（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：8．3　第1课时　柱、锥、台的表面积和体积Word版含答案

8．3　简单几何体的表面积与体积
第1课时　柱、锥、台的表面积和体积
考点
学习目标
核心素养
柱、锥、台的表面积
了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积
直观想象、数学运算
锥体、台体的表面积的求法
能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系
直观想象、数学运算
问题导学
预习教材P114－P117的内容，思考以下问题：
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？
4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝Sh；V棱台＝h(S′＋＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．
3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
名称
图形
公式
圆柱
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
体积：V＝πr2l
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
体积：V＝πr2h
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
体积：
V＝πh(r′2＋r′r＋r2)
■名师点拨
1．柱体、锥体、台体的体积
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝h.
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体＝ShV台体＝(S′＋＋S)hV锥体＝Sh.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．(　　)
(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．(　　)
(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．(　　)
(4)在三棱锥P-ABC中，VP-ABC＝VA-PBC＝VB-PAC＝VC-PAB.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
棱长都是 1 的三棱锥的表面积为(　　)
A.　　　B．2　　　C．3　　　D．4　　　
解析：选 A．S表＝4S正△＝4×＝.
若长方体的长、宽、高分别为 3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为(　　)
A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3
解析：选 B．长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为 3×4×5＝60(cm3)．
圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于(　　)
A．72 B．42π C．67π D．72π
解析：选 C．S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.
柱、锥、台的表面积
　(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(　　)
A.倍　　　　　　　　 B．3 倍
C．2 倍 D．5 倍
(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(　　)
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)
A．7　　　 B．6
C．5 D．3
【解析】　(1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l＝2r，于是 S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.
(2)棱锥 B′-ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B′C＝，S△B′AC＝.
三棱锥的表面积 S锥＝4×＝2，
又正方体的表面积 S正＝6.
因此 S锥∶S正＝2∶6＝1∶.
(3)设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得 r＝7.
【答案】　(1)C 　(2)B 　(3)A
空间几何体表面积的求法技巧
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
　已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积．
解：法一：设正四棱台为ABCD?A1B1C1D1，如图①.设B1F为斜高．
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
所以B1F＝ ＝2，
所以S正棱台侧＝4××(4＋8)×2
＝48.
①
法二：设正四棱台为ABCD?A1B1C1D1，延长正四棱台的侧棱交于点P，作面PBC上的斜高PE，交B1C1于E1，如图②.
设PB1＝x，则＝，
解得x＝8.
所以PB1＝B1B＝8，
所以E1为PE的中点，
又PE1＝＝ ＝2， ②
所以PE＝2PE1＝4.
所以S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧
＝4××8×PE－4××4×PE1
＝4××8×4－4××4×2
＝48.
柱、锥、台的体积
　如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积；
(2)求三棱锥A-A1BD的体积及高．
【解】　(1)V三棱锥A1-ABD＝S△ABD·A1A
＝×·AB·AD·A1A＝a3.
故剩余部分的体积
V＝V正方体－V三棱锥A1-ABD＝a3－a3＝a3.
(2)V三棱锥A-A1BD＝V三棱锥A1-ABD＝a3.
设三棱锥A-A1BD的高为h，
则V三棱锥A-A1BD＝·S△A1BD·h
＝××(a)2h＝a2h，
故a2h＝a3，
解得h＝a.
求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
[提醒]　求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．　
1．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16π，则圆锥的体积是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．64π D．128π
解析：选 A．作圆锥的轴截面，如图所示．由题设，在 △PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为 h，底面半径为 r，
则 h＝r，PB＝r.
由 S侧＝π·r·PB＝16π，
得πr2＝16π.所以 r＝4.则 h＝4.
故圆锥的体积 V圆锥＝πr2h＝π.
2．圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3或 cm3 D．192π cm3
解析：选 C．当圆柱的高为 8 cm时， V＝π××8＝(cm3)，当圆柱的高为 12 cm时，V＝π××12＝(cm3)．
3．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
解析：由题易得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O-EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
答案：118.8
组合体的表面积和体积
　如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
【解】　设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.
则 R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示，
易知△AEB∽△AOC，
所以＝，即＝，所以 r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
所以 S＝S底＋S侧＝2π＋2π
＝(2＋2)π.
1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．
解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r＝1，高 h＝，所以圆柱的体积 V1＝πr2h＝π×12×＝π.
圆锥的体积 V2＝π×22×2＝π.
所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.
2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．
解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r＝1，下底面半径 R＝2，高 h＝，母线 l＝2，所以圆台的表面积 S＝π(r2＋R2＋r·l＋Rl)＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.
