（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．3.5　平面向量数量积的坐标表示Word版含答案

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示
考点
学习目标
核心素养
平面向量数量积的坐标表示
掌握平面向量数量积的坐标表示，
会用向量的坐标形式求数量积
数学运算
平面向量的模与夹角的坐标表示
能根据向量的坐标计算向量的模、
夹角及判定两个向量垂直
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P34－P35的内容，思考以下问题：
1．平面向量数量积的坐标表示是什么？
2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？
1．平面向量数量积的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
■名师点拨
公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
2．两个公式、一个充要条件
(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝．
(2)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝．
(3)两个向量垂直的充要条件
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
■名师点拨
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝，即A，B两点间的距离为.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　)
(2)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(　　)
答案：(1)×　(2)√
已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是(　　)
A．23　　　　B．7　　　　C．－23　　　　D．－7
答案：D
已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则x＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．－4
答案：C
已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则向量a，b的夹角θ＝______.
答案：120°
数量积的坐标运算
　已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．0
C．1 D．2
【解析】　因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.
【答案】　C
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　)
A．(－15，12)　B．0　　　C．－3　　　　D．－11
解析：选C.依题意可知，
a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，
所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
2．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________．
解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因为＝2，所以F(，2)．
所以＝(2，1)，＝(，2)－(2，0)＝(－，2)，
所以·＝(2，1)·(－，2)
＝2×(－)＋1×2＝.
答案：
平面向量的模
　(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则|3a＋b|等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.
【解】　(1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.
(2)设a＝(x，y)，
则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.①
由a⊥b，解得2x－3y＝0.②
联立①②，解得或
所以 a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．
所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，
所以|a＋b|＝.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .　
　已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则||＝________．
解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量＝(4，－1)，所以＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，
所以＝(3，2)，||＝＝.
答案：
平面向量的夹角(垂直)
　已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
【解】　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.
利用数量积求两向量夹角的步骤
　
1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)
A．2　　　　　　　　 B.
C．0 D．－
解析：选B.因为a＝(1，)，b＝(3，m)．所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m，
又a，b的夹角为，所以＝cos ，即＝，所以＋m＝，解得m＝.
2．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选A.由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．
1．已知向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，则下列结论正确的是(　　)
A．a·b＝2　　　　　　　　 B．a∥b
C．b⊥(a＋b) D．|a|＝|b|
解析：选C.因为向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，设b＝(x，y)，则解得所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝________．
解析：由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝(3，－1)，故·＝(2，1)·(3，－1)＝5.
答案：5
3．已知a＝(1，)，b＝(2，m)．
(1)当3a－2b与a垂直时，求m的值；
(2)当a与b的夹角为120°时，求m的值．
解：(1)由题意得3a－2b＝(－1，3－2m)，
由3a－2b与a垂直，得－1＋9－2m＝0，
所以m＝.
(2)由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝2＋m，
所以cos 120°＝＝＝－，
整理得2＋m＋＝0，
化简得m2＋2m＝0，
解得m＝－2或m＝0(舍去)．
所以m＝－2.
[A　基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　)
A．－12　　　　　　　　　 B．－6
C．6 D．12
解析：选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．2
解析：选D.2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2.
3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　)
A．4 B．2
C．8 D．8
解析：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.
4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－)，若b∥c，则a－b与b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D.因为b∥c，所以－x＝(－3)×1，所以x＝，所以b＝(，－3)，a－b＝(0，4)．所以a－b与b的夹角的余弦值为＝＝－，所以a－b与b的夹角为150°.
5．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(－3，0)　　　　　　　 B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，·有最小值1.
此时点P的坐标为(3，0)．
6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________．
解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，
a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，
因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，
即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，
所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.
答案：－2
7．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a＝(－2，1)，b＝(λ，)，且|λa＋b|＝，则λ＝________．
解析：由已知易得λa＋b＝，则(－λ)2＋＝，解得λ＝1或λ＝－.
答案：1或－
8．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为______．
解析：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
|2a－b|＝
＝＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
答案：2＋
9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)．
(1)求a－b及|a－b|；
(2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值．
解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝＝4.
(2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)，
因为ka＋b与a－b垂直，
所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，
解得k＝3.
10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．
(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得
所以或
故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)．
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，故cos θ＝＝，所以θ＝.
[B　能力提升]
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.设a与c的夹角为θ，依题意，得
a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.
设c＝(x，y)，因为(a＋b)·c＝，
所以x＋2y＝－.又a·c＝x＋2y，
所以cos θ＝＝＝＝－，
所以a与c的夹角为120°.
12．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E(x，0)，0≤x≤1.因为M，C(1，1)，所以＝，＝(1－x，1)，所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.
13．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值为________．
解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
所以·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×
＝－25.
法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)．
所以＝(－3，0)，＝(0，4)，＝(3，－4)．
所以·＝－3×0＋0×4＝0，
·＝0×3＋4×(－4)＝－16，
·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
所以·＋·＋·＝0－16－9＝－25.
法三：(转化法)因为||＝3，||＝4，||＝5，
所以AB⊥BC，所以·＝0，
所以·＋·＋·＝·(＋)
＝·＝－||2＝－25.
答案：－25
14．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
解：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，
所以a－b＝(1，)－(－2，0)＝(3，)，
所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2 ]．
[C　拓展探究]
15．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．
解：(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以＝(1，1)，＝(－3，3)．
·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，所以AB⊥AD.
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝.
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)．
又因为＝(1，1)，所以解得所以点C的坐标为(0，5)．所以＝(－2，4)．
又＝(－4，2)，
所以||＝2，||＝2，
·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.