出l；利用射线的作法得出D点位置；连接DA、DC即可；
（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系得出BO＝DO，AO＝CO，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据∠ABC＝90°，即可得到四边形ABCD是矩形．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）四边形ABCD是矩形，
理由：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC边上的中线，
∴BO＝AC，
∵BO＝DO，AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及矩形的判定，得出BO＝AC是解题关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H．
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C．
（3）线段PH的长度是点P到 直线OA 的距离． 线段PC的长度 是点C到直线OB的距离．
（4）线段PC、PH、OC的大小关系是 PH＜PC＜OC （用“＜”号连接）．
【分析】（1）和（2）利用方格线画垂线即可；
（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；
（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PC、PH、OC的大小关系．
【解答】解：（1）如图，直线PH即为所求：
（2）如图，直线PC即为所求：
（3）线段PH的长度是点P到直线OA的距离；线段PC的长度是点C到直线OB的距离．
（4）线段PC、PH、OC的大小关系是PH＜PC＜OC．
故答案为：直线OA，线段PC的长度；PH＜PC＜OC．
【点评】本题考查了基本作图以及垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．解题时注意：点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
一．选择题（共10小题）
1．已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（ ）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
2．在平面内，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的外部，∠COB是锐角，OP平分∠AOC，OQ平分∠COB，若∠COB度数逐渐变大，则∠POQ变化情况是（ ）
A．变大 B．变小 C．保持不变 D．无法确定
3．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的大小是（ ）
A．45° B．45°+∠AOC C．60°﹣∠AOC D．90°﹣∠AOC
4．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（ ）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝116°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则∠MAN的度数为（ ）
A．52° B．50° C．58° D．64°
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
9．下列命题是真命题的有（ ）个
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行
④对顶角相等，邻补角互补
A．1 B．2 C．3 D．4
10．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
二．填空题（共8小题）
11．已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，那么∠EOF的度数为 ．
12．如图，线段OA绕点O逆时针旋转一周，满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF＝58°．线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，在旋转过程中，∠MON的最大值是 ．
13．已知∠AOB＝40°，过点O引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，且OD平分∠AOB．则∠COD＝ ．
14．如图△ABC≌△FED，∠A＝30°，∠B＝80°，则∠EDF＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°．若△A'B'C'与△ABC满足A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠B'＝∠B，则当△A'B'C'与△ABC不全等时，∠C'＝ °．
16．如图，点A1，A2，A3…，An在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，?n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B1B3＝…＝Bn﹣1Bn＝a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，AnBn⊥Bn?n，…，则第n个四边形OAnBn?n的面积是 ．
17．“若a＞b，则a2＞b2”的结论部分是 ，此命题是 命题（填“真”或“假”）．
18．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些； 这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为 （填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图①，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝4cm，求DE的长．
（2）若AC＝acm（不超过12cm），求DE的长．
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任意一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数．
20．如图1，已知线段AB＝16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝6cm，则DE的长为 ；
（2）试说明不论AC取何值（不超过16m），DE的长不变；
（3）知识迁移：如图2，已知∠AOB＝x°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE＝ ．
21．如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD＝4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM＝20°，求∠AOD和∠MOC．
22．如图，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
23．已知，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝12cm，BC＝10cm，点D是AB的中点，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以相同的速度由点C向点A运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD和△CQP全等时，求点P运动的时间．
