2020年华师大版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年华师大版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 661.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-03 20:30:32 | ||
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文档简介
2020年华师大版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（ ）
A． B．2018 C． D．1
2．若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（ ）
A．2+ B．2﹣
C．2+或2﹣ D．以上都不对
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36 C．27 D．34
4．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2
5．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列说法错误的是（ ）
A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
B．若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则A＝90°
D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+l（n＞1），则△ABC是直角三角形
6．在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
8．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm．
A．25 B．20 C．24 D．10
9．根据指令[s，A]（s≥0，0°＜A≤360°），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向行走s个单位．现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对x轴的正方向，如果输入指令为[1，45°]，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，1+）
10．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1
二．填空题（共8小题）
11．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝ ，OPn＝ （n为自然数，且n＞0）
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
13．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图（如图），可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值是 ．
14．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+＝0．如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么第三边长为 ．
15．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
16．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
17．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 ．
18．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 米．
三．解答题（共8小题）
19．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝+1，BC＝﹣1，求斜边AB的长．
20．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知a＝7，b＝24，求c的值．
21．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．
（1）如图（1）若AC＝3，BC＝2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2＝AB2．
23．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗？试说明道理．
24．如图，四边形ABCD中，BA⊥DA，BA＝2，DA＝2，DC＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
25．【知识背景】
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝（9﹣1），弦5＝（9+1）；
勾为5时，股12＝（25﹣1），弦13＝（25+1）；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，
则股＝ ，弦＝ ．
【解决问题】
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝ ，c＝ ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．
26．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1?c2．
2020年华师大版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（ ）
A． B．2018 C． D．1
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，OP4＝，
…，
以此类推，OP2018＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
2．若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（ ）
A．2+ B．2﹣
C．2+或2﹣ D．以上都不对
【分析】在△ABC中，由∠A可能是锐角或是钝角，高AD可能线段BC上或BC的延长线上，分两种情况求解，根据勾股定理，线段和差求出线段BC的长为是或2﹣．
【解答】解：（1）当高AD在BC上时，如图1所示：
∵AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得，
，
又∵AB＝7，AD＝6，
∴BD＝＝
同理可得：DC＝2，
又∵BC＝BD+DC，
∴BC＝；
当高AD在BC的延长线上时，如图2所示：
∵AD⊥BC，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC＝，
又∵AC＝8，AD＝6，
∴DC＝＝2，
同理可得；DB＝，
又∵BC＝DC﹣DB，
∴BC＝2﹣，
综合所述：BC的长是或2﹣，
故选：C．
【点评】本题综合考查了勾股定理的运用，线段的和差计算等相关知识，重点掌握勾股定理的运用，易错点三角形可能是锐角三角形或钝角三角形．
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36 C．27 D．34
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．
【解答】解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45，
45﹣9＝36．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，求出两个正方形的面积是解决问题的关键．
4．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2
【分析】由正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘
∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝
设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得
（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得
2x2+x﹣21＝0
∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4
∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理在弦图中的应用，明确图中相关线段的长度关系，根据勾股定理列出方程是求解本题的关键．
5．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列说法错误的是（ ）
A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
B．若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则A＝90°
D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+l（n＞1），则△ABC是直角三角形
