（新教材）2019-2020学年人教B版数学必修第二册导学案4.1.2　第1课时　指数函数的性质与图像Word版含答案

4．1.2　指数函数的性质与图像
第1课时　指数函数的性质与图像
考点
学习目标
核心素养
指数函数的概念
理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性
数学抽象
指数函数的性质与图像
掌握指数函数的性质和图像
数学运算
指数函数的定义域、值域
会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域
数学运算
问题导学
预习教材P9－P13的内容，思考以下问题：
1．指数函数的概念是什么？
2．结合指数函数的图像，可归纳出指数函数具有哪些性质？
3．指数函数的图像过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？
指数函数
(1)一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)具有下列性质：
①定义域是R．
②值域是(0，＋∞)，即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方．
③函数图像一定过点(0，1)．
④当a>1时，y＝ax是增函数；当0⑤指数函数的图像．
■名师点拨
底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图像是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图像是“下降”的．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x2是指数函数．(　　)
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　)
(3)指数函数的图像一定在x轴的上方．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
函数y＝(－1)x在R上是(　　)
A．增函数 B．奇函数
C．偶函数 D．减函数
答案：D
函数y＝2－x的图像是(　　)
答案：B
函数f(x)＝2x＋3的值域为________．
答案：(3，＋∞)
求指数函数的解析式
　已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
【解】　设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得a＝π，所以f(x)＝π.

根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．
要求指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．　
　已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1，2)，求a，b的值．
解：由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1，2)代入y＝ax，得a＝2.
指数型函数的定义域、值域问题
命题角度一：y＝f(ax)型
　求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
【解】　(1)函数y＝的定义域为R(因为对一切x∈R，3x≠－1)．
因为y＝＝1－，
又因为3x>0，1＋3x>1，
所以0<<1，所以－1<－<0，
所以0<1－<1，所以y＝的值域为(0，1)．
(2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝＋，
因为2x>0，所以当2x＝时，即x＝－1时，y取最小值，
所以y＝4x－2x＋1的值域为.

解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y＝f(t)的问题．　
　求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
解：(1)因为1－≥0，所以≤1，解得x≥0，
所以y＝的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－ (x≥0)，则0≤t<1，所以0≤<1，
所以y＝的值域为[0，1)．
(2)y＝的定义域为R.
法一：设ax＝t，则t∈(0，＋∞)．
y＝＝＝1－.
因为t>0，所以t＋1>1，
所以0<<1，所以－2<<0，
所以－1<1－<1.
即y＝的值域为(－1，1)．
法二：由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－.
因为ax>0，所以－>0，所以－1所以y＝的值域是(－1，1)．
命题角度二：y＝af(x)型
　求函数y＝的定义域与值域．
【解】　要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2.
因为y＝3x在R上是增函数，所以2x－1≥－2，解得x≥－.
故所求函数的定义域为.
当x∈时，32x－1∈.
所以32x－1－∈[0，＋∞)．所以原函数的值域为[0，＋∞)．

y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．　
　求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝0.3；(2)y＝3.
解：(1)由x－1≠0，得x≠1，
所以所求函数的定义域为{x|x≠1}．
由≠0，得y≠1，
所以所求函数的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得x≥，
所以所求函数的定义域为.
由≥0，得y≥1，所以所求函数的值域为{y|y≥1}．
指数函数图像的应用
命题角度一：指数函数整体图像
　在如图所示的图像中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝的图像可能是(　　)
【解析】　根据选项中二次函数图像可知c＝0，
所以二次函数y＝ax2＋bx，因为>0，
所以二次函数的对称轴为x＝－<0，
排除B、D.
对于A，C，都有0<<1，所以－<－<0，C不符合．
故选A.
【答案】　A

函数y＝ax的图像主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系．　
　已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(－1，5) B．(－1，4)
C．(0，4) D．(4，0)
解析：选A.当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1，5)．
命题角度二：指数函数局部图像
　若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．
【解】　y＝|2x－1|＝
图像如图：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，
需0<2a<1，即0
指数函数是一种基本初等函数，与其他函数一起可以衍生出很多函数，体现了指数函数图像的“原料”作用．此题目考查图像变换，同时要注意指数函数中的“渐近线”对交点个数的影响．　
　函数y＝a|x|(a>1)的图像是(　　)
解析：选B.函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
答案：D
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
答案：C
3．函数y＝3－x2的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(0，1] D．[－1，0)
答案：C
4．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0答案：D
5．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3，0]
B．(－3，1]
C．(－∞，－3)∪(－3，0]
D．(－∞，－3)∪(－3，1]
解析：选A.由题意，自变量x应满足
解得－3[A　基础达标]
1．下列函数中，指数函数的个数为(　　)
①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；
④y＝－1.
A．0 B．1
C．3 D．4
解析：选B.由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选C.由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0.
3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图像一定过点(　　)
A．(0，1) B．(0，－1)
C．(－1，0) D．(1，0)
解析：选C.当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图像必过点(－1，0)．
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图像大致是(　　)
解析：选A.因为g(x)＝－x＋a的斜率为－1，所以g(x)＝－x＋a在定义域内单调递减，所以C、D选项错误．当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图像大致为选项A.
5．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则(　　)
A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1 D．0＜a＜1，0＜b＜1
解析：选C.由图像知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1.
6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________．
解析：由指数函数的定义得解得a＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________．
解析：由已知得解得
所以f(x)＝＋3，所以f(－2)＝＋3＝4＋3＝7.
答案：7
8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，所以－x＜0，0＜2－x＜1，所以－1＜－2－x＜0.所以函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．
答案：(－1，0)∪(0，1)
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝.
解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数y＝2－1的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，所以函数y＝的值域为(0，9]．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图像经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜≤＝2，所以函数的值域为(0，2]．
[B　能力提升]
11．函数y＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[0，4]
C．[0，4) D．(0，4)
解析：选C.要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，即函数y＝的值域为[0，4)．
12．函数y＝2－1的定义域、值域分别是(　　)
A．R，(0，＋∞)
B．{x|x≠0}，{y|y＞－1}
C．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠1}
D．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠0}
解析：选C.要使y＝2－1有意义，只需有意义，即x≠0.若令u＝＝1－，则可知u≠1，所以y≠21－1＝1.又因为y＝2－1＞0－1＝－1，所以函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞－1，且y≠1}．
13．已知函数f(x)＝－1.
(1)作出f(x)的简图；
(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝如图所示．
(2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时，即－＜m＜0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解．
[C　拓展探究]
14．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．
解：设t＝3x，因为－1≤x≤2，所以≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.