（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．4.3　第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例Word版含答案

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例
考点
学习目标
核心素养
测量中的术语
理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义
直观想象
测量距离、高度、角度问题
会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题
数学建模
问题导学
预习教材P48－P51的内容，思考以下问题：
1．什么是基线？
2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？
3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？
1．基线
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
2．基线与测量精确度的关系
一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
■名师点拨
实际测量中的有关名称、术语
名称
定义
图示
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）
方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　)
(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．(　　)
(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)
A．α＞β　　　　　　　　　 B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以α＝β.
轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是(　　)
A．50 n mile B．70 n mile
C．90 n mile D．110 n mile
解析：选B.如图，
设轮船A和轮船B两个小时后分别到达点C，D两处，则OC＝50，OD＝30，∠DOC＝120°.
由余弦定理可得
CD2＝OC2＋OD2－2OC·ODcos 120°
＝502＋302－2×50×30×
＝2 500＋900＋1 500
＝4 900，
所以CD＝70 n mile.
如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.
解析：由题图可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m)．
答案：30
测量距离问题
　海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．
【解析】　如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°，
由正弦定理，可得＝，
所以BC＝×10＝5(海里)．
【答案】　5 海里
[变条件]在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？
解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×＝300.故BC＝10.
即B，C间的距离为10海里．

测量距离问题的解题思路
求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．　
1．要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠BCA＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则AB＝(　　)
A．2 km　　　　　　　　　 B. km
C．3 km D. km
解析：选B.在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
所以AC＝CD＝ km，
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
所以BC＝＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝3＋－2×××cos 75°＝5，
所以AB＝ km.
2．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离．
解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°.
因为AB∥CD，
所以∠C＝180°－150°＝30°.
在△ABD中，AB＝6，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°，
所以AD＝＝＝3，
所以BD＝＝＝3＋3.
在Rt△DBC中，CD＝＝＝6＋6.
所以C，D之间的距离为(6＋6)m.
测量高度问题
　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【解析】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．
【答案】　100
[变问法]在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．
解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，
∠CBE＝75°，BC＝300，
所以CE＝BC·sin∠CBE
＝300sin 75°
＝300×
＝150＋150.
所以tan α＝＝＝.

测量高度问题的解题思路
高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．　
　
如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________m.
解析：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，
所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，
所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.所以AC＝AB＝40，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，
即＝，解得CD＝.
答案：
测量角度问题
　岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．
(1)问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？
(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
【解】　(1)根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，
所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，
在△ABC中，由＝，
得AB＝＝＝＝5.
所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 海里处．
(2)设海监船航行时间为t小时，则BD＝10t，CD＝10t，
又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，
所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°，
所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·，
所以2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－(舍去)．
所以CD＝10，所以BC＝CD，
所以∠CBD＝(180°－120°)＝30°，
所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.
所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．
(或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时)

测量角度问题的基本思路
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．
(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．　
1．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A．北偏东15°方向上　　　　 B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上
解析：选B.如图所示，∠ACB＝90°.又因为AC＝BC，
所以∠CBA＝45°.
因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方向上．
2．地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．
解：如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40 m，AB＝40 m.
由余弦定理，得
PB＝
＝
＝40(m)．
因为AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m.
1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)
A．东偏北45°10′方向上　　 B．东偏北45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上
解析：选C.如图所示．
2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)
A．100米 B．50(＋1)米
C．100(＋1)米 D．200米
解析：选C.设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，
所以BC＝AB＝x.
在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝AB＝x.
因为BD－BC＝CD，所以x－x＝200，
解得x＝100(＋1)．故选C.
3．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝cos β，则v＝(　　)
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos(α＋β)①，由正弦定理得＝，所以sin α＝sin β.又cos α＝ cos β，sin2 α＋cos2 α＝1，解得sin β＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，故cos(α＋β)＝－＝0，代入①解得v＝100.
4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．
解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC＝12t，BC＝12t，∠ABC＝120°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin∠BAC＝，所以∠BAC＝30°，
所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝，航行的方向为北偏东75°.
即巡逻艇最少经过小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．
[A　基础达标]
1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　)
A．500米　　　　　　　　　 B．600米
C．700米 D．800米
解析：选C.由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米，故选C.
2．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(　　)
A．110米 B．112米
C．220米 D．224米
解析：选A.如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，故选A.
3．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是(　　)
A．20 m， m B．10 m，20 m
C．10(－) m，20 m D． m， m
解析：选A.由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．
4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是(　　)
A．5 海里/时 B．5海里/时
C．10 海里/时 D．10海里/时
解析：选D.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D.
5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)
A．5 km B．10 km
C．5 km D．5 km
解析：选C.作出示意图(如图)，
点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，
由正弦定理，得＝，
即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是5 km.
6.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝________．
解析：在△ABC中，由余弦定理得
cos∠ACB＝＝－.
因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.
答案：
7．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到公路的距离是________km.
解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.由正弦定理得＝，BC＝＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BCsin 75°＝×＝(km)．
答案：
8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________ m.
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
设AB＝h，则BC＝h，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
所以BD＝h，
在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m，
由余弦定理可得
40 000＝h2＋3h2－2h·h·，
所以h＝200，
所以塔高AB＝200 m.
答案：200
9.如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离．
解：由已知，得CD＝21 km，BC＝31 km，BD＝20 km.
在△BCD中，由余弦定理，得
cos∠BDC＝＝－.
设∠ADC＝α，则cos α＝，sin α＝.
在△ACD中，由正弦定理＝，
得＝，
所以AD＝sin(60°＋α)＝＝15 (km)，
即所求的距离为15 km.
10．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度．
解：如图，设CD＝x，
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
所以AC＝CD＝x.
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CB＝＝x.
在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，
由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，
所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·，
所以x＝38(m)．所以气球的高度为38 m.
[B　能力提升]
11．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：选A.如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝ h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.
12.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米到达C处，则索道AC的长为________米．
解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，
因为∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，
所以∠DAB＝30°，所以AB＝BD＝400，
AD＝＝400.
在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，
所以AC＝400，故索道AC的长为400米．
答案：400
13.如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，则P，C间的距离为________海里．
解析：因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°
＝402＋402－2×40×40×＝402×3，
所以BP＝40.
又∠PBC＝90°，BC＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，
所以PC＝40 海里．
答案：40
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，1)，直线OB的倾斜角为45°，且|OB|＝.
(1)求点B的坐标及线段AB的长度；
(2)在平面直角坐标系xOy中，取1厘米为单位长度．现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60°的射线BC运动，另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？
解：(1)设点B(x0，y0)，
依题意x0＝cos 45°＝1，
y0＝sin 45°＝1，
从而B(1，1)，又A(－3，1)，所以AB∥x轴，
则|AB|＝|1－(－3)|＝4.
(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C，
则AC＝t，BC＝t.
由AB∥x轴及BC的倾斜角为60°，
得∠ABC＝120°.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°，
所以2t2＝16＋t2＋8t·，
化简得t2－4t－16＝0，
解得t＝2－2(舍去)或t＝2＋2.
即若要使得质点Q与P会合于点C，则需要经过(2＋2)秒．　
[C　拓展探究]
15．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1，
所以AB＝APtan 60°＝.
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，
所以AC＝APtan 30°＝.
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以BC＝＝＝.
则船的航行速度为÷＝2(千米/时)．
(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA
＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝＝＝，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)
＝sin∠ACB·cos 30°－cos∠ACB·sin 30°
＝×－　＝.
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝.
故此时船距岛A有千米．