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，则△ABC是直角三角形，故本选项不合题意；
B．若△ABC中，a2+b2≠c2，且c＞a，c＞b，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则a边为斜边，∠A＝90°，故本选项不合题意；
D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+l（n＞1），则a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
6．在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，画出的形状不同的直角三角形即可．
【解答】解：如图所示：
形状不同的直角三角形共有3种情况：直角边之比为1：1，或1：2，或1：3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的运用，解题时注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
8．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm．
A．25 B．20 C．24 D．10
【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．
【解答】解：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1，
AB＝＝＝5（cm）
把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2，
AB＝＝25（cm）；
把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，
AB＝＝＝5（cm）．
∵＞＞25
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．
故选：A．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
9．根据指令[s，A]（s≥0，0°＜A≤360°），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向行走s个单位．现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对x轴的正方向，如果输入指令为[1，45°]，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，1+）
【分析】根据题意得到指令[1，45°]表示首先逆时针旋转45°，然后朝其面对的方向行走1个单位到C，第二次道B点，第三次到A点，由此即可求出机器人所在位置的坐标．
【解答】解：如图所示：
机器人所在的位置正好在y轴的A点上，
过B作BM⊥OA于M，过C作CN⊥OA于N，
根据题意得到四边形ABCO是等腰梯形，
∵AB＝1，∠ABM＝45°，
由勾股定理得：AM＝BM＝，
同理CN＝ON＝，
MN＝CB＝1，
∴OA＝+1+＝1+，
∴A的坐标是（0，1+），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形等知识点的应用，关键是根据题意画出图形，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，主要考查了学生的阅读问题的能力．
10．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1
【分析】根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的面积，找出规律即可．
【解答】解：∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
∴S△ABC＝×1×1＝＝21﹣2；
AC＝＝，AD＝＝2…，
∴S△ACD＝××＝1＝22﹣2；
S△ADE＝×2×2＝1＝23﹣2…
∴第n个等腰直角三角形的面积是2n﹣2．
故选：A．
【点评】此题属规律性题目，解答此题的关键是分别计算出图中所给的直角三角形的面积，找出规律即可．
二．填空题（共8小题）
11．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝ ，OPn＝ （n为自然数，且n＞0）
【分析】根据题意找出规律，根据规律解答．
【解答】解：由题意得，OP1＝；
OP2＝；
OP3＝，
…
则OP2018＝，OPn＝，
故答案为：；．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 2或 ．
【分析】分两种情况讨论：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，利用等腰三角形的三线合一性质和垂直平分线的性质可解；
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，证明△AMC∽△FAC，列比例式求出FC，从而得BF，再利用垂直平分线的性质得BD．
【解答】解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的三线合一性质和线段垂直平分线的性质定理得应用．本题难度中等．
13．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图（如图），可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值是 24 ．
【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
【解答】解：设大正方形的边长为c，根据题意得：
c2＝a2+b2＝13，4×ab＝13﹣2＝11，即2ab＝11，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+11＝24，
故答案为：24．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+＝0．如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么第三边长为 或1 ．
【分析】根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出直角三角形的第三边的长．
【解答】解：依题意得：x2﹣4＝0，y2﹣3＝0，
∴x＝2，y＝，
若以x，y为直角边长作一个直角三角形，那么第三边长为＝，
若以x，y为斜边、直角边长作一个直角三角形，那么第三边长为＝1，
综上所述，第三边长为或1．
故答案为：或1．
【点评】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
15．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的高．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，
设斜边上的高为h，则
S△ABC＝×5×12＝×13h，
解得：h＝，
故答案为．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和利用三角形的面积公式求高．
16．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝．
故答案是：．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
17．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 15.6cm≤a≤16.6cm ．
【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答．
【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6cm≤a≤16.6cm．
故答案为：15.6cm≤a≤16.6cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计算求解．
18．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 0.9 米．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC＝2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE＝1.5米，所以AE＝0.9米，即梯子的顶端下滑了0.9米．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，
∴AC＝＝＝2.4米，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝1.3+0.7＝2米，
∴EC＝＝＝1.5米，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9米．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．
三．解答题（共8小题）
