（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．4.3　第2课时　正弦定理Word版含答案

第2课时　正弦定理
考点
学习目标
核心素养
正弦定理
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦
定理的内容及其证明方法
逻辑推理
问题导学
预习教材P45－P48的内容，思考以下问题：
1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？
2．正弦定理的内容是什么？
1．正弦定理
条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
＝＝
文字
叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
■名师点拨
对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(4)＝2R.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　)
(2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．(　　)
(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　)
(4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.1
解析：选B.因为a＝3，b＝5，sin A＝，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　)
A. B.1
C. D.2
解析：选D.由三角形内角和定理得，
C＝180°－(A＋B)＝180°－(105°＋45°)＝30°.
由正弦定理得，
c＝＝＝2.
在△ABC中，若＝，则B的度数为________．
解析：根据正弦定理知，＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
答案：45°
已知两角及一边解三角形
　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解】　因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5.
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．　
1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．4
C．4 D．
解析：选C.A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理＝，得b＝＝＝4.
2．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．
解：因为sin B＝，
所以B＝30°或150°，当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；当B＝150°时，不合题意，舍去．
所以由正弦定理＝＝，得b＝·a＝×3＝，c＝·a＝×3＝2.
已知两边及其中一边的对角解三角形
　已知△ABC中的下列条件，解三角形：
(1)a＝10，b＝20，A＝60°；
(2)a＝2，c＝，C＝.
【解】　(1)因为＝，
所以sin B＝＝＝>1，
所以三角形无解．
(2)因为＝，所以sin A＝＝.
因为c＞a，所以C＞A.所以A＝.
所以B＝，b＝ ＝＝＋1.
[变条件]若本例(2)中C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B, b.
解：因为＝，所以sin C＝＝.
所以C＝或.
当C＝时，B＝，b＝＝＋1.
当C＝时，B＝，b＝＝－1.
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a＝b
无解
无解
一解
a无解
无解
a>bsin A
两解
a＝bsin A
一解
a无解
1．(2019·广东省揭阳市检测)在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135°　　 B．135°
C．45°　 D．60°
解析：选C.由cos A＝，得sin A＝，A＝60°，由正弦定理得sin B＝＝.因为三角形的内角和为180°，且a＞b，所以B＝45°.
2．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2
C．2解析：选C.由asin B判断三角形的形状
　已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形　　　 B．等边三角形
C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形
【解析】　由正弦定理得：acos B＝bcos A?sin Acos B＝sin Bcos A?sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
【答案】　A
[变条件]若把本例条件变为“bsin B＝csin C”，试判断△ABC的形状．
解：由bsin B＝csin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，
所以sin B＝sin C．所以B＝C.故△ABC为等腰三角形．
判断三角形形状的两种途径
[注意]　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．　
　已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足＝＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形　　 B．直角三角形
C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形
解析：选C.由正弦定理得＝＝，又＝＝，得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
1．(2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝.因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝＝.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)
A．1∶2∶3　　　　　　 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
解析：选D.在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.已知c－acos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
[A　基础达标]
1．在△ABC中，一定成立的式子是(　　)
A．asin A＝bsin B　　　　　 B．acos A＝bcos B
C．asin B＝bsin A　 D．acos B＝bcos A
解析：选C.由正弦定理＝＝，得asin B＝bsin A.
2．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选C.由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－)＝0.因为03．(2019·济南检测)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有(　　)
A．两解　　 B．一解
C．无解　 D．无穷多解
解析：选B.由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．
4．在△ABC中，若c＝，C＝60°，则＝(　　)
A．6 B．2
C．2 D．
解析：选C.利用正弦定理的推论，得＝＝＝2.
5．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状是　(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sin2Atan B＝sin2Btan A，则＝.
因为sin Asin B≠0，所以＝，
所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
6．在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为________．
解析：由cos A＝－，得sin A＝＝，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，有2R＝＝2，即△ABC的外接圆的半径为.
答案：
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝________．
解析：因为cos A＝，所以sin A＝，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，又＝，所以b＝2.
答案：2
8．在△ABC中，若B＝，b＝a，则C＝________．
解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin A＝，所以A＝或π.
因为b＝a＞a，所以B＞A，即A＜，
所以A＝，所以C＝π－A－B＝π－－＝π.
答案：π
9．(2019·浙江温州月考)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，求a，b及cos B.
解：因为A＝30°，C＝45°，c＝，
所以由正弦定理，得a＝＝＝1.
又B＝180°－(30°＋45°)＝105°，
所以cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝，
b＝＝＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)
＝.
10．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．
解：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，＝，
可得BC＝11，
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB
＝11×tan 30°＝11.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)
A．60° B．75°
C．90° D．115°
解析：选B.不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝，整理，得(3－)sin A＝(3＋)cos A．所以tan A＝2＋，所以A＝75°，故选B.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a－c＝0，则角B＝________．
解析：由正弦定理知，
sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0.(*)
因为sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入(*)式得sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0.
因为sin C＞0，所以sin B－cos B－1＝0，
所以2sin＝1，即sin＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
答案：
13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________．
解析：因为＝＝4，B＝，
所以b2＝5ac.由正弦定理得sin2B＝5sin Asin C＝，
所以sin Asin C＝，所以＝＝.
答案：
14．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
解：(1)由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0(2)由正弦定理，得sin B＝＝.
所以B＝或.
①当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝2；
②当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝a＝1.综上可得c＝1或2.
[C　拓展探究]
15．在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求的取值范围．
解：(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
代入＝，
得＝，
所以b2－a2＝ab.①
因为cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，
所以sin Asin B＝sin2C.
由正弦定理，得·＝，
所以ab＝c2.②
把②代入①得，b2－a2＝c2，
即a2＋c2＝b2.
所以△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知B＝，
所以A＋C＝，
所以C＝－A.
所以sin C＝sin＝cos A.
根据正弦定理，得
＝＝sin A＋cos A＝sin.
因为ac所以a所以0＜A＜，
所以＜A＋＜.
所以＜sin<1，
所以1＜sin<，
即的取值范围是(1， )．