24．证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
（1）按下列要求完成尺规作图：作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；连接BO并延长至D，使得OD＝OB；连接DA、DC（保留作图痕迹，请标明字母）；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
26．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H．
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C．
（3）线段PH的长度是点P到 的距离． 是点C到直线OB的距离．
（4）线段PC、PH、OC的大小关系是 （用“＜”号连接）．
2020年华师大版八年级上册数学《第13章 全等三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（ ）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
【分析】根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部．
【解答】
解：∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB＝60°，其角平分线为OM
∴∠MOB＝30°
∵∠BOC＝20°，其角平分线为ON
∴∠BON＝10°
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BON＝30°﹣10°＝20°；
∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB＝60°，其角平分线为OM
∴∠MOB＝30°
∵∠BOC＝20°，其角平分线为ON
∴∠BON＝10°
∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝30°+10°＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平分线的性质，知道∠BOC在∠AOB内部和外部两种情况是解题的关键．
2．在平面内，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的外部，∠COB是锐角，OP平分∠AOC，OQ平分∠COB，若∠COB度数逐渐变大，则∠POQ变化情况是（ ）
A．变大 B．变小 C．保持不变 D．无法确定
【分析】依据OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，即可得到∠COP＝∠AOC，∠COQ＝∠BOC，再根据∠POQ＝∠COP﹣∠COQ进行计算，即可得出结论．
【解答】解：∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，
∴∠COP＝∠AOC，∠COQ＝∠BOC，
∴∠POQ＝∠COP﹣∠COQ＝∠AOC﹣∠BOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝∠AOB＝45°，
∴∠POQ的度数不变．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的定义；熟记角平分线的用法，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
3．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON的大小是（ ）
A．45° B．45°+∠AOC C．60°﹣∠AOC D．90°﹣∠AOC
【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
【解答】解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠BOC﹣∠AOC），
＝（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC），
＝∠BOA，
＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的计算，解决此类问题要注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解．
4．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE，然后求出∠BAD的度数，再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°，所以∠DFB＝∠BAD．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，
又∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠DAC＝70°，∠BAE＝100°，
∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣70°）＝15°，
在△ABG和△FDG中，∵∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，
∴∠DFB＝∠BAD＝15°．
故选：A．
【点评】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．如图，已知点E、F在线段BC上，BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，垂足为点D，则图中共有全等三角形（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】依据AD垂直平分BC，AD垂直平分EF，即可得出AB＝AC，AE＝AF，依据SSS即可得出图形中共有全等三角形4对．
【解答】解：∵BE＝CF，DE＝DF，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，AD垂直平分EF，
∴AB＝AC，AE＝AF，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），△AED≌△AFD（SSS），
∵BE＝CF，DE＝DF，
∴BF＝CE，
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△ABF≌△ACE（SSS），
∵AB＝AC，AE＝AF，BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF（SSS），
∴图形中共有全等三角形4对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是先证明三角形全等，再证明其它三角形的全等．
6．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（ ）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】已知∠A＝∠D＝90°，题中隐含BC＝BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
【解答】解：HL，
理由是：∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意：判定两直角三角形的全等方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝116°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则∠MAN的度数为（ ）
A．52° B．50° C．58° D．64°
【分析】利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数．