19．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝+1，BC＝﹣1，求斜边AB的长．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边AB＝＝＝4．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知a＝7，b＝24，求c的值．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，c＝＝25．
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
21．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【解答】解：利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，
又∵S四边形BCED＝（a+b）2，
∴ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．
（1）如图（1）若AC＝3，BC＝2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2＝AB2．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据△ABC面积的两种算法求出CH，再求出AH，即可得到四边形AHIN的面积、正方形AEFC的面积，即可解答；
（2）根据四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积，所以AC2＝AH?AB，同理可得：BC2＝BH?AB，所以AC2+BC2＝AH?AB+BH?AB＝AB2．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB＝＝，
∴，
即，
∴CH＝，
∴AH＝，
∴S四边形AHIN＝AH?AN＝18，，
∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）∵四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
∴AC2＝AH?AB，
同理可得：BC2＝BH?AB，
∴AC2+BC2＝AH?AB+BH?AB＝AB2．
【点评】本题考查勾股定理，解决本题的关键是应用勾股定理求边的长度．
23．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗？试说明道理．
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求．
【解答】解：∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，
∴AB2+AD2＝BD2，BD2+BC2＝DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A＝90°，∠DBC＝90°，
故这个零件符合要求．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
24．如图，四边形ABCD中，BA⊥DA，BA＝2，DA＝2，DC＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【分析】根据勾股定理求出BD的长和∠ADB的度数，根据勾股定理的逆定理得到△BDC为直角三角形，即可得到∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB⊥AD，AB＝2，AD＝2，
∴tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∵BD2+DC2＝42+32＝52，
∴BD2+DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝30°+90°＝120°．
【点评】本题利用了勾股定理和勾股定理的逆定理及锐角三角函数的概念求解．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
25．【知识背景】
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝（9﹣1），弦5＝（9+1）；
勾为5时，股12＝（25﹣1），弦13＝（25+1）；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ （49﹣1） 弦25＝ （49+1）
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，
则股＝ （n2﹣1） ，弦＝ （n2+1） ．
【解决问题】
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝ m2﹣1 ，c＝ m2+1 ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 10 、24、 26 ：第二组： 12 、 35 、37．
【分析】（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24＝（49﹣1），弦25＝（49+1）；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝m2﹣1，c＝m2+1；
（4）依据柏拉图公式，若m2﹣1＝24，则m＝5，2m＝10，m2+1＝26；若m2+1＝37，则m＝6，2m＝12，m2﹣1＝35．
【解答】解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24＝（49﹣1），弦25＝（49+1），
故答案为：（49﹣1），（49+1）；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1），
故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝m2﹣1，c＝m2+1；
故答案为：m2﹣1，m2+1；
（4）依据柏拉图公式，
若m2﹣1＝24，则m＝5，2m＝10，m2+1＝26；
若m2+1＝37，则m＝6，2m＝12，m2﹣1＝35；
故答案为：10、26；12、35．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
26．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1?c2．
【分析】（1）用平方差公式因式分解，并化简，结合勾股定理的逆定理可得答案；
（2）由勾股定理可得a，b的关系式，变形可用含b 的代数式表示出a；再根据b的范围分别代值验证，可求得a；从而可得b；
（3）对常见的勾股数要熟悉，然后观察代值验证即可．
【解答】解：（1）证明：
∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2
＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）
＝2m2?2n2
＝（2mn）2
∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2
∵m，n为正整数，且m＞n，
∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数
∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）由勾股定理得：
7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15
∴a＝
由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0
∴a＞1，0＜b＜5
∵a和b均为正整数
∴b的可能值为：1，2，3，4．
当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意；
当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；
当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；
当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，
∵+＝240，＝240
∴+＝
∴b＝4符合题意．
∴a＝；a＝31，b＝4．
（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1?c2＝5×5＝25，
152+202＝225+400＝625，252＝625
∴152+202＝252
∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1?c2．
【点评】本题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（ ）
A． B．2018 C． D．1
2．若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（ ）
A．2+ B．2﹣
C．2+或2﹣ D．以上都不对
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36 C．27 D．34
4．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2
5．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列说法错误的是（ ）
A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
