（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．4.3　第4课时　三角形中的几何计算Word版含答案

第4课时　三角形中的几何计算
考点
学习目标
核心素养
有关三角形面积的计算
掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
逻辑推理、数学运算
三角形的综合问题
能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题
数学运算
问题导学
预习教材P53 T10和P54 T18两个题目，思考以下问题：
如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？
三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径)．
■名师点拨
三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．(　　)
(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．(　　)
(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．2
解析：选B.S△ABC＝AB·ACsin A＝×1×2×＝.
已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析：选D.由S△ABC＝bcsin A＝，
得sin A＝，sin A＝，
由0° 在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积为________．
解析：由＝，知sin C＝1，则C＝90°，
所以B＝60°，
从而S△ABC＝AB·BC·sin B＝.
答案：
与三角形面积有关的计算问题
　(1)(2019·湖南娄底重点中学期末)在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于(　　)
A．9　　　　　　　　　　　 B．18
C．9 D．18
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝，且S△ABC＝，则a＝________，b＝________．　
【解析】　(1)在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝＝＝6.
又因为C＝180°－120°－30°＝30°，
所以S△ABC＝×6×6×＝9.
(2)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4，
联立方程组，
解得a＝2，b＝2.
【答案】　(1)C　(2)2　2
三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．　
1．(2019·黑龙江大庆中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于(　　)
A．12 B．
C．28 D．6
解析：选D.在△ABC中，由余弦定理可得
64＝49＋9－2×7×3cos C，
所以cos C＝－，所以sin C＝，
所以S△ABC＝absin C＝6，故选D.
2．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A． B．5
C．6 D．7
解析：选B.连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.
3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为________．
解析：由S△ABC＝bcsin A＝csin 60°＝，得c＝4，因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a＝.
答案：
三角形中的线段长度和角度的计算
　已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
【解】　(1)连接BD，则由题设及余弦定理得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C．②
由①②得cos C＝，
故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝sin 60°＝2.
三角形中几何计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．　
　已知四边形ABCD满足∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠DAC＝60°，AC＝2，AD＝＋1.求CD的长和△ABC的面积．
解：在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝6，所以CD＝.
在△ACD中，由正弦定理得
＝，
则sin∠ADC＝，又0°<∠ADC<120°，
所以∠ADC＝45°，从而有∠ACD＝75°，
由∠BCD＝150°，得∠ACB＝75°，又∠BAC＝30°，
所以△ABC为等腰三角形，即AB＝AC＝2，
故S△ABC＝1.
三角形中的综合问题
　(2019·郑州一中期末检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解】　(1)因为bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)，
所以bcos A＝(2c＋a)(－cos B)．
由正弦定理可得，sin Bcos A＝(－2sin C－sin A)cos B，
即sin(A＋B)＝－2sin Ccos B＝sin C.
又角C为△ABC的内角，所以sin C>0，所以cos B＝－.又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由S△ABC＝acsin B＝，得ac＝4.
又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.
所以a＋c＝2，所以△ABC的周长为4＋2.
[变条件、变问法]在本例(2)中，去掉条件“△ABC的面积为”，求
(1)△ABC周长的取值范围；
(2)△ABC面积的最大值．
解：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝a2＋c2＋ac.
又b＝4，
所以16＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－.
所以(a＋c)2≤16，所以(a＋c)2≤.
即4(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝a2＋c2＋ac，又b＝4，
所以16＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac，即ac≤.
所以S△ABC＝acsin B≤××＝.
即△ABC面积的最大值为.
解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．
(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．　
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：由bsin－csin＝a及正弦定理，得sin Bsin－sin Csin＝sin A，
即sin B－sin C
＝，
整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1.
由于0(2)因为B＋C＝π－A＝，B－C＝，
所以B＝，C＝.
由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，　
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝sin sin ＝cossin ＝.　
