广东深圳外国语学校2018-2019学年度高二第一学期学段（一）考试数学（理科）试卷

深圳外国语学校2018- -2019 学年度高二第一学期学段(一)考试
数学(理科)试卷
一、选择题（本部分共12小题，每题5分，共60分）
1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（　　）
A． B． C． D．0
2．已知（2，﹣1，2），（x，y，6），与共线，则x﹣y＝（　　）
A．5 B．6 C．3 D．9
3．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．有关命题的说法错误的是（　　）
A．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题
B．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x2﹣3x＝2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x＝2≠0”
D．对于命题p：?x≥0，2x＝3，则￢P：?x＜0，2x≠3
5．双曲线1的渐近线方程是（　　）
A．y＝± B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x
6．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（　　）

A．； B．
C． D．
7．已知双曲线1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF，则该双曲线离心率e的值为（　　）
A．2 B． C．2 D．
8．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，则AE的长为（　　）

A．4 B．4 C．3 D．3
9．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（　　）
A． B．（y≠0）
C．（y≠0） D．（y≠0）
11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（　　）
A． B． C．24 D．48
12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点），则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本部分共4小题，每题5分，共20分）
13．已知x＞0，若向量（x，1，0），（1，0，﹣2），（23）⊥（2），则x＝　 　．
14．若抛物线y＝4x2上的点A到焦点的距离为，则A到x轴的距离是　 　．
15．直线y＝x+m与曲线y有两个公共点，则m的取值范围是　 　．
16．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分第17题10分，其他各题均为12分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.）
17．设函数f（x）＝lg（﹣x2+5x﹣6）的定义域为A，函数g（x），x∈（0，m）的值域为B．
（Ⅰ）当m＝2时，求A∩B；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，AC⊥BC，点M在线段AB上．
（1）若M是AB中点，证明AC1∥平面B1CM；
（2）当BM时，求直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值．

19．已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线1的离心率e∈（1，2），若p∨q是真命题，求实数m的取值范围．
20．椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|＝kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF．
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且上焦点为F（0，1），过F的动直线与椭圆C相交于M、N两点．设点P（3，4），记PM、PN的斜率分别为k1和k2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线的斜率等于﹣1，求k1?k2的值；
（3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围．




一、选择题（本部分共12小题，每题5分共60分）
1．A
2．D
3．B
4．D
5．D
6．
7．B
8．D
9．A
10．D
11．C
12．B
二、填空题（本部分共4小题，每题5分，共20分）
13．∵向量（x，1，0），（1，0，﹣2），
∴23（2x﹣3，2，6），2（x+2，1，﹣4），
∵（23）⊥（2），
∴（23）?（2）＝（2x﹣3）（x+2）+2﹣24＝0，
由x＞0，解得x．
14．抛物线y＝4x2的焦点坐标为F（0，），准线方程为y，
∵抛物线y＝4x2上的点A到焦点的距离为，
由抛物线定义可知，点A到准线y的距离是，
则点A到x轴的距离是2．
15．根据题意，曲线y，变形可得1，（y≥0），为椭圆1的上半部分，如图：
若，变形可得：7x2+8mx+4m2﹣12＝0，
△＝64m2﹣4×7×（4m2﹣12）＝0，解可得m＝±，
结合图形，当m时，直线y＝x+m与椭圆1的上半部分相切，
同时，当m＝2时，直线y＝x+2与椭圆1的上半部分有2个交点，
综上：当直线y＝x+m与曲线y有两个公共点时，必有2≤m，即m的取值范围为[2，）；

16．由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，
则需过右顶点A，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，
也只需其斜率大于渐近线yx的斜率．
∴，∴ba，
即b2a2，
即有c2＜a2a2，
即为ca，
即有1＜e．
三、解答题（本大题共6小题，共70分第17题10分，其他各题均为12分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.）
17．（Ⅰ）由﹣x2+5x﹣6＞0，即x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3，即A＝（2，3），
当m＝2时，g（x），x∈（0，2）上为减函数，
∴g（x），即B＝（，），
则A∩B＝（2，）；
（Ⅱ）∵g（x），x∈（0，m）上为减函数，
∴g（x），即B＝（，）
若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则B?A，
即，则，
即0＜m，
故实数m的取值范围是（0，]．
18．（1）证明：连结BC1，交B1C于E，连结ME．
∵侧面B B1C1C为矩形，
∴E为BC1的中点，又M是AB的中点，
∴ME∥AC1．
又 ME?平面B1CM，AC1?平面B1CM，
∴AC1∥平面B1C M．
（2）以C为原点，以CB，CA，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系C﹣xyz如图所示：
则B1（0，3，3），A1（3，0，3），A（3，0，0），B（0，3，0），C1（0，0，3），AB＝3，∴BMBA．
∴（0，3，3），（1，2，0），（3，0，0）．
设平面B1MC的法向量为（x，y，z），则0，，
∴，令z＝1得（2，﹣1，1）．
∴cos，．
故当BM时，直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值为．

19．将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，
即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；
因为双曲线的离心率e∈（1，2），
所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15．
p或q为真，则0＜m＜15．
20．（Ⅰ）由右焦点为，得，
由点F到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a＝2c，
即
则b2＝a2﹣c2＝9
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0＝kx0，
设AB交x轴于点D，由对称性知：，
由得得，
所以，
当且仅当，时取等号，
所以△OAB面积的最大值．
21．（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD＝CD＝BC＝1，
又∵，∴AB＝2，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos60°＝3．
∴AB2＝AC2+BC2．则BC⊥AC．
∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，
∴AC⊥平面BCF．
∵EF∥AC，
∴EF⊥平面BCF；
（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ（），
则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴（，1，0），（λ，﹣1，1），
设（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由得，取x＝1，则（1，，），
∵（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，
∴cos．
∵，∴当λ＝0时，cosθ有最小值为，
∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．

22．（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且上焦点为F（0，1），
∴，解得a＝2，b，
∴椭圆C的方程为1．…
（2）∵直线MN的斜率等于﹣1，且经过焦点F，
∴直线 MN：y＝﹣x+1，…
设 M（x1，y1），N（x2，y2），
由，消去y，得：7x2﹣6x﹣9＝0，
则，x1x2． …（7分）
∴k1k22．
（3）当直线 MN的斜率不存在时，
则，2，∴2． …（11分）
当直线MN的斜率存在时，设直线MN：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，消去y，得：（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0，…（13分）
则，．
∴



2．
∴为定值，且定值为2．…