【解答】解：∵DE和PQ分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC
在△ABC中，∠BAC＝116°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣116°＝64°
即∠MAB+∠NAC＝64°，
则∠MAN＝∠BAC﹣（∠MAB+∠NAC）＝116°﹣64°＝52°．
故选：A．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，根据三角形ABD的面积公式列方程计算即可．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
∵AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，
∴BC＝6，
由基本尺规作图可知，BD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴可设DE＝DC＝x，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×AD×BC，
即×10×x＝×（8﹣x）×6，
解得x＝3，
即CD＝3，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．下列命题是真命题的有（ ）个
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行
④对顶角相等，邻补角互补
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可．
【解答】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，①是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题；
对顶角相等，邻补角互补，④是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．
【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，
由题意得，，
①×2﹣②得，z﹣x＝20，
所以，难题比容易题多20道．
故选：B．
【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．
二．填空题（共8小题）
11．已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，那么∠EOF的度数为 45°或135° ．
【分析】解答此题首先进行分类讨论，当OC是∠AOB里的一条射线时，根据题干条件求出一个值，当OC是∠AOB外的一条射线时，根据平分线的知识可以得到角之间的关系，进而求得∠EOF的大小．
【解答】解：如右图所示：
①OC在∠AOB内部，
∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，
∴∠COE+∠COF＝∠AOC+∠BOC，
即∠EOF＝∠AOB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠EOF＝45°；
②如图，
当OC在∠AOB外部时，
∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC，∠BOF＝∠FOC＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC＝（360°﹣90°）÷2，
∴∠EOF＝135°，
综上所述：∠EOF＝45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】本题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点，基础题，比较简单，但要注意分类讨论，也容易出错．
12．如图，线段OA绕点O逆时针旋转一周，满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF＝58°．线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，在旋转过程中，∠MON的最大值是 119° ．
【分析】由OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，可得∠MOE＝∠AOE，∠FON＝∠BOF，所以∠MON＝∠EOF+（∠AOE+∠BOF），因为∠EOF是定值，所以当∠AOE+∠BOF最大时，∠MON最大，即当∠AOB最大时，∠MON最大，当∠AOB＝180°时，∠MON最大，根据角平分线定义可得结论．
【解答】解：当∠AOB＝180°时，∠MON最大，
∵∠EOF＝58°，
∴∠AOE+∠BOF＝∠AOB﹣∠EOF＝180°﹣58°＝122°，
∵OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，
∴∠MOE＝∠AOE，∠FON＝∠BOF，
∴∠MOE+∠FON＝（∠AOE+∠BOF）＝×122°＝61°，
∴∠MON＝∠EOF+∠MOE+∠FON＝58°+61°＝119°，即∠MON的最大值是119°；
故答案为：119°．
【点评】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，熟练掌握角平分线定义是关键．
13．已知∠AOB＝40°，过点O引射线OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，且OD平分∠AOB．则∠COD＝ 4°或100° ．
【分析】分射线OC在∠AOB的内部、射线OC在∠AOB的外部两种情况进行解答，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，计算出x的值，进而计算出∠AOC、∠AOD的度数，从而得出结论．当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则∠AOB＝x，得x的值，进而计算出∠AOC与∠AOD的度数，然后得出结论．
【解答】解：如图（1）射线OC在∠AOB的内部，（2）射线OC在∠AOB的外部
（1）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则2x+3x＝40°
∴x＝8°，∠AOC＝2x＝16°，∠AOD＝×40°＝20°
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°﹣16°＝4°；
（2）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则∠AOB＝3x﹣2x＝x＝40°，
∴∠AOC＝2x＝80°
∠AOD＝20°
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+20°＝100°．
故答案为4°或100°．
【点评】本题分射线OC在∠AOB的内部、射线OC在∠AOB的外部两种情况，不能漏解．
14．如图△ABC≌△FED，∠A＝30°，∠B＝80°，则∠EDF＝ 70° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质解答．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣80°＝70°，
∵△ABC≌△FED，
∴∠EDF＝∠ACB＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°．若△A'B'C'与△ABC满足A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠B'＝∠B，则当△A'B'C'与△ABC不全等时，∠C'＝ 120 °．
