（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：8．2　立体图形的直观图Word版含答案

8．2　立体图形的直观图
考点
学习目标
核心素养
平面图形的直观图
会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
直观想象
简单几何体的直观图
会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图
直观想象
直观图的还原与计算
会根据斜二测画法规则进行相关运算
直观想象、数学运算
问题导学
预习教材P107－P111的内容，思考以下问题：
1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
2．空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
■名师点拨
(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．(　　)
(3)相等的角在直观图中仍相等．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　　)
A．90°，90°　　　　　　　　 B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
解析：选D.根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°.
下列关于直观图的说法不正确的是(　　)
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同
解析：选A.平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错．
利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的(　　)
解析：选C.正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．
如图所示的直观图△A′O′B′，其原平面图形的面积为__________．
答案：6
画水平放置的平面图形的直观图
　画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
【解】　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．
(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．　
　用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图．(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)
解：(1)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图．
画简单几何体的直观图
　已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【解】　(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．
画空间图形的直观图的原则
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.　
　由如图所示几何体的三视图画出直观图．
解：(1)画轴．如图①，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′，如图①.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图，如图②.
①　　　　　　　　②
直观图的还原与计算
　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD 的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．
【解】　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
(1)直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
(2)直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．　
　已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2　　　　　　　　　 B.a2
C.a2 D.a2
解析：选D.如图①②所示为实际图形和直观图．
由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝OA＝a，在图②中作A′D′⊥B′C′于点D′，则A′D′＝O′A′＝a.所以S△A′B′C′＝B′C′·A′D′＝×a×a＝a2.
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)
A．原来相交的仍相交　　　　 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
答案：B
2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的(　　)
解析：选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，故选C.
3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为(　　)
A．2S B.S
C．2S D.S
解析：选C.法一：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于点D′(图略)，
则C′D′＝h.由题意知
C′D′(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S.
又原直角梯形面积为
S′＝·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S.
所以梯形OABC的面积为2S.故选C.
法二：由S直观图＝S原图，
可得S梯形OABC＝＝2S，故选C.
4．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
5．画一个正四棱锥(底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定)．
解：步骤：
(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．
(4)画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S-ABCD的直观图，如图②所示．
[A　基础达标]
1．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是(　　)
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析：选B.根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形．
2．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面图形是(　　)
A．任意三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
解析：选C.因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，
所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)
A．2 cm　　　　　　　　　　 B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.
4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是(　　)
A．16 B．64
C．16或64 D．都不对
解析：选C.根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.
5.正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　)
A．6 cm　　　　　　　　　 B．8 cm
C．(2＋3)cm D．(2＋2)cm
解析：选B.如图，OA＝1 cm，
在Rt△OAB中，OB＝2 cm，
所以AB＝ ＝3 (cm)．
所以四边形OABC的周长为8 cm.
6．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的形状为________．
解析：因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，且A′B′＝2B′C′，所以AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．
答案：正方形
7．如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________．
解析：因为A′D′∥y′轴，
A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
所以原图形是一个直角梯形，如图所示．
又A′D′＝4，
所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
答案：28
8.如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：在直观图中四边形A′B′C′O′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，所以顶点B′到x′轴的距离为.
答案：
9．如图是上、下底面处在水平状态下的棱长为2 cm的正方体的直观图，比例尺为1∶1，回答下列问题：
(1)线段AB1在图中、实物中长度各为多少？∠AB1A1在图中、实物中的度数各为多少？
(2)在实物中，∠ABC、∠AEB、∠BEC、∠ABD、∠CBD的度数是多少？
(3)线段BC在图中、实物中的长度各是多少？∠AD1A1、∠CB1C1在实物中的度数是多少？
解：(1)平面AA1B1B处在铅直状态下，其内部的图形为真实图形，由已知AA1＝A1B1＝2 cm，AA1⊥A1B1，所以AB1＝＝2 (cm)．所以线段AB1在图中，实物中的长度都是2 cm，∠AB1A1在图中、实物中度数都是45°.
(2)在实物中，∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.
(3)线段BC在图中、实物中的长度分别是1 cm，2 cm，∠AD1A1、∠CB1C1在实物中的度数都是45°.
10.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形的高D′E′＝，
于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
法二：梯形ABCD的面积S＝(DC＋AB)×OD
＝×(1＋2)×1＝.
所以梯形ABCD直观图的面积为
S′＝S＝×＝.
[B　能力提升]
11．如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中D′是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析：选C.先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形A′B′C′还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.故选C.
12.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　　)
A.＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
解析：选D.因为A′D′∥B′C′，所以AD∥BC.
因为∠A′B′C′＝45°，
所以∠ABC＝90°.
所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示．
其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋，AB＝2，
即S梯形ABCD＝2＋.
13．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为(　　)
A. B.
C．5 D.
解析：选A.由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为，故选A.
14.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解：四边形ABCD的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，
因为AD＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
[C　拓展探究]
15. 已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．
解：画法：
(1)建系：如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底：在x轴上取线段OB＝8 cm，在y轴上取线段OA′＝2 cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)定点：在z轴上取线段OC＝4 cm，过C分别作x轴，y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4 cm，CC′＝2 cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图：连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．