圆台的体积 V＝π(r2＋rR＋R2)h＝π(12＋2＋22)×＝π.
3．[变条件、变问法]本例中的“高为”改为“高为 h”，试求圆柱侧面积的最大值．
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，
则 R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
所以＝，
即＝，
所以 h＝2－r，
S圆柱侧＝2πrh＝2πr(2－r)
＝－2πr2＋4πr，
所以当 r＝1，h＝时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 2π.
求组合体的表面积与体积的步骤
(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．
(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．
(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．　
1．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积．
解：如图，连接 EB，EC.四棱锥 E-ABCD 的体积
V四棱锥 E-ABCD＝×42×3＝16.
因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.所以V三棱锥 F-EBC
＝V三棱锥 C-EFB＝V三棱锥 C-ABE
＝V三棱锥 E-ABC＝×V四棱锥 E-ABCD＝4.　
所以多面体的体积 V＝V四棱锥 E-ABCD＋V三棱锥 F-EBC＝16＋4＝20.
2．如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积．
解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为 10π.
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)
A．22　　　　　　　　　　　 B．20
C．10 D．11
解析：选A.所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
2．正三棱锥的高为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V＝××32×3＝.故选D.
3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．
解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，
则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.
答案：7∶9
4.如图，三棱台ABC?A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1?ABC，三棱锥B?A1B1C，三棱锥C?A1B1C1的体积之比．
解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
所以VA1?ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC?A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
所以VB?A1B1C＝V台－VA1?ABC－VC?A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
所以体积比为1∶2∶4.
[A　基础达标]
1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　　　　 B．1∶
C．1∶ D.∶2
解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
2.如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.因为VC-A′B′C′
＝VABC-A′B′C′＝，
所以VC-AA′B′B＝1－＝.
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()2×2＝8π＋4π＝12π.
4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面A1B1C1D1内任意一点，
所以点P到平面ABCD的距离d＝AA1＝1，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为：
VP-ABCD＝×AA1×S正方形ABCD＝×1×1＝.
故选B.
5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　)
　　
A. B.
C．2　　　 D.
解析：选 D．因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCB-E1F1C1B1 的体积 V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设甲中水面的高度为 h，则 S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝，故选 D.
6．已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝______cm.
解析：圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为 2×πr2＝2πr2(cm2)，
所以 2πr2＋8πr＝42π，
解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)，
所以圆柱的底面半径为 3 cm.
答案：3
7．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且 πl＝2πr.解得 r＝1，即直径为 2.
答案：2
8．圆柱内有一个内接长方体 ABCD-A1B1C1D1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2，则圆柱的底面半径为______cm，高为______cm.
解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：
所以
即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.
答案：5　10
9．如图，已知正三棱锥 S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，
SE＝h′.
因为 S侧＝2S底，
所以 3×·a·h′＝a2×2.
所以 a＝h′.
因为 SO⊥OE，
所以 SO2＋OE2＝SE2.
所以 32＋＝h′2.
所以 h′＝2，所以 a＝h′＝6.
所以 S底＝a2＝×62＝9，
S侧＝2S底＝18.
所以 S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
10．若 E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A-BEFC 的体积．
解：如图所示，
连接 AB1，AC1.
因为 B1E ＝CF，
所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积．
又四棱锥 A-BEFC 的高与四棱锥 A-B1EFC1 的高相等，
所以 V A-BEFC＝VA-B1EFC1
＝VA-BB1C1C.
又 VA -A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABC-A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，所以
VA-A1B1C1＝，
所以 VA-BB1C1C＝VABC-A1B1C1－VA-A1B1C1＝m.
所以 VA-BEFC＝×m＝，
即四棱锥 A-BEFC 的体积是.
[B　能力提升]
11．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选 C．由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V＝×(1＋2)×2×2＝6.故选 C.
12．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
答案：26　－1
13．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.
　　　　
答案：8
14．如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
显然三棱锥A′-ABC的体积是V，而四棱锥A′-BCC′B′的体积为Sa，故有V＋Sa＝V，
所以三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
法二：如图所示，将三棱柱ABC-A′B′C′补成一个四棱柱ACBD-A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行四边形，显然三棱柱ABD-A′B′D′的体积与原三棱柱ABC-A′B′C′的体积相等．
因为四棱柱ACBD-A′C′B′D′以BCC′B′为底面，高为点A′到面BCC′B′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa，于是三棱柱ABC-A′B′C′的体积V＝Sa.
[C　拓展探究]
15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝×π××4＝π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝×π××8＝96π(m3)．
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4)
＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)
＝96π(m2)．
(3)因为V2＞V1，S2＜S1，
所以方案二比方案一更加经济．