【分析】作△A'B'C″≌△ABC，以A'为圆心，A'C″为半径画弧，交B'C″于C'，连接A'C'，则A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠B'＝∠B，但△ABC与△A'B'C'不全等，进而得出∠C'的度数．
【解答】解：如图所示，作△A'B'C″≌△ABC，以A'为圆心，A'C″为半径画弧，交B'C″于C'，连接A'C'，则A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠B'＝∠B，但△ABC与△A'B'C'不全等，
∵∠C＝∠C″＝60°，A'C'＝A'C″，
∴∠A'C'C″＝∠C″＝60°，
∴∠A'C'B'＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，正确得出符合题意的图形是解题关键．
16．如图，点A1，A2，A3…，An在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，?n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在第一象限角平分线OM上，OB1＝B1B2＝B1B3＝…＝Bn﹣1Bn＝a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，AnBn⊥Bn?n，…，则第n个四边形OAnBn?n的面积是 ．
【分析】过点C1作C1E⊥OB1于点E，过点A1作A1F⊥OB1于点F，过点B1分别作B1H⊥OC1于点H，B1N⊥OA1于点N，先证明：△B1HC1≌△B1NA1（AAS），再证明：△B1C1E≌△A1B1F（AAS），即可证得：C1E+A1F＝B1F+OF＝OB1，进而可得：＝+＝，同理可得：＝，
＝，…，＝＝．
【解答】解：如图，过点C1作C1E⊥OB1于点E，过点A1作A1F⊥OB1于点F，过点B1分别作B1H⊥OC1于点H，B1N⊥OA1于点N，
∵∠B1OC1＝∠B1OA1，
∴B1H＝B1N
∵∠HB1N＝∠C1BA1＝90°
∴∠HB1C1＝∠NB1A1
∵∠B1HC1＝∠B1NA1＝90°
∴△B1HC1≌△B1NA1（AAS）
∴B1C1＝B1A1
∵∠C1B1F+∠A1B1F＝90°，∠A1B1F＝90°
∴∠C1B1F＝∠B1A1F
∵∠C1EB1＝∠B1FA1＝90°
∴△B1C1E≌△A1B1F（AAS）
∴C1E＝B1F
∵∠B1OA1＝45°
∴∠FA1O＝45°
∴A1F＝OF
∴C1E+A1F＝B1F+OF＝OB1
＝+＝?C1E+＝（C1E+A1F）＝＝＝，
同理，＝＝＝，
＝＝＝，
…，
＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，找规律，三角形面积等；属于填空压轴题，综合性强，难度较大，解题时要善于发现和总结规律．
17．“若a＞b，则a2＞b2”的结论部分是 a2＞b2 ，此命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据命题的概念、真假命题的判断方法解答．
【解答】解：“若a＞b，则a2＞b2”的结论部分是a2＞b2，
﹣1＞﹣2，（﹣1）2＜（﹣2）2，
此命题是假命题，
故答案为：a2＞b2；假．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
18．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些； 这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为 老师 （填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是 老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等 ．
【分析】根据题意求出老师的办法中，每人抽取的概率（都是）；再求出小华的办法中，每人抽取的概率，看三人的概率是否相等即可．
【解答】解：老师，
因为老师的办法，不管谁先抽均有的机会；
而小华的办法中，有正反，正正，反正，反反4种情况，
小明和小英的机会各占，而小华的机会占＝，
即老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等，
故答案为：老师；老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等．
【点评】本题考查了对推理与论证的应用，关键是分别求出老师和小华的办法中，每人的概率，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
三．解答题（共8小题）
19．如图①，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝4cm，求DE的长．
（2）若AC＝acm（不超过12cm），求DE的长．
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任意一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度数．
【分析】（1）依据D，E分别是AC和BC的中点，即可得到CD＝2cm，CE＝4cm，进而得出DE＝6cm；
（2）依据D，E分别是AC和BC的中点，即可得到CD＝cm，CE＝（12﹣a）cm，进而得出DE＝a+6﹣a＝6cm；
（3）由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB．
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴BC＝8cm，
又∵D，E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝6cm；
（2）∵AB＝12cm，AC＝acm，
∴BC＝（12﹣a）cm，
又∵D，E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝cm，CE＝（12﹣a）cm，
∴DE＝a+6﹣a＝6cm；
（3）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOE＝60°．
【点评】本题主要考查角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理．
20．如图1，已知线段AB＝16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC＝6cm，则DE的长为 8cm ；
（2）试说明不论AC取何值（不超过16m），DE的长不变；
（3）知识迁移：如图2，已知∠AOB＝x°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE＝ x° ．
【分析】（1）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可；
（2）根据中点的性质求出AC、BC的长，根据线段中点的定义计算即可说明结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝BOC，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝16cm，AC＝6cm，
∴BC＝10cm，
∵点D，E分别是AC和BC的中点
∴DC＝AC＝3cm，CE＝CB＝5cm，
∴DE＝DC+CE＝8cm．
故答案为：8cm；
（2）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝AC，CE＝BC，
∴DE＝DC+CE＝（AC+BC）＝AB．
∴不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；
（3）∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