B．若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则A＝90°
D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+l（n＞1），则△ABC是直角三角形
6．在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
8．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm．
A．25 B．20 C．24 D．10
9．根据指令[s，A]（s≥0，0°＜A≤360°），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向行走s个单位．现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对x轴的正方向，如果输入指令为[1，45°]，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，1+）
10．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1
二．填空题（共8小题）
11．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝ ，OPn＝ （n为自然数，且n＞0）
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 ．
13．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图（如图），可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值是 ．
14．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+＝0．如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么第三边长为 ．
15．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
16．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
17．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 ．
18．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 米．
三．解答题（共8小题）
19．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝+1，BC＝﹣1，求斜边AB的长．
20．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知a＝7，b＝24，求c的值．
21．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．
（1）如图（1）若AC＝3，BC＝2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2＝AB2．
23．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗？试说明道理．
24．如图，四边形ABCD中，BA⊥DA，BA＝2，DA＝2，DC＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
25．【知识背景】
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝（9﹣1），弦5＝（9+1）；
勾为5时，股12＝（25﹣1），弦13＝（25+1）；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，
则股＝ ，弦＝ ．
【解决问题】
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝ ，c＝ ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．
26．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1?c2．
2020年华师大版八年级上册数学《第14章 勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法继续做下去，得OP2018＝（ ）
A． B．2018 C． D．1
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，OP4＝，
…，
以此类推，OP2018＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
2．若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（ ）
A．2+ B．2﹣
C．2+或2﹣ D．以上都不对
【分析】在△ABC中，由∠A可能是锐角或是钝角，高AD可能线段BC上或BC的延长线上，分两种情况求解，根据勾股定理，线段和差求出线段BC的长为是或2﹣．
【解答】解：（1）当高AD在BC上时，如图1所示：
∵AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得，
，
又∵AB＝7，AD＝6，
∴BD＝＝
同理可得：DC＝2，
又∵BC＝BD+DC，
∴BC＝；
当高AD在BC的延长线上时，如图2所示：
∵AD⊥BC，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC＝，
又∵AC＝8，AD＝6，
∴DC＝＝2，
同理可得；DB＝，
又∵BC＝DC﹣DB，
∴BC＝2﹣，
综合所述：BC的长是或2﹣，
故选：C．
【点评】本题综合考查了勾股定理的运用，线段的和差计算等相关知识，重点掌握勾股定理的运用，易错点三角形可能是锐角三角形或钝角三角形．
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ）
A．9 B．36 C．27 D．34
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．
【解答】解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45，
45﹣9＝36．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，求出两个正方形的面积是解决问题的关键．
4．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长1倍得到点A′，B′，C′，D′，并连结得到图2．已知正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，则图2中阴影部分的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．60cm2
【分析】由正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2‘
∴EF＝FG＝GH＝HF＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝
设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得
（2x）2+（2x+1）2＝85，化简得
2x2+x﹣21＝0
∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍）
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4
∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理在弦图中的应用，明确图中相关线段的长度关系，根据勾股定理列出方程是求解本题的关键．
5．已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列说法错误的是（ ）
A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
B．若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则A＝90°
D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+l（n＞1），则△ABC是直角三角形
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．若△ABC中，a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，则△ABC是直角三角形，故本选项不合题意；
B．若△ABC中，a2+b2≠c2，且c＞a，c＞b，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．若△ABC中，a：b：c＝41：9：40，则a边为斜边，∠A＝90°，故本选项不合题意；
D．若△ABC中，a，b，c三边长分别为n2﹣1，2n，n2+l（n＞1），则a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
6．在数学活动课上，老师要求学生在4×4的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（ ）种．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，画出的形状不同的直角三角形即可．