1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为(　　)
A．　　　　　　　　　　　 B．3
C． D．7
解析：选A.因为S△ABC＝AB·ACsin A，
所以×2·ACsin 60°＝.
所以AC＝1.
又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝4＋1－2×2cos 60°＝3.
所以BC＝.
2．已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.b＝2，∠B＝，∠C＝，则△ABC的面积为(　　)
A．2＋2 B．＋1
C．2－2 D．－1
解析：选B.由正弦定理，得＝，解得c＝2.又∠A＝π－－＝，则△ABC的面积S＝bcsin＝＋1.　
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，b＝1，C＝120°.
(1)求B的大小；
(2)求△ABC的面积S.
解：(1)由正弦定理＝，
得sin B＝＝，
因为在△ABC中，b(2)因为A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－120°－30°＝30°，
所以S＝bcsin A＝.
[A　基础达标]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．3
C．6 D．6
解析：选B.△ABC的面积为absin C＝×4×3×＝3.
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：选A.由cos 2A＝sin A，得1－2sin2 A＝sin A，解得sin A＝或sin A＝－1(舍去)，所以S△ABC＝bcsin A＝×2×＝.
3．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)
A． B．
C．2 D．3
解析：选A.因为b2－bc－2c2＝0，
所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4，
因为cos A＝，所以sin A＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.
4．已知△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边的长为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.由题设a＋b＋c＝20，bcsin 60°＝10，
所以bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC边的长为7.
5．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为(　　)
A． B．2
C．2 D．4
解析：选B.因为S＝bcsin A，
所以＝×2csin 120°，所以c＝2，
所以a＝
＝＝2，
设△ABC外接圆的半径为R，
所以2R＝＝＝4，所以R＝2.
6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________．
解析：因为cos C＝，0所以sin C＝，
所以S△ABC＝absin C
＝×3×2×＝4.
答案：4
7．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，
B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.
因此AD＝.
答案：
8．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．
解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，所以S△ABC＝AB·ACsin A＝10k2＝10，所以k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝82＋52－2×8×5×＝49，所以BC＝7，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.
答案：20
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝时，求a的值；
(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．
解：(1)因为cos B＝>0，所以B∈，
所以sin B＝.
由正弦定理＝，
得＝，解得a＝.
(2)由△ABC的面积S＝acsin B，得ac×＝3，得ac＝10.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，
所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40，
所以a＋c＝2.
10．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得
sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°由(1)知A＋C＝120°，
所以30°因此，△ABC面积的取值范围是.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝2，C＝，且a＋b＝3，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以22＝a2＋b2－2abcos，
即4＝(a＋b)2－3ab，
又a＋b＝3，所以ab＝，
所以S△ABC＝absin＝，故选D.
12．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
又因为b＝6，a＝2c，B＝，
所以36＝4c2＋c2－2×2c2×
所以c＝2，a＝4，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6.
答案：6
13．(2019·株洲二中期末)如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，BC＝2BD，则sin C的值是________．
解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝x，BC＝x.在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝＝，解得sin C＝.
答案：
14.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD＝，AC＝，cos∠ADB＝－.
(1)求sin C的值；
(2)若BD＝5，求△ABD的面积．
解：(1)因为 cos∠ADB＝－ ，
所以sin∠ADB＝，
又因为∠CAD＝，
所以∠C＝∠ADB－，
所以 sin C＝sin
＝sin∠ADB·cos－cos∠ADB·sin
＝×＋×＝.
(2)在△ACD中，由＝，得
AD＝＝＝2.
所以S△ABD＝AD·BD·sin∠ADB
＝×2×5×＝7.
[C　拓展探究]
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．
解：(1)由题意可知absin C＝×2abcos C.
所以tan C＝，
因为0所以C＝.
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin
＝sin A＋sin
＝sin A＋cos A＋sin A
＝sin≤　.
当A＝，
即△ABC为等边三角形时取等号．
所以sin A＋sin B的最大值为.