∴∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC．
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝x°．
故答案为： x°．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算和角的计算，掌握线段中点的定义、角平分线的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
21．如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD＝4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM＝20°，求∠AOD和∠MOC．
【分析】设∠AOB＝4x，∠BOC＝5x，∠COD＝3x，得到∠AOD＝12x，根据角平分线的定义得到∠AOM＝∠AOD＝6x，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠AOB＝4x，∠BOC＝5x，∠COD＝3x，
∴∠AOD＝12x，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM＝∠AOD＝6x，
由题意得，6x﹣4x＝20°，
解得，x＝10°，
∴∠AOD＝12x＝120°，∠BOC＝5x＝50°，
∴∠MOC＝∠BOC﹣∠BOM＝30°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解题的关键．
22．如图，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
【分析】（1）根据全等三角形对应边相等可得AC＝BD，然后根据AC＝（AD+BC）代入数据计算即可得解；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠DBF，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．
【解答】（1）解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝BD，
∴AC＝（AD+BC）＝×（8+2）＝5；
（2）证明：∵△ACE≌△DBF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∴CE∥BF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
23．已知，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝12cm，BC＝10cm，点D是AB的中点，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以相同的速度由点C向点A运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD和△CQP全等时，求点P运动的时间．
【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，CQ＝2t，
∵AB＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，
∴BD＝×12＝6cm，PC＝（10﹣2t）cm，
①BD、PC是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD＝PC，BP＝CQ，
∴6＝10﹣2t且2t＝2t，
解得t＝2；
②BD与CQ是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD＝CQ，BP＝PC，
∴6＝2t，2t＝10﹣2t，
解得t＝3且t＝（舍去），
综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为2秒．
【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．
24．证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
【分析】由HL证明Rt△ABH≌Rt△DEK得∠B＝∠E，再用边角边证明△ABC≌△DEF．
【解答】已知：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AH⊥BC，
DK⊥EF，且AH＝DK．
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵AH⊥BC，DK⊥EF，
∴∠AHB＝∠DKE＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEK中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△DEK（HL），
∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质和命题的证明方法，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是将命题用几何语言规范书写成几何证明格式．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
（1）按下列要求完成尺规作图：作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；连接BO并延长至D，使得OD＝OB；连接DA、DC（保留作图痕迹，请标明字母）；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出l；利用射线的作法得出D点位置；连接DA、DC即可；
（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系得出BO＝DO，AO＝CO，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据∠ABC＝90°，即可得到四边形ABCD是矩形．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）四边形ABCD是矩形，
理由：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC边上的中线，
∴BO＝AC，
∵BO＝DO，AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及矩形的判定，得出BO＝AC是解题关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H．
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C．
（3）线段PH的长度是点P到 直线OA 的距离． 线段PC的长度 是点C到直线OB的距离．
（4）线段PC、PH、OC的大小关系是 PH＜PC＜OC （用“＜”号连接）．
【分析】（1）和（2）利用方格线画垂线即可；
（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；
（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PC、PH、OC的大小关系．
【解答】解：（1）如图，直线PH即为所求：
（2）如图，直线PC即为所求：
（3）线段PH的长度是点P到直线OA的距离；线段PC的长度是点C到直线OB的距离．
（4）线段PC、PH、OC的大小关系是PH＜PC＜OC．
故答案为：直线OA，线段PC的长度；PH＜PC＜OC．
【点评】本题考查了基本作图以及垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．解题时注意：点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．