【解答】解：如图所示：
形状不同的直角三角形共有3种情况：直角边之比为1：1，或1：2，或1：3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及勾股定理的运用，解题时注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
7．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
8．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm．
A．25 B．20 C．24 D．10
【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．
【解答】解：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1，
AB＝＝＝5（cm）
把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2，
AB＝＝25（cm）；
把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，
AB＝＝＝5（cm）．
∵＞＞25
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．
故选：A．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
9．根据指令[s，A]（s≥0，0°＜A≤360°），机器人在平面上完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向行走s个单位．现机器人在平面直角坐标系的原点，且面对x轴的正方向，如果输入指令为[1，45°]，那么连续执行三次这样的指令，机器人所在位置的坐标是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，1+）
【分析】根据题意得到指令[1，45°]表示首先逆时针旋转45°，然后朝其面对的方向行走1个单位到C，第二次道B点，第三次到A点，由此即可求出机器人所在位置的坐标．
【解答】解：如图所示：
机器人所在的位置正好在y轴的A点上，
过B作BM⊥OA于M，过C作CN⊥OA于N，
根据题意得到四边形ABCO是等腰梯形，
∵AB＝1，∠ABM＝45°，
由勾股定理得：AM＝BM＝，
同理CN＝ON＝，
MN＝CB＝1，
∴OA＝+1+＝1+，
∴A的坐标是（0，1+），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形等知识点的应用，关键是根据题意画出图形，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，主要考查了学生的阅读问题的能力．
10．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1
【分析】根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的面积，找出规律即可．
【解答】解：∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
∴S△ABC＝×1×1＝＝21﹣2；
AC＝＝，AD＝＝2…，
∴S△ACD＝××＝1＝22﹣2；
S△ADE＝×2×2＝1＝23﹣2…
∴第n个等腰直角三角形的面积是2n﹣2．
故选：A．
【点评】此题属规律性题目，解答此题的关键是分别计算出图中所给的直角三角形的面积，找出规律即可．
二．填空题（共8小题）
11．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝ ，OPn＝ （n为自然数，且n＞0）
【分析】根据题意找出规律，根据规律解答．
【解答】解：由题意得，OP1＝；
OP2＝；
OP3＝，
…
则OP2018＝，OPn＝，
故答案为：；．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为 2或 ．
【分析】分两种情况讨论：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，利用等腰三角形的三线合一性质和垂直平分线的性质可解；
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，证明△AMC∽△FAC，列比例式求出FC，从而得BF，再利用垂直平分线的性质得BD．
【解答】解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝BC∴BF＝4
∵DE垂直平分BF，
∵BC＝8
∴BD＝BF＝2．
（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC
∴BM＝CM
在Rt△AMC与Rt△FAC中，∠AMC＝∠FAC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AMC∽△FAC，
∴＝
∴FC＝
∵AC＝5，MC＝BC＝4
∴FC＝
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝
∴BD＝BF＝
故答案为：2或．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的三线合一性质和线段垂直平分线的性质定理得应用．本题难度中等．
13．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图（如图），可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值是 24 ．
【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
【解答】解：设大正方形的边长为c，根据题意得：
c2＝a2+b2＝13，4×ab＝13﹣2＝11，即2ab＝11，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+11＝24，
故答案为：24．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+＝0．如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么第三边长为 或1 ．
【分析】根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出直角三角形的第三边的长．
【解答】解：依题意得：x2﹣4＝0，y2﹣3＝0，
∴x＝2，y＝，
若以x，y为直角边长作一个直角三角形，那么第三边长为＝，
若以x，y为斜边、直角边长作一个直角三角形，那么第三边长为＝1，
综上所述，第三边长为或1．
故答案为：或1．
【点评】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
15．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的高．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，
设斜边上的高为h，则
S△ABC＝×5×12＝×13h，
解得：h＝，
故答案为．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和利用三角形的面积公式求高．
16．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 尺高．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝．
故答案是：．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
17．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 15.6cm≤a≤16.6cm ．
【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答．
【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6cm≤a≤16.6cm．
故答案为：15.6cm≤a≤16.6cm．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计算求解．
18．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了 0.9 米．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC＝2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE＝1.5米，所以AE＝0.9米，即梯子的顶端下滑了0.9米．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，
∴AC＝＝＝2.4米，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝1.3+0.7＝2米，
∴EC＝＝＝1.5米，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣1.5＝0.9米．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．
三．解答题（共8小题）
19．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝+1，BC＝﹣1，求斜边AB的长．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，斜边AB＝＝＝4．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知a＝7，b＝24，求c的值．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，c＝＝25．
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
21．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）
求证：a2+b2＝c2．
【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【解答】解：利用图1进行证明：
证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，
∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，
又∵S四边形BCED＝（a+b）2，
∴ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴a2+b2＝c2．
利用图2进行证明：
证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．
（1）如图（1）若AC＝3，BC＝2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2＝AB2．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据△ABC面积的两种算法求出CH，再求出AH，即可得到四边形AHIN的面积、正方形AEFC的面积，即可解答；
（2）根据四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积，所以AC2＝AH?AB，同理可得：BC2＝BH?AB，所以AC2+BC2＝AH?AB+BH?AB＝AB2．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB＝＝，
∴，
即，
∴CH＝，
∴AH＝，
∴S四边形AHIN＝AH?AN＝18，，
∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）∵四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
∴AC2＝AH?AB，
同理可得：BC2＝BH?AB，
∴AC2+BC2＝AH?AB+BH?AB＝AB2．
【点评】本题考查勾股定理，解决本题的关键是应用勾股定理求边的长度．
23．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗？试说明道理．
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求．
【解答】解：∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，
∴AB2+AD2＝BD2，BD2+BC2＝DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A＝90°，∠DBC＝90°，
故这个零件符合要求．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
24．如图，四边形ABCD中，BA⊥DA，BA＝2，DA＝2，DC＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．
【分析】根据勾股定理求出BD的长和∠ADB的度数，根据勾股定理的逆定理得到△BDC为直角三角形，即可得到∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB⊥AD，AB＝2，AD＝2，
∴tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∵BD2+DC2＝42+32＝52，
∴BD2+DC2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝30°+90°＝120°．
【点评】本题利用了勾股定理和勾股定理的逆定理及锐角三角函数的概念求解．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
25．【知识背景】
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝（9﹣1），弦5＝（9+1）；
勾为5时，股12＝（25﹣1），弦13＝（25+1）；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝ （49﹣1） 弦25＝ （49+1）
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，
则股＝ （n2﹣1） ，弦＝ （n2+1） ．
【解决问题】
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝ m2﹣1 ，c＝ m2+1 ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 10 、24、 26 ：第二组： 12 、 35 、37．
【分析】（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24＝（49﹣1），弦25＝（49+1）；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝m2﹣1，c＝m2+1；
（4）依据柏拉图公式，若m2﹣1＝24，则m＝5，2m＝10，m2+1＝26；若m2+1＝37，则m＝6，2m＝12，m2﹣1＝35．
【解答】解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24＝（49﹣1），弦25＝（49+1），
故答案为：（49﹣1），（49+1）；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1），
故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝m2﹣1，c＝m2+1；
故答案为：m2﹣1，m2+1；
（4）依据柏拉图公式，
若m2﹣1＝24，则m＝5，2m＝10，m2+1＝26；
若m2+1＝37，则m＝6，2m＝12，m2﹣1＝35；
故答案为：10、26；12、35．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
26．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1?c2．
【分析】（1）用平方差公式因式分解，并化简，结合勾股定理的逆定理可得答案；
（2）由勾股定理可得a，b的关系式，变形可用含b 的代数式表示出a；再根据b的范围分别代值验证，可求得a；从而可得b；
（3）对常见的勾股数要熟悉，然后观察代值验证即可．
【解答】解：（1）证明：
∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2
＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）
＝2m2?2n2
＝（2mn）2
∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2
∵m，n为正整数，且m＞n，
∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数
∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）由勾股定理得：
7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15
∴a＝
由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0
∴a＞1，0＜b＜5
∵a和b均为正整数
∴b的可能值为：1，2，3，4．
当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意；
当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；
当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；
当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，
∵+＝240，＝240
∴+＝
∴b＝4符合题意．
∴a＝；a＝31，b＝4．
（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1?c2＝5×5＝25，
152+202＝225+400＝625，252＝625
∴152+202＝252
∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1?c2．
【点评】本题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．